天津市北辰区2020届高三第一次诊断测试数学试题

天津市北辰区2020届高三第一次诊断测试数学试题

‎2020年高考数学一诊测试试卷 一、选择题（共9小题）‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合，再利用并集的定义求解即可.‎ ‎【详解】集合,,‎ 属于集合或属于集合的元素组成的集合，故选D.‎ ‎【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.‎ ‎2.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，，故为充分不必要条件.‎ ‎3.设函数，则下列结论中错误的是（ ）‎ A. 的一个周期为 B. 的最大值为2‎ C. 在区间上单调递减 D. 的一个零点为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用两角和正弦公式化简函数，再由奇偶性的定义判断；由三角函数的有界性判断；利用正弦函数的单调性判断；将代入判断.‎ ‎【详解】 ，‎ 周期正确；‎ 的最大值为2，正确，‎ ‎，‎ 在上递减，正确；‎ 时，，‎ 不是的零点，不正确.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.‎ ‎4.函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以或，由于函数在上递减，函数在定义域内递减，根据复合函数单调性得性质可知函数的单调递增区间为，故选D.‎ 考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.‎ ‎5.已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵等差数列，，，成等比数列，∴，‎ ‎∴，∴，，故选B.‎ 考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念 ‎6.已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别是，若点是抛物线的准线与的渐近线的一个交点，且满足，则双曲线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出四个选项中双曲线的离心率，判断是否为，利用排除法可得结果.‎ ‎【详解】对于，的离心率为，不合题意；‎ 对于，的离心率为，不合题意；‎ 对于，的离心率为，不合题意；‎ 对于，的离心率为，符合题意.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的方程与性质，考查了抛物线的方程与性质，考查了选择题的特殊解法，属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.‎ ‎7.已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出当时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当时不等式的解集，从而求出的解集，则，即可得解.‎ ‎【详解】当时,的解为；‎ 当时，根据偶函数图像的对称性知不等式的解为，‎ 所以不等式的解集为，‎ 所以不等式的解集为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.‎ ‎8.函数，若方程有且只有两个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在同一坐标系中画出的图像与的图像，利用数形结合，易求出满足条件的实数的取值范围.‎ ‎【详解】画出函数图像如下：‎ 当时，函数的图像与的图像有两个交点，‎ 即方程有且只有两个不等的实根.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查分段函数的图像，根的存在性及根的个数的判断，将方程根的个数转化为求函数零点的个数，并用图像法进行解答是本题的关键，属于基础题.‎ ‎9.已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若,,，则的大小关系是（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出,可得的值，能确定的解析式，分类讨论可确定的符号，可得在上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较的大小关系，结合函数的奇偶性与单调性可得结果.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 即在上递增，‎ 的图象关于对称，‎ 向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，‎ 即为偶函数，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 即.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．‎ ‎.‎ 二、填空题（共6小题）‎ ‎10.是虚数单位,若是纯虚数,则实数的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对复数进行化简计算，再根据纯虚数的定义，得到的值.‎ ‎【详解】‎ 因为复数为纯虚数，‎ 所以，得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的计算，根据复数类型求参数的值，属于简单题.‎ ‎11.我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为_______‎ ‎【答案】（石）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而求得结果.‎ ‎【详解】因为256粒内夹谷18粒，‎ 故可得米中含谷的频率为，‎ 则1536石中米夹谷约为1536（石）.‎ 故答案为：（石）.‎ ‎【点睛】本题考查由样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，属基础题.‎ ‎12.在的展开式中，含项的系数为_________.（用数字填写答案）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得，令，综上所述，的系数为，故答案为.‎ 考点：1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.‎ ‎13.已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是由两个底面半径为，高为1的圆锥组成的组合体，利用圆锥的体积公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个组合体，该组合体由两个同底的圆锥组成，两个圆锥的底面半径为，高为1，‎ 体积为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆锥的性质、圆锥的体积公式的应用，考查空间想象能力以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎14.己知x>0，y>0，且，若x＋2y≥m2＋‎2m恒成立，则实数m的取值范围________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得展开，利用基本不等式可求得最小值，不等式等价于，据此求出的取值范围即可.