函数 与 方程

函数 与 方程

‎ ‎ ‎§3．1函数与方程 ‎3.1.1 方程的根与函数的零点 教学目标：1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数 ‎2.让学生了解函数的零点与方程根的联系 ‎3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用 ‎4．培养学生动手操作的能力 教学重点：确定方程实数根的个数 教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象 教学方法：探讨法 教学过程：‎ 引入问题 一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？‎ 通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）：‎ ‎1．函数零点的定义：‎ 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点（zero point）.这样，函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标，故有 ‎2．一般结论 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 ‎ 3．函数变号零点具有的性质 对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，则有 ‎（1）当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。如函数的图象在零点的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变成正（见教材第102页“探究”题）。‎ ‎（2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。‎ ‎4．注意点 ‎（1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点。‎ ‎（2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点。‎ ‎5．勘根定理 如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有那么函数在区间内有零点，即存在，使得 3‎ ‎ ‎ ‎，这个也就是方程的实数根。‎ ‎ 例1．求函数的零点个数。‎ 分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是：‎ ‎（1）利用计算器或计算机作的对应值表；‎ ‎（2）作出函数的图象；‎ ‎（3）确定的单调性；‎ ‎（4）若在区间上连续，并且有，那么函数在区间内有一个实数根；‎ ‎（5）结合单调性确定其定义域内零点个数，即实数根个数。‎ 结合计算机利用几何画板作出函数的图象观察。‎ 例2．函数的零点所在的大致区间是（ ）‎ A．（1，2） B．（2，3） C．和（3，4） D．‎ 分析：从已知的区间，求和，判断是否有。‎ 解：因为，故在（1，2）内没有零点，非A。‎ 又，所以，所以在（2，3）内有一个零点，选B。‎ 例3．若方程在（0，1）内恰有一解，求实数的取值范围。‎ 分析：令在（0，1）内恰有一解，则，解出。‎ 解：令，因为方程在（0，1）内恰有一解，所以，即，解得。‎ 例4．二次函数中，，则函数的零点个数是（ ）‎ A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 分析：分析条件，是二次项系数，确定抛物线的开口方向，，所以，由此得解。‎ 解：因为，所以，即与异号，即或 3‎ ‎ ‎ 所以函数必有两个零点，故选B。‎ 练习：‎ 教材第103页练习1、2题。‎ 说明：练习1让学生自己动手操作，要启发学生将等号右边的项移至等号左边，然后将等号左边的代数式设为函数，再通过探究函数的零点去得出方程的根的情况。练习2要借助几何画板作出各个函数的图象判断零点所在大致区间。‎ 作业：‎ 教材第108页习题3.1A组题第2题。‎ 3‎