2018届二轮复习定点定值存在性问题课件（全国通用）

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第三讲 定点、定值、存在性问题 【 知识回顾 】 1. 定点、定值、存在性问题的解读 (1) 定点问题 : 在解析几何中 , 有些含有参数的直线或曲线的方程 , 不论参数如何变化 , 其都过某定点 , 这类问题称为定点问题 . (2) 定值问题 : 在解析几何中 , 有些几何量 , 如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关 , 这类问题统称为定值问题 . (3) 存在性问题的解题步骤 : ① 先假设存在 , 引入参变量 , 根据题目条件列出关于参变量的方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ). ② 解此方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ), 若有解则存在 , 若无解则不存在 . ③ 得出结论 . 2. 几个重要结论 (1) 直线与圆锥曲线相交的问题 , 牢记 “ 联立方程 , 根与 系数的关系 ,Δ 定范围 , 运算推理 ” . (2) 有关弦长问题 , 牢记弦长公式 |AB|= |x 1 -x 2 | = |y 1 -y 2 | 及根与系数的关系 , “ 设而不求 ” ; 有关 焦点弦长问题 , 要牢记圆锥曲线定义的运用 , 以简化运算 . (3) 涉及弦中点的问题 , 牢记 “ 点差法 ” 是联系中点坐标和弦所在直线的斜率的好方法 . (4) 求参数范围的问题 , 牢记 “ 先找不等式 , 有时需要找出两个量之间的关系 , 然后消去另一个量 , 保留要求的量 ” . 不等式的来源可以是 Δ>0 或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等 . 【 易错提醒 】 1. 对概念理解不准确致误 : 直线与双曲线、抛物线相交于一点时 , 不一定相切 , 反之 , 直线与双曲线、抛物线相切时 , 只有一个交点 . 2. 忽略直线斜率不存在的情况致误 : 过定点的直线 , 若需设直线方程 , 应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解 . 3. 混淆点的坐标与线段长度致误 : 在表示三角形面积时 , 用顶点到坐标轴的距离表示三角形边长的距离要注意符号 . 【 考题回访 】 1.(2016· 北京高考 ) 已知椭圆 C ： (a>b>0) 的 离心率为 ， A(a ， 0) ， B(0 ， b) ， O(0 ， 0) ，△ OAB 的面积为 1. (1) 求椭圆 C 的方程 . (2) 设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N. 求证： |AN|·|BM| 为定值 . 【 解析 】 (1) 离心率 e= 所以 a=2b. △ OAB 的面积为 ab =1 ，所以 a=2 ， b=1. 所以椭圆 C 的方程为 +y 2 =1. (2) 设 P(x 0 ， y 0 ). 当直线 BP 的斜率存在时， 直线 AP 方程为 y= (x-2) ，直线 BP 方程为 y= x+1. 所以 所以 所以 |AN|·|BM|= 因为点 P 在椭圆 C 上，所以 代入上式得 |AN|·|BM| 当 BP 的斜率不存在时， N(0 ， 0) ， M(0 ， -1) ， |AN|·|BM|=4. 因此， |AN|·|BM| 为定值 4. 2.(2015 · 全国卷 Ⅰ) 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C:y = 与直线 y= kx+a(a >0) 交于 M,N 两点 . (1) 当 k=0 时 , 分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程 . (2)y 轴上是否存在点 P, 使得当 k 变动时 , 总有∠ OPM= ∠OPN? 说明理由 . 【 解析 】 (1) 由题设可得 M(2 ,a),N(-2 ,a), 或 M(-2 ,a),N(2 ,a). 又 y′= , 故 y= 在 x=2 处的导数值为 , 曲线 C 在 点 (2 ,a) 处的切线方程为 y-a= (x-2 ), 即 x -y-a=0. y= 在 x=-2 处的导数值为 - , 曲线 C 在点 (-2 ,a) 处的切线方程为 y-a=- (x+2 ), 即 x+y+a =0. (2) 存在符合题意的点 P, 证明如下 : 设 P(0,b) 为符合题意的点 ,M(x 1 ,y 1 ),N(x 2 ,y 2 ), 直线 PM,PN 的斜率分别为 k 1 ,k 2 . 