2-5-2&2-5-3 向量数量积的坐标表示 利用数量积计算长度与角度 课件（76张）
5.2 向量数量积的坐标表示
5.3 利用数量积计算长度与角度
必备知识·自主学习
导思
1.怎样用坐标表示向量的数量积?怎样用
坐标表示向量的模与夹角?
2.怎样用坐标运算判断向量的平行与垂
直关系?
平面向量数量积的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
【思考】
由向量长度的坐标表示,能否得出平面内两点间的距离公式?
提示:设A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),由向量长度的坐标表示可得
|AB|=| |=
AB
AB
2 2
2 1 2 1(x x ) (y y ) .
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若两向量满足a·b<0,则两向量的夹角θ一定是钝角;( )
(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量a,b的夹角θ满足
( )
(3)若A(1,0),B(0,-1),则 ( )
(4)若△ABC是直角三角形,则 ( )
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
x x y ycos
x y x y
；
AB = 2
；
AB BC 0.
提示:(1)×.两向量满足a·b<0,两向量的夹角θ也可能是平角.
(2)×.当a≠0且b≠0时,向量a,b的夹角θ满足 即向量夹角
公式的适用范围是a≠0且b≠0.
(3)√.由两点间的距离公式,得
(4)×.△ABC是直角三角形,三个角都有可能是直角,不一定就是角B.
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
x x y ycos
x y x y
2 2AB (0 1) ( 1 0) 2.
2.已知向量a=(-4,7),向量b=(5,2),则a·b的值是 ( )
A.34 B.27 C.-43 D.-6
【解析】选D.因为a=(-4,7),b=(5,2),所以a·b=(-4,7)·(5,2)=-4×5+7×2=-
20+14=-6.
3.已知a=( ,1),b=(- ,1),则向量a,b的夹角θ=________.
【解析】由题 ,所以θ=120°.
答案:120°
4.已知a=(2,-1),b=(1,x),且a⊥b,则x=________.
【解析】由题意知a·b=2×1+(-1)×x=0,得x=2.
答案:2
3 3
3 1 1cos 2 2 2
a b
a b
关键能力·合作学习
类型一 向量数量积的坐标运算(数学运算,直观想象)
【题组训练】
1.若向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x= ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,点F在AD上, ,则
=________.
AF=2FD
BE CF
【解析】1.选C.方法一:因为a=(1,-1),b=(-1,2),
所以|a|= ,a·b=-3,从而(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.
方法二:因为 a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),
从而(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.
2.选C.因为a=(1,1),b=(2,5),所以8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3).又因为(8a-
b)·c=30,所以(6,3)·(3,x)=18+3x=30,所以x=4.
2
3.建立平面直角坐标系如图所示,则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),C(2,0),
因为 ,所以F .所以 =(2,1), -(2,0)=
所以 =(2,1)· =2×(- )+1×2= .
答案:
AF=2FD
4( 2)3， BE
4CF=( 2)3
， 2( 2)3
，，
BE CF
2( 2)3
， 2
3
2
3
2
3
【解题策略】
数量积的坐标运算方法
(1)一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算.
(2)二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.图形中的数量积,
如果图形合适,就可以建立坐标系,采用坐标运算.
【补偿训练】
1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k= ( )
A.-12 B.-6 C.6 D.12
【解析】选D.2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-
k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.
2.已知a与b同向,b=(1,2),a·b=10.
(1) a的坐标为________;
(2)若c=(2,-1),则a(b·c)=________,(a·b)c=________.
【解析】(1)设a=λb=(λ,2λ)(λ>0),则有a·b=λ+4λ=10,所以λ=2,所以
a=(2,4).
(2)因为b·c=1×2-2×1=0,a·b=10,所以a(b·c)=0a=0,(a·b)c=10(2,-
1)=(20,-10).
