高中数学选修2-3教学课件：3二项分布

高中数学选修2-3教学课件：3二项分布

探究 投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为 p ，则针尖向下的概率为 q=1-p. 连续掷一枚图钉 3 次，仅出现 1 次针尖向上的概率是多少？ 连续掷一枚图钉 3 次，就是做 3 次独立重复试验。用 表示第 i 次掷得针尖向上的事件，用 表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则 由于事件 彼此互斥，由概率加法公式得 所以，连续掷一枚图钉 3 次，仅出现 1 次针尖向上的概率是 思考？ 上面我们利用掷 1 次图钉，针尖向上的概率为 p ，求出了连续掷 3 次图钉，仅出现次 1 针尖向上的概率。类似地，连续掷 3 次图钉，出现 次针尖向上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？ 仔细观察上述等式，可以发现 我们称这样的随机变量 ξ 服从 二项分布 , 记作 , 其中 n ， p 为参数 , 并记 在一次试验中某事件发生的概率是 p ，那么在 n 次独立重复试验中这个事件 恰发生 x 次 , 显然 x 是一个随机变量 . ξ 0 1 … k … n p … … 于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下： 再看一例 练习 2 答案 例 1:1 名学生每天骑自行车上学 , 从家到学校的途中有 5 个交通岗 , 假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的 , 并且概率都是 1/3.(1) 求这名学生在途中遇到红灯的次数 ξ 的分布列 .(2) 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 . 解 :(1)ξ∽B(5,1/3),ξ 的分布列为 P(ξ=k)= ,k=0,1,2,3,4,5. (2) 所求的概率 :P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-32/243 =211/243. 练习 1. 将一枚均匀的骰子抛掷 10 次，试写出点数 6 向上的次数 ξ 的分布列 . ξ 0 1 … k … 10 P 服从二项分布 … … 经计算得 解 练习一下 解 注 : 事件首次发生所需要的试验次数 ξ 服从几何分布 ξ 1 2 3 … k … P p pq pq 2 … pq k-1 … 几何分布 练习 3: 某射手有 5 发子弹，射击一次命中的概率为 0.9, 如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数 的分布列 . 　　　　　　　 解： 的所有取值为： 1 、 2 、 3 、 4 、 5 表示前四次都没射中 4 3 2 1 5 故所求分布列为 : 例 3 十层电梯从底层到顶层停不少于 3 次的概率是多 少？停几次概率最大？ 例 4 将一枚骰子，任意地抛掷 500 次，问 1 点出现（指 1 点的面向上）多少次的概率最大？ 例 5 某人抛掷一枚硬币，出现正面和反面的概率都是 0.5 ，构 造数列 ，使 记 （ 1 ）求 时的概率； （ 2 ）求 时的概率。 1 ，当第 n 次出现正面 -1 ，当第 n 次出现反面 例 6 （ 07 ，江苏）某气象站天气预报的准确率为 80% ， 计算 : （结果保留到小数点后面第 2 位） （ 1 ） 5 次预报中恰有 2 次准确的概率； （ 2 ） 5 次预报中至少有 2 次准确的概率； （ 3 ） 5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准 确的概率。 巴拿赫 (Banach) 火柴盒问题 波兰数学家随身带着两盒火柴，分别放在左、右两个衣袋里，每盒有 n 根火柴，每次使用时，便随机地从其中一盒中取出一根。试求他发现一盒已空时，另一盒中剩下的火柴根数 k 的分布列。 则称这 n 次重复试验为 n 重贝努里试验，简称为 贝努里概型 . 若 n 次重复试验具有下列 特点： 2 . n 重贝 努利 ( Bernoulli ) 试验 1) 每次试验的可能结果只有两个 A 或 2) 各次试验的结果相互独立， ( 在各次试验中 p 是常数，保持不变）