【数学】山西运城市景胜中学2019-2020学年高二下学期期末模考（理）（解析版）

【数学】山西运城市景胜中学2019-2020学年高二下学期期末模考（理）（解析版）

山西运城市景胜中学2019-2020学年高二下学期期末模考（理）‎ ‎ 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ） ‎ ‎1. 五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革--庆祝改革开放周年大型展览”，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有（ ） ‎ A.种 B.种 C.种 D.种 ‎2. 安排名志愿者完成项工作，每人至少完成项，每项工作由人完成，则不同的安排方式共有(        ) ‎ A.种 B.种 C.种 D.种 ‎3. 用数字，，，，组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为        ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 若展开式中的系数为，则整数的值为（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 下列四个结论：‎ ‎①在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好； ②某学校有男教师名、女教师名.为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽取名调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样； ③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强； ④在回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加个单位. 其中正确的结论是       ‎ A.①② B.①④ C.②③ D.②④‎ ‎6. 设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） 注：若，则， ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎7. 的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中各二项式系数之和为(        ) ‎ A. B.  C.  D. ‎ ‎ 8. ＝则＝（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 9. 某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为，，，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则＝（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 10. 年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，、两社区需要招募义务宣传员，现有、、、、、六位大学生和甲、乙、丙三位党员教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往、两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排位党员教师及位大学生，且由于工作原因只能派往社区，则不同的选派方案种数为（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 11. 从不同号码的五双靴中任取只，其中恰好有一双的取法种数为(        ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 12. 如图，现有五种不同的颜色，给图中的六个不同的点涂色，有两种方案，方案一：五种颜色必须都用到；方案二：五种颜色可不全用到.方案一和方案二都需要满足“每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色”，则方案一、二的涂色方法分别有(        ) ‎ A.种      种 B.种      种 ‎ C.种      种 D.种      种 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ） ‎ ‎ 13. 的展开式中，含的系数为________． ‎ ‎ 14. 甲、乙两人在相同的条件下进行投篮，甲投中的概率是，乙投中的概率是，两人各投篮一次，恰有一人投中的概率是________． ‎ ‎ 15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是________． ‎ ‎ 16. 一个五位自然数；，，，，，当且仅当，时称为“凹数”（如，等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为________． ‎ 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ） ‎ ‎ 17.(10分) 已知在的展开式中，第项为常数项． ‎ 求；‎ ‎ ‎ 求含的项的系数；‎ ‎ ‎ 求展开式中所有的有理项．‎ ‎ ‎ ‎18.(12分) 设. ‎ 求的值；‎ 求；‎ 求的值.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分) 随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，如表是某购物网站年月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据：‎ 月份 促销费用 产品销量 ‎（1）根据数据可知与具有线性相关关系，请建立关于的回归方程（系数精确到）；‎ ‎（2）已知月份该购物网站为庆祝成立周年，特制定奖励制度：以（单位：件）表示日销量，，则每位员工每日奖励元；＝，则每位员工每日奖励元；＝，则每位员工每日奖励元．