将 y= kx+a 代入 C 的方程得 x 2 -4kx-4a=0. 故 x 1 +x 2 =4k,x 1 x 2 =-4a. 从而 当 b=-a 时 , 有 k 1 +k 2 =0, 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补 , 故∠ OPM=∠OPN, 所以点 P(0,-a) 符合题意 . 热点考向一 　圆锥曲线中的定点问题 命题解读 : 主要考查直线、曲线过定点或两条直线的交点在定曲线上 , 以解答题为主 . 【 典例 1】 已知 p,m >0, 抛物线 E:x 2 =2py 上一点 M(m,2) 到 抛物线焦点 F 的距离为 . (1) 求 p 和 m 的值 . (2) 如图所示 , 过 F 作抛物线 E 的两条弦 AC 和 BD( 点 A,B 在 第一象限 ), 若 k AB +4k CD =0, 求证 : 直线 AB 经过一个定点 . 【 解题导引 】 (1) 依据点 M 到抛物线焦点 F 的距离及抛物线的定义求 p, 进而求出抛物线方程 , 然后代入 M 点的坐标求得 m. (2) 设出直线 AB,AC 的方程及点 A,B,C,D 的坐标 , 根据 k AB +4k CD =0 找出四点横坐标之间的关系 , 从而可求出经过的定点 . 【 规范解答 】 (1) 由点 M(m,2) 到抛物线焦点 F 的距离 为 , 结合抛物线的定义得 , 即 p=1, 所以抛物线 的方程为 x 2 =2y, 把点 M(m,2) 的坐标代入 , 可解得 m=2. (2) 显然直线 AB,AC 的斜率都存在 , 分别设 AB,AC 的方程 为 y=k 1 x+b,y=k 2 x+ , 联立 得 x 2 -2k 1 x-2b=0, 联立 得 x 2 -2k 2 x-1=0, 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),C(x 3 ,y 3 ),D(x 4 ,y 4 ), 则 x 1 x 2 =-2b,x 1 x 3 =-1, 同理 ,x 2 x 4 =-1, 故 k AB +4k CD = 注意到点 A,B 在第一象限 ,x 1 +x 2 ≠0, 所以 =0 故得 x 1 x 2 =4,-2b=4, 所以 b=-2, 即直线恒经过点 (0,-2). 【 一题多解 】 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),C(x 3 ,y 3 ),D(x 4 ,y 4 ), 显然直线 AC,BD 的斜率都存在 , 设 AC 的方程为 y= kx + , 联立 得 x 2 -2kx-1=0, 所以 x 1 x 3 =-1, 同理 ,x 2 x 4 =-1, 故 k AB +4k CD = 注意到点 A,B 在第一象限 ,x 1 +x 2 ≠0, 所以 故得 x 1 x 2 =4, 直线 AB 的方程为 化简得 即直线 AB 恒经过点 (0,-2). 【 规律方法 】 动线过定点问题的两大类型及解法 (1) 动直线 l 过定点问题 , 解法 : 设动直线方程 ( 斜率存在 ) 为 y= kx+t , 由题设条件将 t 用 k 表示为 t= mk , 得 y= k(x+m ), 故动直线过定点 (-m,0). (2) 动曲线 C 过定点问题 , 解法 : 引入参变量建立曲线 C 的方程 , 再根据其对参变量恒成立 , 令其系数等于零 , 得出定点 . 【 变式训练 】 (2016 · 合肥二模 ) 已知椭圆 E: (a>b>0) 经过点 (2 ,2), 且离心率为 ,F 1 ,F 2 是椭圆 E 的左 , 右焦点 . (1) 求椭圆 E 的方程 . (2) 若点 A,B 是椭圆 E 上关于 y 轴对称的两点 (A,B 不是长轴的端点 ), 点 P 是椭圆 E 上异于 A,B 的一点 , 且直线 PA,PB 分别交 y 轴于点 M,N, 求证 : 直线 MF 1 与直线 NF 2 的交点 G 在定圆上 . 【 解析 】 (1) 由条件得 a=4,b=c=2 , 所以椭圆 E 的方程 为 (2) 设 B(x 0 ,y 0 ),P(x 1 ,y 1 ), 则 A(-x 0 ,y 0 ), 直线 PA 的方程为 y-y 1 = (x-x 1 ), 令 x=0, 得 y= 故 同理可得 所以 , 所以 ,F 1 M⊥F 2 N, 所以直线 F 1 M 与直线 F 2 N 的交点 G 在以 F 1 F 2 为直径的圆上 . 