答案:(1)(2,4) (2)0 (20,-10)
类型二 向量模的计算(数学运算)
【典例】设平面向量a=(1,1),b=(0,2).求a-2b的坐标和模的大小.
【思路导引】利用向量的坐标运算求得a-2b的坐标表示,然后求模.
【解析】因为a=(1,1),b=(0,2),所以a-2b=(1,1)-2(0,2)=(1,-3),
所以 2 2| 2 | 1 ( 3) = 10. a b
【变式探究】
1.将例题中的条件不变 ,若c=3a-(a·b)b,试求|c|.
【解析】a·b=x1x2+y1y2=2, 所以c=3(1,1)-2(0,2)=(3,-1),所以
|c|= .2 23 ( 1) = 10
2.将例题中的b=(0,2)改为b=(0,-2),其他条件不变,若ka-b的模等于 ,试求
k值.
【解析】因为ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),因为ka-b的模等于 ,所以
,化简得k2+2k-3=0,解得k=1或k=-3.
10
10
2 2k (k 2) = 10
【解题策略】
向量模的计算方法
1.设a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或
2.向量a与b的数量积为a·b= cos
,通过数量积和夹角可以计算a或b
的模.
2 2= x y .a
a b
【跟踪训练】
1.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a⊥c,b∥c,则|a+b|= ( )
【解析】选D.因为a⊥c,b∥c,所以有2x-4=0且2y+4=0,解得x=2,y=-2,即
a=(2,1),b=(1,-2).所以a+b=(3,-1),|a+b|= .
A. 5 B.2 10 C.2 5 D. 10
10
2.若平面向量a与b的夹角为 ,a=(2,0),|a+2b|=2 ,则a·b= ( )
A.2 B.-2 C.-2 D.2
【解析】选C.因为平面向量a与b的夹角为 ,a=(2,0),|a+2b|=2 ,
所以 =2,a·b=2 ·cos =- , =12,
即为a2+4a·b+4b2=4-4 +4 =12,解得 =2(-1舍去),则a·b=-2.
2
3
3
3 3
2
3
3
ba 2
3
b 2( 2 )a b
b 2b b
类型三 向量的夹角与垂直(数学运算)
角度1 求两向量的夹角或夹角的余弦值
【典例】如图,在平面直角坐标系xOy中,O是原点.已知点A(16,12),B(-5,15).
试求∠OAB的度数.
【思路导引】先由坐标求向量的模,再代入夹角公式得余弦值,最后求角.
【解析】由 =(16,12), =(-5-16,15-12)=(-21,3),得
所以cos∠OAB=cos< , >=
其中 =-(16,12)·(-21,3)=-[16×(-21)+12×3]=300,
故cos∠OAB= .所以∠OAB=45°.
OA
AB
2 2 2 2OA 16 12 =20 AB ( 21) 3 =15 2.
，
AO
AB
AO AB .
AO AB
AO AB= OA AB
300 2= 220 15 2
角度2 已知夹角求参数的值或范围
【典例】(2020·全国Ⅰ卷)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则
m=________.
【思路导引】根据向量垂直,结合题中所给的向量的坐标,利用向量垂直的坐标
表示,求得结果.
【解析】由a⊥b可得a·b=0,
又因为a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),
所以a·b=1·(m+1)+(-1)·(2m-4)=0,即m=5.
答案:5
角度3 向量坐标背景下的垂直关系
【典例】在△ABC中 =(2,3), =(1,k),若△ABC是直角三角形,求k的值.
【思路导引】三个角A,B,C都有可能是直角,根据垂直时向量的数量积为零建立
方程.
AB
AC
【解析】因为 =(2,3), =(1,k),所以 =(-1,k-3).若∠A=90°,
则 =2×1+3×k=0,所以k=- ;若∠B=90°,则 =2×(-1)+3(k-3)=0,
所以k= ;若∠C=90°,则 =1×(-1)+k(k-3)=0,所以k= .故所求k
的值为- 或 或 .
