【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第二章第7讲　函数的图象学案

【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第二章第7讲　函数的图象学案

第7讲　函数的图象 ‎1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线．‎ 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．‎ 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．‎ ‎2．利用图象变换法作函数的图象 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 ‎①y＝f(x)y＝－f(x)；‎ ‎②y＝f(x)y＝f(－x)；‎ ‎③y＝f(x)y＝－f(－x)；‎ ‎④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x＞0)．‎ ‎(3)翻折变换 ‎①y＝f(x)y＝|f(x)|．‎ ‎②y＝f(x)y＝f(|x|)．‎ ‎(4)伸缩变换 ‎①y＝f(x)→y＝f(ax)．‎ ‎②y＝f(x)→y＝af(x)．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)‎ ‎(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　　)‎ ‎(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　)‎ ‎(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)‎ ‎(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×‎ ‎ (教材习题改编)下列图象是函数y＝的图象的是(　　)‎ 答案：C ‎ (教材习题改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是(　　)‎ A．甲是图①，乙是图②‎ B．甲是图①，乙是图④‎ C．甲是图③，乙是图②‎ D．甲是图③，乙是图④‎ 答案：B ‎ (教材习题改编)点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是(　　)‎ 答案：C ‎ (教材习题改编)已知三个函数①y＝ax；②y＝logbx；③y＝logcx的图象如图所示，则a、b、c的大小关系为(　　)‎ A．a＜b＜c　　　　　　　 B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解析：选A．由题图知，0＜a＜1，b＞1，c＞1.又当x＞1时，logbx＞logcx＞0.即＞，所以logxc＞logxb，所以c＞b.即a＜b＜c，故选A．‎ ‎ 已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．‎ 答案：(2，8]‎ 作函数的图象 ‎[典例引领]‎ ‎ 作出下列函数的图象．‎ ‎(1)y＝x2－2|x|－1.‎ ‎(2)y＝.‎ ‎(3)y＝|log2(x＋1)|.‎ ‎【解】　(1)先化简，再作图，y＝图象如图所示．‎ ‎(2)因为y＝＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y＝的图象，如图所示．‎ ‎(3)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．‎ 函数图象的三种画法 ‎(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．‎ ‎(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．‎ ‎(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．‎ ‎[注意]　(1)画函数的图象一定要注意定义域．‎ ‎(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．　 ‎ ‎[通关练习]‎ 作出下列函数的图象．‎ ‎(1)y＝|x－2|·(x＋1)；‎ ‎(2)y＝.‎ 解：(1)当x≥2，即x－2≥0时，‎ y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝－；‎ 当x<2，即x－2<0时，‎ y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－＋.‎ 所以y＝ 这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．‎ ‎(2)因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图所示．‎ 函数图象的识别(高频考点)‎ 函数图象的识别是每年高考的重点，题型为选择题，难度适中．主要命题角度有：‎ ‎(1)知式选图；‎ ‎(2)知图选式；‎ ‎(3)由实际问题的变化过程探究函数图象．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　知式选图 ‎ (2017·高考全国卷Ⅲ)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)‎ ‎【解析】　易知函数g(x)＝x＋是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y＝1＋x＋的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.‎ ‎【答案】　D ‎ 角度二　知图选式 ‎ 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)‎ A．f(x)＝　　　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝－1 D．f(x)＝x－ ‎【解析】　由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C．若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A．‎ ‎【答案】　A ‎ 角度三　由实际问题的变化过程探究函数图象 ‎ 如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)‎ ‎ ‎ ‎【解析】　当x∈[0，]时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C．‎ 当x∈[，]时，f()＝f()＝1＋，f()＝2.因为 2＜1＋，所以 f()＜f()＝f()，从而排除D，故选B．‎ ‎【答案】　B 识别函数图象的方法技巧 函数图象的识辨可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．‎ ‎(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．‎ ‎[注意]　由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)‎ 解析：选B．由f(x)f(－x)f[－(x－2)]－f(2－x)．‎ ‎2.如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是(　　)‎ 解析：选C．当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C．‎ 函数图象的应用(高频考点)‎ 函数图象的应用是每年高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度偏大．‎ 主要命题角度有：‎ ‎(1)研究函数的性质；‎ ‎(2)求解不等式；‎ ‎(3)求解方程根(或函数零点)问题．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　研究函数的性质 ‎ 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)‎ B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)‎ C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)‎ D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)‎ ‎【解析】　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．‎ ‎【答案】　C ‎ 角度二　求解不等式 ‎ 函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为________．‎ ‎【解析】　函数f(x)的图象大致如图所示．