【 加固训练 】 已知椭圆 C: (a>b>0) 的离心率 e= , 短轴长 为 2 . (1) 求椭圆 C 的标准方程 . (2) 如图 , 椭圆左顶点为 A, 过原点 O 的直线 ( 与坐标轴不重合 ) 与椭圆 C 交于 P,Q 两点 , 直线 PA,QA 分别与 y 轴交于 M,N 两点 . 试问以 MN 为直径的圆是否经过定点 ( 与直线 PQ 的斜率无关 )? 请证明你的结论 . 【 解析 】 (1) 由短轴长为 2 , 得 b= , 由 e= 得 a 2 =4,b 2 =2. 所以椭圆 C 的标准方程为 =1. (2) 以 MN 为直径的圆过定点 F(± ,0). 证明如下 : 设 P(x 0 ,y 0 ), 则 Q(-x 0 ,-y 0 ), 且 , 即 因为 A(-2,0), 所以直线 PA 方程为 :y= (x+2), 所以 M(0, ), 直线 QA 方程为 :y= (x+2), 所以 N(0, ), 以 MN 为直径的圆为 (x-0)(x-0)+( y- )( y- )=0, 即 x 2 +y 2 - 因为 x 0 2 -4=-2y 0 2 ，所以 x 2 +y 2 +2 y-2=0, 令 y=0, 则 x 2 -2=0, 解得 x=± . 所以以 MN 为直径的圆过定点 F(± ,0). 热点考向二 　圆锥曲线中的定值问题 命题解读 : 以直线与圆锥曲线的位置关系为背景 , 考查转化与化归思想以解答题为主 , 和对定值问题的处理能力 , 常涉及式子、面积的定值问题 . 【 典例 2】 (2015 · 全国卷 Ⅱ) 已知椭圆 C:9x 2 +y 2 =m 2 (m>0), 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴 , l 与 C 有两个 交点 A,B, 线段 AB 的中点为 M. (1) 证明 : 直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 . (2) 若 l 过点 延长线段 OM 与 C 交于点 P, 四边形 OAPB 能否为平行四边形 ? 若能 , 求此时 l 的斜率 , 若不能 , 说明 理由 . 【 解题导引 】 (1) 将直线 y=kx+b(k≠0,b≠0) 与椭圆 C:9x 2 +y 2 =m 2 (m>0) 联立 , 结合根与系数的关系及中点坐标公式证明 .(2) 由四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分求解证明 . 【 解析 】 (1) 设直线 l :y =kx+b(k ≠ 0,b ≠ 0), A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),M(x M ,y M ). 将 y= kx+b 代入 9x 2 +y 2 =m 2 得 (k 2 +9)x 2 +2kbx+b 2 -m 2 =0, 故 于是直线 OM 的斜率 即 k OM · k =-9, 所以直 线 OM 的斜率与 l 的斜率的积是定值 . (2) 四边形 OAPB 能为平行四边形 . 因为直线 l 过点 所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的 充要条件是 k>0,k≠3. 由 (1) 得 OM 的方程为 y= 设点 P 的横坐标为 x P . 将点 的坐标代入 l 的方程得 四边形 OAPB 为平行四边形 , 当且仅当线段 AB 与线段 OP 互 相平分 , 即 x P =2x M . 于是 解得 因为 k i >0,k i ≠3,i=1,2, 所以当 l 的斜率为 4- 或 4+ 时 , 四边形 OAPB 为平行四边形 . 【 规律方法 】 求解定值问题的两大途径 (1) 首先由特例得出一个值 ( 此值一般就是定值 ) 然后证明定值 : 即将问题转化为证明待证式与参数 ( 某些变量 ) 无关 . (2) 先将式子用动点坐标或动线中的参数表示 , 再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值 . 【 变式训练 】 (2016 · 中原名校联盟二模 ) 已知椭圆 C: (a>b>0) 的左、右焦点分别为 F 1 ,F 2 , 点 B(0, ) 为短轴的一个端点 ,∠OF 2 B=60°. (1) 求椭圆 C 的方程 . (2) 如图 , 过右焦点 F 2 , 且斜率为 k(k≠0) 的 直线 l 与椭圆 C 相交于 D,E 两点 ,A 为椭圆的 右顶点 , 直线 AE,AD 分别交直线 x=3 于点 M,N, 线段 MN 的中点为 P, 记直线 PF 2 的斜率为 k′. 