现已知该网站月份日销量服从正态分布，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元．（当月奖励金额总数精确到百分位）． 参考数据：＝，＝，其中，分别为第个月的促销费用和产品销量，＝，，，…，． 参考公式： （1）对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为， （2）若随机变量服从正态分布，则＝，＝．‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)从编号为，，，，…，的个大小、形状相同的小球中，任取个球．如果某两个球的编号相邻，则称这两个球为一组“好球”． ‎ ‎（1）求任取的个球中至少有一组“好球”的概率；‎ ‎（2）在任取的个球中，记“好球”的组数为，求随机变量的概率分布列和均值．‎ ‎ ‎ ‎21.(12分) 年双十一狂欢节某网购平台成交额突破亿元，某乡镇有数百家商户入住该平台，并参加双十一活动,该乡镇从参加双十一活动的商户中随机抽取家商户，统计他们在双十一这一天的销售收入，结果统计如下： ‎ 该乡镇在双十一狂欢节前为鼓励商户参加双十一活动，规定参加双十一活动的商户，将按照销售收入的进行奖励.‎ ‎①估计参加双十一活动的商户中，获得奖励高于元的概率；‎ ‎②从这家商户中按获得奖励高于元与不高于元分为组，按分层抽样抽取家参加经验交流，并从这家中选家进行发言，求选出的家中恰有1家获得奖励高于元的概率；‎ 若这家商户中有家商户仅销售农产品，其中户销售收入高于万元，完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为销售收入高于万元与仅销售农产品有关？ 附： ‎ ‎ ‎ ‎22.(12分) 某大型工厂有台大型机器，在个月中，台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为.已知名工人每月只有维修台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得万元的利润，否则将亏损万元.该工厂每月需支付给每名维修工人万元的工资. ‎ 若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行，若该厂只有名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；‎ 已知该厂现有名维修工人.‎ ‎①记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望； ②以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘名维修工人?‎ 参考答案 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） ‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ C ‎【解答】‎ 根据题意，分步进行分析： ①，将除甲乙之外的三人全排列，有＝种情况，排好后有个空位， ②，在个空位中任选个，安排甲乙人，有＝种情况， 则甲乙不相邻的排法有＝种；‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解：. 由题意，在名志愿者中，有两人各完成项，一人完成项， 先将项工作分成三堆，共种分组方法， 再把这三堆分配给名志愿者，共种分配方法， 由分步乘法计数原理，共种． 故选．‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解：用，，，，这四个数字，组成没有重复数字的四位数，分两步完成： 第一步先排个位，有个数，‎ 可选， 第二步排其它的位，剩余的个数在其它的位上任意排，有种方法． 根据分步计数原理，所求偶数的个数是． 故选．‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ A ‎【解答】‎ ‎∵ ＝， ∴ 展开式中的系数为＝得＝或 ， ∴ 整数的值为 ‎5.‎ ‎【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解：比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小， 残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故①错误， ②由题意得可以采用分层抽样，故正确； ③因为线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强； 反之，线性相关性越弱，故错误； ④由线性回归方程得，当解释变量每增加一个单位时， 预报变量增加个单位.故正确. 故选.‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ B ‎【解答】‎ ‎∵ ，且， ∴ 向正方形中随机投掷个点，则点落入阴影部分的概率为＝‎ ‎＝． ∴ 向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是＝．‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ B ‎【解答】‎ 解：因为只有第项的二项式系数最大， 所以二项展开式共项，所以.‎ 二项式系数和为，‎ 所以为.‎ 故选.‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ C ‎【解答】‎ ‎∵ ＝，令＝，则＝， ∴ ＝． 展开式的通项为：＝， 令＝，求得＝，所以，＝＝，即 ＝，‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ C ‎【解答】‎ 他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为，，， 三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为， ‎ ‎∴ ， 解得．‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ A ‎【解答】‎ 根据题意，分步进行分析： ①将甲、乙、丙三位党员教师分成组，分配到、两个社区，有＝种情况， ②由于工作原因只能派往社区，在剩余人中选出人，与一起安排在社区，剩下的人安排到社区，有＝种情况， 则有＝种选派方案；‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ A ‎【解答】‎ 解：先从双靴中取出双，有种选法， 再从剩下的双中任取两双，在这两双中各取只，有种情况， 由分步计数原理可得，共有种. 