AB
AC
BC=AC AB
AB AC
2
3 AB BC
11
3 AC BC
3 13
2
2
3
11
3
3 13
2
【解题策略】
1.利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤
(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积;(2)再运用
|a|= 求出两向量的模;(3)由公式 计算cos θ的值;(4)在
[0,π]内,由cos θ的值确定角θ.
2.垂直关系的坐标运算: (1)判断两个向量是否垂直,只需计算其数量积是否为
0;(2)若两向量垂直,则可利用数量积的坐标表示建立有关参数的方程,进而求
解.
2 2x y cos a b
a b
【题组训练】
1.已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+xb与-b垂直,则x的值为( )
【解析】选A.因为a+xb=(3,4)+x(2,-1)=(3+2x,4-x),-b=(-2,1),且(a+xb)⊥
(-b),所以-2(3+2x)+(4-x)=0,得x=- .
2 23 3A. B. C. D.25 3 23
2
5
2.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹
角,则m等于 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选D.因为a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),所以
a·c=m+4+2(2m+2)=5m+8,b·c=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.因为c与a的夹角等于c与
b的夹角,所以 解得m=2.5m 8 8m 20=b 5 2 5
＝ ，即 ＝ ，所以 ，a c b c a c b c
a c c a b
3.设向量a,b的夹角为θ,且a=(5,5),2b-a=(-1,1),则cos θ=________.
【解析】因为a=(5,5),所以2b=(5,5)+(-1,1)=(4,6).即b=(2,3).又
|a|=5 ,|b|= ,且a·b=(5,5)·(2,3)=25.所以
答案:
2 13
25 5 26cos = = .265 2 13
a b
a b
5 26
26
【补偿训练】
1.已知向量a=(1,3),b=(2,1),则a·b=________;a与b夹角的大小为________.
【解析】因为向量a=(1,3),b=(2,1),由向量数量积的坐标运算得
a·b=1×2+3×1=5,设a与b的夹角为θ,由向量的夹角公式得:
因为θ∈[0,π],所以θ=
答案:5
5 2cos 210 5
，a b
a b
.4
4
2.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________.
【解析】由题意知,a+c=(3,3m),(a+c)·b=3(m+1)+3m=0,解得m=- ,即a=(1,
-1),|a|=
答案:
1
2
2 21 ( 1) = 2.
2
类型四 用数量积解决简单的平面几何问题(直观想象,数学运算)
【典例】如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
【解题策略】
利用向量解决垂直问题的方法和途径
方法:对于线段的垂直问题,可以联想到两个向量垂直的条件,即向量的数量积
为0;
途径:可以考虑向量关系式的形式,也可以考虑坐标的形式.
【跟踪训练】
求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.
【解析】如图,分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系.
设A(2a,0),B(0,2a),则D(a,0),C(0,a),
从而可求: =(-2a,a), =(a,-2a),
不妨设 的夹角为θ,则
故所求钝角的余弦值为 .
AC
BD
AC BD
，
2
2
AC BD ( 2a a) (a 2a) 4a 4cos = = .5a 55a 5aAC BD
， ，
4
5
1.若向量a=(x,2),b=(-1,3),a·b=3,则x= ( )
A.3 B.-3 C. D.-
【解析】选A.a·b=-x+6=3,故x=3.
课堂检测·素养达标
5
3
5
3
2.已知a=(- ,-1),b=(1, ),那么a,b的夹角θ= ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】选D. ,又因为0°≤θ≤180°,所以θ=150°.
3 3
3 3 3cos =2 2 2
3.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,则|a|等于 ( )
A.1 B. C.2 D.4
【解析】选C.因为(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0,所以n=± .
所以
2
3
2 2a = 1 n =2.
4.已知向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3 ,则b= ( )
A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3)
【解析】选A.由题意,设b=λa=(λ,-2λ)(λ<0),由于|b|=3 .所以|b|=
,所以λ=-3,即b=(-3,6).