试问 k · k ′ 是否为定值 ? 若为定值 , 求出该定值 ; 若不为定值 , 请说明理由 . 【 解析 】 (1) 由条件可知 a=2,b= , 故所求椭圆方程为 (2) 设过点 F 2 (1,0) 的直线 l 方程为 :y=k(x-1). 由 可得 :(4k 2 +3)x 2 -8k 2 x+4k 2 -12=0 因为点 F 2 (1,0) 在椭圆内 , 所以直线 l 和椭圆都相交 , 即 Δ>0 恒 成立 . 设点 E(x 1 ,y 1 ),D(x 2 ,y 2 ), 则 因为直线 AE 的方程为 : y= (x-2), 直线 AD 的方程为 :y= (x-2), 令 x=3, 可得 所以点 P 的坐标 直线 PF 2 的斜率为 k′= 所以 k · k ′ 为定值 - . 【 加固训练 】 如图所示 , 在平面直角坐标 系 xOy 中 , 设椭圆 E: =1(a>b>0), 其中 b= a, 过椭圆 E 内一点 P(1,1) 的两条直线分别与椭圆 交于点 A,C 和 B,D, 且满足 其中 λ 为正 常数 . 当点 C 恰为椭圆的右顶点时 , 对应的 λ= . (1) 求椭圆 E 的离心率 . (2) 求 a 与 b 的值 . (3) 当 λ 变化时 , k AB 是否为定值 ? 若是 , 请求出此定值 ; 若不是 , 请说明理由 . 【 解题导引 】 (1) 由 b= a 求离心率 . (2) 由 时 ,C 为椭圆的右顶点 , 求点 A 坐标 , 代入椭圆方程 , 求 a,b . (3) 设出点 A,B,C,D 的坐标 , 利用点差法求 k AB 与 k CD , 再根据 k AB = k CD 求解 . 【 解析 】 (1) 因为 b= a, 所以 b 2 = a 2 , 得 a 2 -c 2 = a 2 , 所以 e 2 = ,e= . (2) 因为 C(a,0),λ= , 所以由 得 将它代入到椭圆方程中 , 得 解得 a=2( 负值舍去 ), 所以 a=2,b= . (3) 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),C(x 3 ,y 3 ),D(x 4 ,y 4 ), 由 得 同理 将 A,B 坐标代入椭圆方程得 两式相减得 3(x 1 +x 2 )(x 1 -x 2 )+4(y 1 +y 2 )(y 1 -y 2 )=0, 即 3(x 1 +x 2 )+4(y 1 +y 2 )k AB =0, 同理 ,3(x 3 +x 4 )+4(y 3 +y 4 )k CD =0, 而 k AB =k CD , 所以 3(x 3 +x 4 )+4(y 3 +y 4 )k AB =0, 所以 3λ(x 3 +x 4 )+4λ(y 3 +y 4 )k AB =0, 所以 3(x 1 +λx 3 +x 2 +λx 4 )+4(y 1 +λy 3 +y 2 +λy 4 )k AB =0, 即 6(1+λ)+8(1+λ)k AB =0, 所以 k AB =- 为定值 . 热点考向三 　圆锥曲线中的存在性问题 命题解读 : 以直线与圆锥曲线的位置关系为背景 , 考查学生分析问题和解决问题的能力 . 命题角度一　点、线的存在性问题 【 典例 3】 (2016 · 临汾二模 ) 已知椭圆 C: (a>b>0) 的离心率为 , 以原点 O 为圆心 , 椭圆 C 的长半 轴长为半径的圆与直线 2x- y+6=0 相切 . (1) 求椭圆 C 的标准方程 . (2) 已知点 A,B 为动直线 y=k(x-2)(k≠0) 与椭圆 C 的两个 交点 , 问 : 在 x 轴上是否存在定点 E, 使得 为定值 ? 若存在 , 试求出点 E 的坐标和定值 ; 若不存在 , 请说明理由 . 【 题目拆解 】 解答本题第 (2) 问 , 可拆解成两个小题 : ① 假设存在定点 E(m,0), 把 用 k,m 表示 ; ② 寻找满足定值需要的条件 . 【 规范解答 】 (1) 由 e= 得 即 c= a, 　① 又以原点 O 为圆心 , 椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x 2 +y 2 =a 2 且与直线 2x- y+6=0 相切 , 所以 a= 代入①得 c=2, 所以 b 2 =a 2 -c 2 =2. 所以椭圆 C 的标准方程为 (2) 由 得 (1+3k 2 )x 2 -12k 2 x+12k 2 -6=0. 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 所以 根据题意 , 假设 x 轴上存在定点 E(m,0), 使得 为定值 . 