故选.‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解：分两步来进行，先涂，，，再涂，，． ①若种颜色都用上，先涂，，，方法有种； 再涂，，中的两个点，方法有 种， 最后剩余的一个点只有种涂法， 故此时方法共有种． ②若种颜色只用种，首先选出种颜色，方法有种； 先涂，，，方法有种； 再涂，，中的个点，方法有种， 最后剩余的两个点只有种涂法， 故此时方法共有种． ③若种颜色只用种，首先选出种颜色，方法有种； 先涂，，，方法有种；再涂，，，方法有种， 故此时方法共有种． 综上可得，不同涂色方案共有种， 故选．‎ 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） ‎ ‎13.‎ ‎【答案】‎ ‎【解答】‎ 二项式的展开式中通项公式为 ＝＝． 令 ＝，可得 ＝， ∴ 展开式中含的项的系数是 ＝，‎ ‎14.‎ ‎【答案】‎ ‎【解答】‎ 甲、乙两人在相同的条件下进行投篮，甲投中的概率是，乙投中的概率是，两人各投篮一次， 恰有一人投中的概率是： ＝＝．‎ ‎15.‎ ‎【答案】‎ ‎【解答】‎ 解：如果前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是， 如果前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是， 综上所述，甲队以获胜的概率是． 故答案为：.‎ ‎16.‎ ‎【答案】‎ ‎【解答】‎ 解：由题意知本题是一个分类计数问题， 数字中的值最小是，最大是，因此需要把的值进行讨论， 当时，前面两位数字可以从其余个数中选，有种结果，后面两位需要从其余个数中选，有种结果，共有种结果， 当时，前面两位数字可以从其余个数中选，有种结果，后面两位需要从其余个数中选，有种结果，共有种结果， 当时，前面两位数字可以从其余个数中选，有种结果，后面两位需要从其余个数中选，有种结果，共有种结果， 当时，前面两位数字可以从其余个数中选，有种结果，后面两位需要从其余个数中选，有种结果，共有种结果， 根据分类计数原理知共有． 故答案为：．‎ 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ） ‎ ‎17.‎ ‎【答案】‎ 解：通项公式为：． ∵ 第项为常数项， ‎ ‎∴ 时，有， ∴ ；‎ 令， 得， ∴ 所求的系数为；‎ 根据通项公式，由题意，得 令，则，． ∵ ，∴ 应为偶数， 故可取，，，即可取，，， 所以第项、第项、第项为有理项，它们分别为：，，．‎ ‎【解答】‎ 解：通项公式为：． ‎ ‎∵ 第项为常数项，‎ ‎∴ 时，有，‎ ‎∴ ；‎ 令， 得， ∴ 所求的系数为；‎ 根据通项公式，由题意，得 ‎ 令，则，．‎ ‎∵ ，∴ 应为偶数，‎ 故可取，，，即可取，，，‎ 所以第项、第项、第项为有理项，它们分别为：，，．‎ ‎18.‎ ‎【答案】‎ 解：由题意知得是展开式的系数，‎ 的通项公式 ‎，‎ 则.‎ 令得，舍去；‎ 再令得， 则，‎ 即.‎ 令， 得. ‎ 令得 ‎①‎ 令得 ‎②‎ 由①②得，‎ ‎.‎ ‎【解答】‎ 解：由题意知得是展开式的系数，‎ 的通项公式 ‎，‎ 则.‎ 令得，舍去；‎ 再令得， 则，‎ 即.‎ 令， 得. ‎ 令得 ‎①‎ 令得 ‎②‎ 由①②得，‎ ‎.‎ ‎19.‎ ‎【答案】‎ 由题可知：，， 将数据代入， 所以关于的回归方程；‎ 由题月份日销量服从正态分布， 则， ‎ ‎， ＝＝， ∴ 每位员工当月的奖励金额总数为（元）． 日销量的概率为， 所以每位员工当月的奖励金额总数为 ＝元．‎ ‎【解答】‎ 由题可知：，， 将数据代入， 所以关于的回归方程；‎ 由题月份日销量服从正态分布， 则， ， ＝＝， ∴ 每位员工当月的奖励金额总数为（元）． 日销量的概率为， 所以每位员工当月的奖励金额总数为 ＝元．‎ ‎20.‎ ‎【答案】‎ 从个球中任取个球共有种取法， 设事件表示“至少有一组好球”，则表示“个球不相邻”， ‎ ‎， ∴ 任取的个球中至少有一组“好球”的概率为＝＝．‎ 依题意，的可能取值为，，，，， ＝， ＝， ＝， ＝， ＝， ∴ 的分布列为：‎ ‎．‎ ‎【解答】‎ 从个球中任取个球共有种取法， 设事件表示“至少有一组好球”，则表示“个球不相邻”， ， ∴ 任取的个球中至少有一组“好球”的概率为＝＝．‎ 依题意，的可能取值为，，，，， ＝， ‎ ‎＝， ＝， ＝， ＝， ∴ 的分布列为：‎ ‎．‎ ‎21.‎ ‎【答案】‎ 解：①由题意可知，当销售收入高于万元时，获得奖励高于元，这样的商户共有家，‎ 所以获得奖励高于元的概率.‎ ‎②这家商户屮有家获得奖励高于元，有家获得奖励不高于元，按分层抽样抽取家，则获得奖励不高于元的有家记作获得奖励高于元的有家，‎ 记作，‎ 从这家中选家，结果共有种，选出的家恰有家获得奖励高于元的结果有 ，共种.‎ 故所求概率 根据题意，填写列联表如下表所示： 则计算可得 ,‎ 所以有的把握认为销售收入高于万元与仅销售农产品有关.‎ ‎【解答】‎ 解：①由题意可知，当销售收入高于万元时，获得奖励高于元，这样的商户共有家，‎ 所以获得奖励高于元的概率.‎ ‎②这家商户屮有家获得奖励高于元，有家获得奖励不高于元，按分层抽样抽取家，则获得奖励不高于元的有家记作获得奖励高于元的有家，‎ 记作，‎ 从这家中选家，结果共有种，选出的家恰有家获得奖励高于元的结果有，共种.‎ 故所求概率 根据题意，填写列联表如下表所示： 则计算可得 , 所以有的把握认为销售收入高于万元与仅销售农产品有关.‎ ‎22.‎ ‎【答案】‎ 解：因为该厂只有名维修工人，‎ 所以要使工厂正常运行，最多只能出现台大型机器出现故障，‎ 故该工厂能正常运行的概率为： .‎ ‎①的可能取值为，， ， ， 则的分布列为 故. ②若该厂有名维修工人，则该厂获利的数学期望为 万元， 因为，所以该厂不应再招聘名维修工人. ‎ ‎【解答】‎ 解：因为该厂只有名维修工人，‎ 所以要使工厂正常运行，最多只能出现台大型机器出现故障，‎ 故该工厂能正常运行的概率为： .‎ ‎①的可能取值为，， ， ， 则的分布列为 ‎ ‎ 故. ②若该厂有名维修工人，则该厂获利的数学期望为 万元， 因为，所以该厂不应再招聘名维修工人. ‎