‎ 因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]<0，所以2x·f(x)<0.‎ 由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3)．‎ ‎【答案】　(－3，0)∪(0，3)‎ ‎ 角度三　求解方程根(或函数零点)问题 ‎ (1)直线y＝k(x＋3)＋5(k≠0)与曲线y＝的两个交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＋y1＋y2等于(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)‎ A． B． C．(1，2) D．(2，＋∞)‎ ‎【解析】　(1)因为y＝＝＋5，其图象关于点(－3，5)对称．又直线y＝k(x＋3)＋5过点(－3，5)，如图所示．所以A、B关于点(－3，5)对称，所以x1＋x2＝2×(－3)＝－6，y1＋y2＝2×5＝10.所以x1＋x2＋y1＋y2＝4.‎ ‎(2)先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B ‎(1)利用函数图象研究性质的方法 ‎①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．‎ ‎②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．‎ ‎③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．‎ ‎④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．‎ ‎(2)利用函数的图象研究不等式思路 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．‎ ‎(3)利用函数图象研究方程根的策略 构造函数，转化为两熟悉函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知函数f(x)＝的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(0，1] B．[1，]‎ C．[1，2] D．[，2]‎ 解析：选B．先作出函数f(x)＝log2(1－x)＋1，－1≤x<0的图象，再研究f(x)＝x3－3x＋2，0≤x≤a的图象．令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1(x＝－1舍去)，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得02a，解得－30，当x＝π时，y＝0，排除B、C，故选A．‎ ‎2．定义一种运算：g⊗h＝已知函数f(x)＝2x⊗1，那么函数f(x－1)的大致图象是(　　)‎ 解析：选B．由定义知，当x≥0时，2x≥1，所以f(x)＝2x，当x＜0时，2x＜1，所以f(x)＝1，所以f(x)＝其图象易作，f(x－1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故选B．‎ ‎3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝logf(x)的图象大致是(　　)‎ 解析：选C．法一：由函数y＝f(x)的图象知，当x∈(0，2)时，f(x)≥1，所以logf(x)≤0，结合选项知，选C．‎ 法二：由函数f(x)的图象知，函数f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，2)上是增函数，所以y＝logf(x)在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数．结合各选项知，选C．‎ ‎4．图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是(　　)‎ 解析：选B．由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B．‎ ‎5．(2018·河南焦作模拟)函数f(x)＝|x|＋(其中a∈R)的图象不可能是(　　)‎ 解析：选C．当a＝0时，函数f(x)＝|x|＋＝|x|，函数的图象可以是B；‎ 当a＝1时，函数f(x)＝|x|＋＝|x|＋，函数的图象可以类似A；‎ 当a＝－1时，函数f(x)＝|x|＋ ＝|x|－，x>0时，|x|－＝0只有一个实数根x＝1，函数的图象可以是D；所以函数的图象不可能是C．故选C．‎ ‎6．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．‎ 解析：当x∈[－1，0]时，设y＝kx＋b，‎ 由图象得解得所以y＝x＋1；‎ 当x∈(0，＋∞)时，设y＝a(x－2)2－1，‎ 由图象得0＝a·(4－2)2－1，解得a＝，‎ 所以y＝(x－2)2－1.‎ 综上可知，f(x)＝ 答案：f(x)＝ ‎7．使log2(－x)0时，f(x)是周期函数，如图所示．‎ 若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，‎ 故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．‎ 答案：(－∞，1)‎ ‎9．已知函数f(x)＝ ‎(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；‎ ‎(2)写出f(x)的单调递增区间；‎ ‎(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．‎ 解：(1)函数f(x)的图象如图所示．‎ ‎(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]．‎ ‎(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，‎ 当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.‎ ‎10．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)作出函数f(x)的图象；‎ ‎(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；‎ ‎(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．‎ 解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.‎ ‎(2)f(x)＝x|x－4|＝ f(x)的图象如图所示．‎ ‎(3)f(x)的单调递减区间是[2，4]．‎ ‎(4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为(　　)‎ 解析：选C．由题意，令函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；因为f()＝＝0，f()＝＝<0，所以排除A；f(π)＝＝0，排除D.故选C．‎ ‎2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)‎ A．f(x)在(0，2)单调递增 B．f(x)在(0，2)单调递减 C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 解析：选C．法一：由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A，B；又f()＝ln＋ln(2－)＝ln ，f()＝ln＋ln(2－)＝ln，所以f()＝f()＝ln，所以排除D，故选C．‎ 法二：由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f′(x)＝＋＝，由，得00在R上恒成立，求m的取值范围．‎ 解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示，由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当00)，H(t)＝t2＋t，‎ 因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.‎ 因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，‎ 即所求m的取值范围为(－∞，0]．‎ ‎6．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，‎ 则点P关于(0，1)点的对称点P′(－x，2－y)在h(x)的图象上，‎ 即2－y＝－x－＋2，‎ 所以y＝f(x)＝x＋(x≠0)．‎ ‎(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，‎ g′(x)＝1－.‎ 因为g(x)在(0，2]上为减函数，‎ 所以1－≤0在(0，2]上恒成立，‎ 即a＋1≥x2在(0，2]上恒成立，‎ 所以a＋1≥4，‎ 即a≥3，‎ 故实数a的取值范围是[3，＋∞)．‎