则 =(x 1 -m,y 1 ) · (x 2 -m,y 2 )=(x 1 -m)(x 2 -m)+y 1 y 2 =(k 2 +1)x 1 x 2 -(2k 2 +m)(x 1 +x 2 )+(4k 2 +m 2 ) 要使上式为定值 , 即与 k 无关 ,3m 2 -12m+10=3(m 2 -6), 得 m= . 此时 , 所以在 x 轴上存在定点 E 使得 为定值 , 值为 - . 命题角度二　字母参数值的存在性问题 【 典例 4】 (2016 · 长沙二模 ) 如图 , 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知 F 1 ,F 2 分别是椭圆 E: (a>b>0) 的左、 右焦点 ,A,B 分别是椭圆 E 的左、右顶点 ,D(1,0) 为线段 OF 2 的中点 , 且 (1) 求椭圆 E 的方程 . (2) 若 M 为椭圆 E 上的动点 ( 异于点 A,B), 连接 MF 1 并延长交椭圆 E 于点 N, 连接 MD,ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P,Q, 连接 PQ, 设直线 MN,PQ 的斜率存在且分别为 k 1 ,k 2 . 试问是否存在常数 λ, 使得 k 1 +λk 2 =0 恒成立 ? 若存在 , 求出 λ 的值 ; 若不存在 , 说明理由 . 【 解题导引 】 (1) 根据条件 D(1,0) 为线段 OF 2 的中点 , 且 以及 a 2 =b 2 +c 2 , 即可求解 .(2) 将直线 MD 的方 程与椭圆方程联立 , 利用根与系数的关系即可建立 k 1 ,k 2 所满足的一个关系式 , 从而可探究 λ 的存在性 . 【 规范解答 】 (1) 因为 , 所以 因为 a+c =5(a-c), 化简得 2a=3c, 点 D(1,0) 为线段 OF 2 的 中点 , 所以 c=2, 从而 a=3,b= , 左焦点 F 1 (-2,0), 故椭圆 E 的方程为 (2) 存在满足条件的常数 λ,λ =- , 设 M(x 1 ,y 1 ),N(x 2 ,y 2 ), P(x 3 ,y 3 ),Q(x 4 ,y 4 ), 则直线 MD 的方程为 x= 代入椭 圆方程 整理得 , 所以 y 1 +y 3 = 所以 y 3 = 从而 x 3 = 故点 同理 , 点 因为三点 M,F 1 ,N 共线 , 所以 从而 x 1 y 2 -x 2 y 1 =2(y 1 -y 2 ), 从而 故 k 1 - =0, 从而存在满足条件的常数 λ,λ =- . 【 规律方法 】 存在性问题求解的思路及策略 (1) 思路 : 先假设存在 , 推证满足条件的结论 , 若结论正确 , 则存在 ; 若结论不正确 , 则不存在 . (2) 策略 :① 当条件和结论不唯一时要分类讨论 ; ② 当给出结论而要推导出存在的条件时 , 先假设成立 , 再推出条件 . 【 变式训练 】 (2016 · 哈尔滨二模 ) 已知椭圆 C: (a>b>0) 的焦 点分别为 F 1 (- ,0),F 2 ( ,0), 点 P 在椭圆 C 上 , 满足 |PF 1 |=7|PF 2 |,tan∠F 1 PF 2 =4 . (1) 求椭圆 C 的方程 . (2) 已知点 A(1,0), 试探究是否存在直线 l :y = kx+m 与椭圆 C 交于 D,E 两点 , 且使得 |AD|=|AE|? 若存在 , 求出 k 的取值范围 ; 若不存在 , 请说明理由 . 【 解析 】 (1) 由 |PF 1 |=7|PF 2 |,PF 1 +PF 2 =2a 得 由余弦定理得 cos ∠ F 1 PF 2 = 所以 a=2, 所以所求 C 的方程为 +y 2 =1. (2) 假设存在直线 l 满足题设 , 设 D(x 1 ,y 1 ),E(x 2 ,y 2 ), 将 y= kx+m 代入 +y 2 =1 并整理得 (1+4k 2 )x 2 +8kmx+4m 2 -4=0, 由 Δ=64k 2 m 2 -4(1+4k 2 )(4m 2 -4)=-16(m 2 -4k 2 -1)>0, 得 4k 2 +1>m 2 ①, 又 x 1 +x 2 = 设 D,E 中点为 M(x 0 ,y 0 ), k AM k =-1, 得 m= ②, 将②代入① 得 4k 2 +1> 化简得 20k 4 +k 2 -1>0⇒(4k 2 +1)(5k 2 -1) >0, 解得 k> 或 k<- , 所以存在直线 l , 使得 |AD|=|AE|, 此时 k 的取值范围为