5
5
2 2 2( 2 ) = 5 =3 5
5.已知a=(-3,-2),b=(-4,k),若(5a-b)·(b-3a)=-55,试求b的坐标.
【解析】因为a=(-3,-2),b=(-4,k),所以5a-b=(-11,-10-k).b-3a=(5,k+6),
所以(5a-b)·(b-3a)=(-11,-10-k)·(5,k+6)=-55-(k+10)(k+6)=-55,所以
(k+10)(k+6)=0,
所以k=-10或k=-6,所以b=(-4,-10)或b=(-4,-6).
二十一 向量数量积的坐标表示 利用数量积计算长度与角度
【基础通关——水平一】(15分钟 30分)
1.设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是 ( )
A.|a|=|b| B.a·b=
C.(a-b)⊥b D.a∥b
课时素养评价
1
2
【解析】选C.因为a=(2,0),b=(1,1),所以|a|=2,|b|= ,|a|≠|b|,故A错误;
a·b=(2,0)·(1,1)=2×1+0×1=2,故B错误;
因为a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=0,所以(a-b)⊥b,故C正确.
因为2×1-0×1≠0,所以a与b不共线,故D错误.
2
2.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k= ( )
A. B.0 C.3 D.
【解析】选C.因为a=(k,3),b=(1,4),所以2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6).
因为(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)·c=(2k-3,-6)·(2,1)=2(2k-3)-6=0,解得k=3.
9
2
15
2
3.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是________三角形( )
A.直角 B.锐角 C.钝角 D.等边
【解析】选A.由题设知 =(8,-4), =(2,4), =(-6,8),所以
=2×8+(-4)×4=0,即 ,所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.
AB
AC
BC
AB AC
AB AC
4.已知a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45°,则实数t=________.
【解析】因为a=(4,-3),b=(2,1),所以a+tb=(2t+4,t-3),所以(a+tb)·b=5t+5.
又因为
且(a+tb)·b=|a+tb||b|cos 45°,所以 整理得t2+2t
-3=0,解得t=1或t=-3,经检验知t=-3不成立,故t=1.
答案:1
2 2 2t (2t 4) (t 3) = 5t 10t 25 = 5 ， ，a b b
2 25t 5= 5t 10t 25 5 2
，
5.若a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则
向量 的模为________.
【解析】因为a∥b,所以x=4,所以b=(4,-2),所以a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y),
因为(a+b)⊥(b-c),所以(a+b)·(b-c)=0,
即6-3(-2-y)=0,所以y=-4,
故向量 =(-8,8),| |=8 .
答案:8
MN
MN
MN
2
2
6.已知a=( ,-1),b=
(1)求证:a⊥b;
(2)是否存在实数k,使x=a-2b,y=-ka+b,且x⊥y,若存在,求k的值;不存在,请说
明理由.
3 1 3( ).2 2，
【解析】(1)因为a·b= 所以a⊥b.
(2)因为x=( ,-1)-2
y=
假设存在k使x⊥y,
所以x·y= 化简得-4k-2=0,所以k=- 即存在
k=- 满足条件.
1 33 ( 1) =0.2 2
3
1 3( )2 2，
( 3 1 1 3) ， ，
1 3k( 3 1) ( )2 2
， ，
1 3=( 3k k ).2 2
，
1 3( 3 1)( 3k) ( 1 3)(k )2 2
， 1
2
1
2
【能力进阶——水平二】(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知向量a=(-1,x),b=(2,-1),若(a-2b)⊥b,则a与b的夹角的余弦值为( )
【解析】选B.因为向量a=(-1,x),b=(2,-1),
所以a-2b=(-5，x+2).又b=(2,-1),(a-2b)⊥b,所以-10-(x+2)=0,即x=-12,所
以
29 2 29 3 4A. B. C. D.29 29 5 5
2 12 2 29cos .29145 5
a b
a b
2.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5 ,则|b|=( )
A. B. C.5 D.25
【解析】选C.方法一:设b=(x,y),则a·b=2x+y=10①,又
a+b=(x+2,y+1),|a+b|=5 ,所以(x+2)2+(y+1)2=50 ②,
①与②联立得 或 所以|b|=
方法二:由|a+b|=5 得a2+2a·b+b2=50,即5+20+b2=50,所以b2=25,所以|b|=5.
