数学（理）卷·2017届辽宁省本溪市高级中学高三12月月考（2016

数学（理）卷·2017届辽宁省本溪市高级中学高三12月月考（2016

‎2016—2017学年上学期本溪县高级中学高三第二次月考试题 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 60分）‎ 一、 选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）‎ ‎1.已知集合，，则A∩B=‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2．若实数满足则的最小值是 ‎ A．0 B．‎1 ‎ C． D．9‎ ‎3.设是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是 A． 当时，若，则 ‎ B． 当时，若，则 ‎ C．当，且是在内的射影时，若，则 ‎ D．当，且时，若，则 ‎ ‎4.已知点M是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且满足，则的面积为 A.1 B. C. 2 D.4‎ ‎5.在平行四边形中，，，为的中点．若，则的长为 ‎. . . .‎ ‎6.若随机变量（），则有如下结论：‎ ‎，，‎ 高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为 A．19 B．‎12 C．6 D．5‎ ‎7.设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则 A . f（x）在单调递减 ‎ B. f（x）在（，）单调递减 C. f（x）在（0，）单调递增 ‎ D . f（x）在（，）单调递增 ‎8.按右图所示的程序框图，若输入，则输出的 A. 45 B. ‎47 C. 49 D. 51‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. ‎ C.4 D.3‎ ‎10.某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为 A． B． C． D．‎ ‎11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:今有蒲（水生植物名）生长了一日，长为三尺；莞（植物名，俗称水葱）生长了一日，长为一尺。蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加一倍。问当蒲和莞长度相等时，其长度是 A.五尺 B.六尺 C.七尺 D.八尺 ‎12.已知函数的图像上关于轴对称的点至少有对，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上。）‎ ‎13.已知圆方程为：，直线过点，且与圆交于两点，若，则直线的方程是_______.‎ ‎14．在的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中项的系数为______.‎ ‎15.已知函数和，作一条平行于轴的直线，交图象于两点，则的最小值为__________________.‎ ‎16.已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为____________.‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在中，角，，的对边分别为，，，且，又，，‎ 成等差数列．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取 了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表：‎ 年龄（单位：岁）‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 ‎（2）若从年龄在的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”人数为，求随机变量的分布列及数学期望。‎ 参考数据如下：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知四棱锥,其中,, 且,‎ 平面,为的中点．‎ ‎ (1)画出平面ADE与平面ABC的交线(保留作图痕迹）；‎ ‎（2）求证：//平面；‎ ‎（3）设是的中点，若与平面所成角的正切值为,求平面与平面夹角的余弦值．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且与椭圆 有相同离心率． ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且椭圆上存在点，满足，（为坐标原点），求实数取值范围．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知定义域为的函数，其中.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ 设数列的前项和为，已知，（）.‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）令，求数列的前项和为.‎ 高三上学期第二次月考数学（理科）试卷 参考答案 一、 选择题 ‎1.C 2.B 3.B 4.A 5.D 6.C 7.A 8.D 9.B 10.C 11.A 12.A 二、填空题 ‎13. 或 14. 15.（或）16.‎ ‎ 三、解答题 ‎17.解：（I），，成等差数列，， （1分）‎ 由正弦定理得， （3分）‎ 又，可得， （4分）‎ ‎， （6分）‎ ‎，，‎ ‎． （8分）‎ ‎，解得． （12分）‎ ‎18．解：（1）列联表如下：‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 ‎10‎ ‎27‎ ‎37‎ 不赞成 ‎10‎ ‎3‎ ‎13‎ 合计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 所以 ‎，‎ ‎，‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以的分布列是：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以的期望值是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 解：(1)如图，AH为所求。……………2分 ‎（2）取中点,连结、‎ ‎∵分别是、的中点，‎ ‎∴,且．‎ 又∵且 ‎ ‎ ∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴, 面且，，‎ ‎∴∥面……………6分 ‎（3）∵平面 y A F z D E B x C M ‎∴为与平面所成角，‎ ‎∵为的中点,且,，得 ‎∵与平面所成角的正切值为，‎ ‎∵，， …………………………8分 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系 则 ‎∴‎ 设平面的法向量为 由得即，取 …………………………10分 而平面的法向量为 由 得平面与平面夹角的余弦值为 ……………12分 ‎20.解：（1）由已知可 解得． ………………………3分 ‎ 所求椭圆的方程． …………………………4分 ‎（2）建立方程组 ‎ 消去，整理得． ‎ ‎．‎ 由于直线直线与椭圆交于不同的两点，‎ ‎，有．① ………………………………6分 ‎ 设,于是，． ………………………8分 当时，易知点关于原点对称，则； ‎ 当时，易知点不关于原点对称，则．‎ 此时，‎ 由，得即 ‎ 点在椭圆上，∴． ‎ 化简得．．②‎ 由①②两式可得． ‎ 综上可得实数的取值范围是． ………………………12分 ‎21.解：（1），‎ ‎①当时，，于是在上单调递减；‎ ‎②当时，，当时，，‎ 当时，，当时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）当时，由（1）知在单调递减，‎ 又，∴时，，即时，成立，‎ 当时，由（1）知在上递减，在上递增，‎ 当时，由，即得在上成立，‎ 所以当时，有，‎ 下面证明，即，‎ 令，，则，且，‎ 记，则，‎ 于是在上单调递增，‎ 又因为，，所以存在唯一的使得，‎ 从而，于是在上单调递减，在上单调递增，‎ 此时，‎ 从而，即，亦即，‎ 因此不等式在上成立，‎ ‎22.解：(1) 由，及，得，‎ 整理，得，∴，又，‎ ‎∴是以1为首项，2为公比的等比数列． ………………………5分 ‎ (2) 由(1)得 ，，所以 ‎ ，‎ 于是 ，，‎