【数学】天津市和平区2020届高三第二次质量调查（二模）试题

【数学】天津市和平区2020届高三第二次质量调查（二模）试题

天津市和平区2020届高三第二次质量调查（二模）试题 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。‎ 考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 选择题（共45分）‎ 注意事项:‎ ‎1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。‎ ‎2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。‎ ‎3. 本卷共9小题，每小题5分，共45分。‎ 如果事件互斥,那么 如果事件相互独立,那么 ‎ ‎ . ‎ ‎ 锥体的体积公式. 球体 ‎ 其中表示锥体的底面积, 其中R为球的半径.‎ ‎ 表示锥体的高.‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1．设复数的共轭复数为，且，则复数在复平面内对应点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．已知：，，，则 的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ）‎ A．0.18 B．‎0.3 ‎ C．0.24 D．0.36‎ ‎5．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知双曲线的右焦点为，圆（为双曲线的半焦距）与双曲线的一条渐近线交于两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的方程是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数是偶函数，则实数的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知、，，则当取最小值时，的值为( )‎ A． B． C． D.‎ ‎9．已知函数，函数g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有三个不同的零点，则k的取值范围是(　　)‎ A．(－2－，0]∪ B．(－2＋，0]∪‎ C．(－2－，0]∪ D．(－2＋，0]∪‎ ‎第Ⅱ卷 非选择题（共105分）‎ 注意事项:‎ ‎1. 用黑色水笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效。‎ ‎2. 本卷共11小题，共105分。‎ 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. ‎ ‎10．已知全集为，集合，，则 ‎___________．‎ 11． 的展开式中，项的系数为 .‎ ‎12．已知是定义在上偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是___.‎ ‎13N ．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 ．‎ 14． 设抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，若，则 ；‎ ‎ .‎ ‎15．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．则_______ ;若为线段上的一点，且，则的最小值为___________．‎ 三、解答题：本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了数学、英语两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示：‎ 组别 性别　　　‎ 数学 英语 男 ‎5‎ ‎1‎ 女 ‎3‎ ‎3‎ 现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从两组中共抽取3名同学进行测试．‎ ‎（Ⅰ）求从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；‎ ‎（Ⅱ）记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．‎ ‎17．(本小题满分14分)‎ 如图，四边形为平行四边形，，平面，‎ ‎∥ ，，，且是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证： ∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线与直线所成的角为？ 若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎18．(本小题满分15分)‎ 已知椭圆的离心率为，且过点. 为椭圆的右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值；‎ ‎（Ⅲ）设直线， 的斜率分别为， ，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎19．(本小题满分16分)‎ 已知数列是公差不为0的等差数列，，数列是等比数列，且，，，数列的前n项和为．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设， 求的前n项和；‎ ‎（Ⅲ）若对恒成立，求的最小值．‎ ‎20．(本小题满分16分)‎ 已知函数(e为自然对数的底数)．‎ ‎（Ⅰ）求函数的值域；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明：. ‎ 参考答案 一、选择题：（45分）.‎ ‎1.A 2.B 3.A 4.B 5.B 6.D 7.C 8.C 9.D 二、填空题：（30分）‎ ‎10. 11. 240 12. ‎ ‎13.；. 14. 2 ; 5 15.-9 ; ‎ 三、解答题：‎ ‎(16) (本小题满分14分)‎ 解:（Ⅰ）两小组的总人数之比为8∶4＝2∶1，共抽取3人，‎ 所以数学组抽取2人，英语组抽取1人．‎ 从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：1名男同学、1名女同学；‎ ‎2名女同学.‎ 所以所求概率. ……………………4分 ‎（Ⅱ）由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3， ……………………5分 ‎…………6分 ‎ ‎ ‎ ‎…………8分 ‎ ‎ ‎ ‎…………11分 ‎ ‎…………10分 ‎ ‎ ‎ 所以 的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ P ‎…………12分 ‎ ‎ ‎ ‎＝0×＋1×＋2×＋3×＝. ……………………14分 ‎17.(本小题满分14分)‎ 解:（Ⅰ）证明：因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得各点坐标为:‎ ‎，‎ ‎ ……………………2分 设平面的一个法向量是 ‎ 由 得 ‎ 令，则 ‎ 又因为 ， ……………………4分 所以，又平面， ‎ 所以∥平面 ……………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量是.‎ 因为平面，所以 又因为，所以平面.‎ 故是平面的一个法向量. ……………………8分 所以 ，又二面角为锐角，‎ 故二面角的大小为 ……………………9分 ‎（Ⅲ）假设线段上存在点，使得直线与直线所成的角为 不妨设 ，则……………10分 所以 ……………………11分 由题意得 ‎ 化简得 ‎ 解得 ……………………13分 因为，所以无解 即在线段上不存在点，使得直线与直线所成的角为 ………14分 18． ‎(本小题满分15分)‎ 解:（Ⅰ）设椭圆方程为，由题意知： ‎ 解之得：， ……2分 所以椭圆方程为： ……3分 ‎（Ⅱ）若，由椭圆对称性，知，所以， ‎ 此时直线方程为， ……………………5分 由，得，解得（舍去）， ……6分 故． ……………………7分 ‎（Ⅲ）①若直线的斜率不存在.则直线的方程为：‎ ‎…………9分 ‎ ‎②若直线的斜率存在.设，则，‎ 直线的方程为，代入椭圆方程得:‎ ‎　　　　　 ……………………10分 因为是该方程的一个解，所以点的横坐标， ‎ ‎……12分 ‎ 又在直线上，所以，‎ 同理，点坐标为，， ……………………13分 所以，‎ 即存在，使得． ……………………14分 综合①②知存在满足题意.……………………15分 18． ‎(本小题满分16分)‎ 解:（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则由题意可得，解得或， ……………………2分 ∵数列是公差不为0的等差数列，， ∴数列的通项公式； ……………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ……………………5分 当时，， ……………………7分 当时，‎ ‎…………9分 ‎ ‎ ………‎ ‎…………10分 ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）可知， ……………………11分 令，，∴随着的增大而增大， ……………………12分 当为奇数时，在奇数集上单调递减，， 当为偶数时，在偶数集上单调递增，，…14分 ，‎ 对恒成立， ，‎ ‎∴的最小值为． ……………………16分 ‎20. (本小题满分16分)‎ 解:（Ⅰ）‎ ‎ ……………………2分 ‎，，，‎ 所以，故函数在上单调递减，‎ 故；，‎ 所以函数的值域为. …………………5分 ‎（Ⅱ）原不等式可化为...(*)，‎ 因为恒成立，故（*）式可化为. ……………6分 ‎ 令，则 ‎①当时，，所以函数在上单调递增，‎ 故，所以； ……………………7分 ‎②当时，令，得，‎ 当时，；当时，.‎ i)当即时，‎ 函数， …………………9分 ii)当即时，函数在上单调递减，‎ ‎，解得 综上，. ……………………11分 ‎（Ⅲ）令则. …………12分 由，‎ 故存在，使得即.‎ 且当时，；当时，.‎ 故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值， ………………14分 故函数 ‎，‎ 因为，所以，‎ 故 所以 ………………16分