105
2
2
x=3
y=4
，
，
x=5
y=0.
， 2 2x y =5.
2
3.在四边形ABCD中, =(1,2), =(-4,2),则该四边形的面积为( )
A. B.2 C.5 D.10
【解析】选C.因为 =(1,2)·(-4,2)=-4+4=0,所以 ,所以S四边形ABCD=
AC
BD
5 5
AC BD
AC BD
1 1AC BD = 5 2 5=5.2 2
4.已知向量a=(sin α,-2),b=(1,cos α),且a⊥b,则 等于( )
【解析】选A.因为a⊥b,所以sinα-2cosα=0,可得sin α=2cos α,
因为sin α+cos α≠0,所以sin α=2cos α≠0,则
sin
sin cos
2 4 5A. B.1 C. D.3 3 3
sin 2cos 2 .sin cos 2cos cos 3
二、多选题(每小题5分,共10分)
5.已知 =(4,2), =(k,-2),若△ABC为直角三角形,则k可取的值是
( )
A.1 B.2 C.4 D.6
AC
AB
【解析】选AD.当A=90°时, ,则4k-4=0,k=1;
当B=90°时, 所以4(k-4)+2×(-4)=0,解得
k=6;
当C=90°时, ,则k(k-4)+(-2)×(-4)=0,即k2-4k+8=0,无解.故k=1或6.
AC AB
AB BC BC AC AB (k 4 4)
，又 ， ，
AC BC
6.若向量i, j为互相垂直的单位向量,a=i-2j, b=i+mj,且a与b的夹角为锐角,则
实数m可取的值有 ( )
A.-4 B.-2 C.0 D.
【解析】选AC.由题意,因为a与b夹角为锐角,所以a·b=(i-2j)·(i+mj)=1-2m>0,且
b,a不共线,所以m< .当a∥b时,可得m=-2,所以实数λ的取值范围是(-∞,-
2)∪(-2, ),于是AC符合.
1
2
1
2
1
2
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·浙江高考)设e1,e2为单位向量,满足|2e1-e2|≤ ,a=e1+e2,b=3e1+e2,
设a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值为________.
2
【解析】(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ
=(e1+e2)2(3e1+e2)2cos2θ
=(2+2e1·e2)(10+6e1·e2)cos2θ=[(e1+e2)·(3e1+e2)]2= 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2(3 4 ) (4 4 ) ，e e e e e e
所以
(10+6e1·e2)cos2θ=8(1+e1·e2),(6cos2θ-8)e1·e2=8-10cos2θ,
又因为 -4e1·e2≤2,5-4e1·e2≤2,所以e1·e2≥ ,
所以e1·e2=
所以cos2θ的最小值为 .
答案:
2
2 1 2
1 2 1 2
(4 4 )cos (2 2 )(10 6 )
e e
e e e e
2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
16(1 ) 8(1 )
2(1 )(10 6 ) 10 6
e e e e
e e e e e e
2 2
1 24 e e
3
4
2 2 2
2 2 2
8 10cos 3 8 10cos 3 29cos 280 06cos 8 4 6cos 8 4 4(3cos 4)
， ， ，
228 4cos29 3
， 28
29
28
29
8.已知向量 =(1,7), =(5,1)(O为坐标原点),设M为直线y= x上的一点,
那么 的最小值是________,此时M点的坐标为________.
【解析】设M ,则
所以当x=4时, 取得最小值-8.