‎ ‎【详解】由，可得，‎ 而恒成立，‎ 所以恒成立，即恒成立，‎ 解得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质，以及一元二次不等式的解法的运用，属于中档题.‎ ‎15.已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接交于，以为原点，以为轴，轴的正半轴建立直角坐标系，求得的坐标，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 连接交于，以为原点，‎ 以为轴，轴的正半轴建立直角坐标系，‎ 菱形边长为2，，‎ ‎，‎ 为的中点，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量线性运算以及平面向量数量积的坐标表示，属于中档题. 平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．‎ 三、解答题（共5小题）‎ ‎16.在中，内角所对的边分别为，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中，由，利用余弦定理可得，从而可得结果；（2）先求得，由正弦定理可得，利用二倍角的正弦公式可得，由同角三角函数的关系可得，进而由两角和的正弦公式可得结果.‎ ‎【详解】（1）在中，根据余弦定理，， ‎ 于是， ‎ 解得或（舍去），故. ‎ ‎（2）在中，，于是. ‎ 根据正弦定理，得，. ‎ 又为钝角，为锐角，即. ‎ 从而，， ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及二倍角的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎17.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，∥，，平面平面，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段 的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先利用线面垂直的性质证明直线平面，以点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正向建立空间直角坐标系，（1）可得是平面的一个法向量，求得，利用，且直线平面可得结果；（2）利用向量垂直数量积为0，列方程组分别求出平面与平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果；（3）设，则，，‎ 由，可得， 解方程可得结果.‎ ‎【详解】（1）平面平面，‎ 平面平面 ，‎ ‎，，‎ 直线平面. ‎ 由题意，以点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，‎ 则可得：，‎ ‎. ‎ 依题意，易证：是平面的一个法向量，‎ 又， ，‎ 又直线平面， . ‎ ‎（2） ‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即.‎ 不妨设，可得. ‎ 设为平面的法向量，‎ 又 ，‎ 则，即.‎ 不妨设，可得， ‎ ‎ ，‎ 又二面角为钝二面角，‎ 二面角的大小为. ‎ ‎（3）设，则，又，‎ 又，即， ‎ ‎ ，解得或（舍去）.‎ 故所求线段的长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用空间向量证明线面平行、求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2‎ ‎）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎18.已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆短轴的一个端点，的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程;‎ ‎（2）若是椭圆上异于顶点的四个点与相交于点，且,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意列出方程组，求解即可求得椭圆的标准方程；(2) 设，直线方程为，与椭圆方程联立求出，利用弦长公式求出，同理求出，从而表示出，根据题意求出k的取值范围从而求出的范围.‎ ‎【详解】解：（1），代入可得，‎ 解得，则，， ‎ 椭圆方程：‎ ‎（2），设，直线方程为，‎ 联立直线AC方程与椭圆方程可得，‎ ‎，‎ 因为，所以直线BD的方程为，‎ 把代入可得，‎ 因为是椭圆上异于顶点的四个点与，所以两条直线均不过点 ‎，所以，‎ 因为，所以，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，韦达定理，弦长公式，属于较难题.‎ ‎19.已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，数列的前项和，，且.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎（3）设，，的前项和，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）当为偶数时，；当 为奇数时，（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意列出方程组，求出、，从而得到的通项公式，当时，，化简可得是首项为1的常数列，即可求得的通项公式；(2)分类讨论，当为偶数时，，分别利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和即可，当为奇数时，由可求得结果；(3)裂项法可得，从而求得.‎ ‎【详解】解；（1）因为，所以，‎ ‎，解得 所以，‎ 当时，，即，‎ ‎∴是首项为1的常数列，‎ ‎∴；‎ ‎（2）‎ 当为偶数时，‎ 当为奇数时，‎ ‎（3）‎ ‎【点睛】本题考查数列的综合，等差数列、等比数列通项公式、前n项和的求解，分组求和法，裂项相消法求和，计算时一定要数对项数，属于较难题.‎ ‎20.设函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，试判断零点的个数；‎ ‎（Ⅲ）当时，若对，都有（）成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）当时，的单减区间为；当时，的单减区间为，单增区间为；（2）两个；（3）0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）当时，由（1）可知，在是单减函数，在是单增函数，由，‎ ‎，利用零点存在定理可得结果；（3）当，为整数，且当时，恒成立，，利用导数求出的取值范围，从而可得结果.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎. ‎ 当时，在恒成立，‎ 在是单减函数. ‎ 当时，令，解之得.‎ 从而，当变化时，，随的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎ 单调递减 单调递增 由上表中可知，在是单减函数，在是单增函数. ‎ 综上，当时，的单减区间为；‎ 当时，的单减区间为，单增区间为. ‎ ‎（2）当时，由（1）可知，在是单减函数，在是单增函数；‎ 又，，. ‎ ‎，；‎ 故在有两个零点. ‎ ‎（3）当，为整数，且当时，恒成立 ‎.‎ 令，只需； ‎ 又，‎ 由（2）知，在有且仅有一个实数根，‎ 在上单减，在上单增；‎ ‎ ‎ 又，，‎ ‎，且，‎ 即代入式，得 ‎. ‎ 而在为增函数，，‎ 即.‎ 而，，‎ 即所求的最大值为0.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.‎