答案:-8 (4,2)
OA
OB
1
2
MA MB
1(x x)2， 1 1MA=(1 x 7 x) MB=(5 x 1 x)2 2
， ， ， ，
21 1 5MA MB=(1 x)(5 x) (7 x)(1 x)= (x 4) 8.2 2 4
MA MB
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2 ,且c与a方向相反,求c的坐标;
(2)若|b|= ,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
5
5
2
【解析】(1)设c=(x,y),由c∥a及|c|=2 ,可得 所以 或
因为c与a方向相反,所以c=(-2,-4).
(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0,所以2|a|2+3a·b-2|b|2=0,
所以2×5+3a·b-2× =0,解得a·b=- .
所以 又因为θ∈[0,π],所以θ=π.
5 2 2
1 y 2 x=0
x y =20
，
，
x=2
y=4
， x= 2
y= 4.
，
5
4
5
2
cos 1. a b
a b
10.已知 =(2,1), =(1,7), =(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O为坐
标原点).
(1)求使 取到最小值时的 ;
(2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB.
OP
OB
OA
CA CB
OC
【解析】(1)因为点C是直线OP上一点,所以向量 与 共线,设 =t ,则
=(2t,t). =(1-2t,7-t), =(5-2t,1-t),
=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8,
当t=2时, 取得最小值,此时 =(4,2).
(2)当 =(4,2)时, =(-3,5), =(1,-1),
所以| |= ,| |= , =-8,
所以
OP
OC
OP
OC
OC
CA OA OC
CB OB OC CA CB
CA CB
OC
OC
CA
CB
CA
CB
34 2 CA CB
CA CB 4 17cos ACB= = .17CA CB
【创新迁移】
1.已知平面向量a,b,a=(2cosα,2sinα),b=(cosβ,sinβ),若对任意的实数
λ,|a-λb|的最小值为 ,则此时|a-b|= ( )
A.1 B.2 C. D. 或
3
2 3 7
【解析】选D.由题知a,b终点分别在以2和1为半径的圆上运动,设a的终点坐标
为A(2,0),b的终点为单位圆上的点B,|a-λb|最小时b的终点有可能为如图上
B、C两点处,即过A作单位圆切线切点为B时,此时AB= ,此时a,b的夹角为 ,
因此|a-b|
延长BO交单位圆于C,此时a,b的夹角为 ,因此
3 3
4 1 2 2 1 cos 33
，
2
3
24 1 2 2 1 cos 7.3
a b
2.已知向量m=(1,a-x),n=(ax,-1),其中a>0,且a≠1,设函数f(x)=m·n,且
f(2)=
(1)求a的值;
(2)当x∈[0,1]时,是否存在实数λ使g(x)=a2x+a-2x-2λf(x)的最小值为-2?若
存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
80.9
【解析】(1)由题意,函数f(x)=m·n=ax-a-x,由f(2)=a2-a-2= ,
即9a4-80a2-9=0,(9a2+1)(a2-9)=0,所以a2-9=0,所以a=3(a=-3舍去).
(2)当a=3时,g(x)=32x+3-2x-2λ(3x-3-x) =(3x-3-x)2-2λ(3x-3-x)+2.
当x∈[0,1]时,假设存在实数λ使g(x)的最小值为-2,令t=3x-3-x,因为
x∈[0,1],t=3x-3-x在[0.1]上是增函数,所以
80
9
8t [0, ]3
，
函数g(x)可化为h(t)=t2-2λt+2=(t-λ)2+2-λ2, 若λ∈ ,当t=λ
时,g(x)min=2-λ2=-2,所以λ=2.
若λ<0,当t=0时,g(x)min=h(0)=2≠-2,不可能;若λ> ,当t= 时,g(x)min=
h( )= ,解得λ= ,舍去.
故当x∈[0,1]时,存在实数λ=2使g(x)的最小值为-2.
8t [0, ]3
， 8[0, ]3
8
3
8
3
8
3
64 82 2 29 3
25 8
12 3
