安徽省黄山市2020届高三毕业班第一次质量检测（一模）数学（文）（PDF版）

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黄山市 2020 届高中毕业班第一次质量检测 数学（文科）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题 60 分）和第Ⅱ卷（非选择题 90 分）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分 钟. 注意事项： 1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条 形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号 后两位. 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．答第Ⅱ卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图 题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号 所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 4．参考公式：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . P(k>ko) 0.100 0.050 0.025 0.010 ko 2.706 3.841 5.024 6.635 第Ⅰ卷（选择题 满分 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 1. 已知复数 z 满足 i-3zi1  ）（ ,则 |z| A.5 B.3 C. 5 D. 3 2. 设 U＝R，A＝ }|{ 042  xxx ，B＝ }|{ 1xx ，则 ()UA C BI ＝ A． 40  xx B． 41  xx C． 40  xx D． 41  xx 3.三个数 3log 2 ， 32.0 ， 2.0log 3 的大小关系是 A. 2.0log 3 ＜ 32.0 ＜ 3log 2 B. 2.0log 3 ＜ 3log 2 ＜ 32.0 C. 3log 2 ＜ 32.0 ＜ 2.0log 3 D. 32.0 ＜ 2.0log 3 ＜ 3log 2 4. 斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列 1,1,2,3,5,8,13…作为正方形的边长拼成长方 形后画出来的螺旋曲线(由圆弧拼接而成)。斐波那契螺旋线在自然界中很常见，比如海螺的外壳、花瓣、 向日葵、台风、水中的漩涡、星系等所呈现的都是斐波那契螺旋。右图所示“黄金螺旋” 的长度为 A. 6 B. 2 33 C. 10 D. 27 - 1 - 5. 函数 || cossin x xxy  在区间 ]2,2[  的图象大致是 A. B. C. D. 6. 下图为 2014-2018 年国内生产总值及其增长速度柱形图（柱形图中间数据为年增长率），则以下结论不 正确的是 A. 2014 年以来，我国国内生产总值逐步在增长。 B. 2014 年以来，我国国内生产总值年增长率总体平稳。 C. 2014-2018 年，国内生产总值相比上一年年增长额最大在 2018 年。 D. 2014-2018 年，我国国内生产总值年增长率的平均值为 6.86%。 7. 已知 3 1)6cos(  ，则 )62sin(   的值是 A. 9 7 B. 9 7 C. 9 22 D. 9 22 8. 已知非零向量 ba, 满足   02,  ababa ,则向量 的夹角为 A. 6  B. 3  C. 6 5 D. 3 2 9. 已知直线 01:  ayxl 是圆 ：C 012622  yxyx 的对称轴， - 2 - 过点 A )1 a，（ 作圆 C 的一条切线， 切点为 B，则|AB|= A.1 B.2 C.4 D.8 10.执行如图所示的程序框图，若输出的 值为 0，则判断框①中可以填入的条 件是 A. 99n B. 99n C. 99n D. 99n 11.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边为 cba ,, ， △ABC 的面积为 3 ，且 2 cos 2b A c a， 4ac，则△ABC 的周长为 A. 4+ 3 B. 6 C. 4+ 32 D. 8 12.已知椭圆 1C 和双曲线 2C 有共同的焦点 21,FF ，点 P 是椭圆 和双曲线 的一个交点， 21 PFPF  且椭圆 的离心率为 3 6 ，则双曲线 的离心率是 A. 2 B. 2 C. 2 6 D. 6 第 II 卷（非选择题 满分 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 13.曲线 xxy ln 在（1,0）处的切线方程为_______________. 14.在数列 }{ na 中， nn aaa   2,1 11 ， nS 为 }{ na 前 n 项和，若 nS =36，则 n =____. 15.已知函数 ( ) sin( ) 3 cos( ) (0 )2f x x x        ， 的图象关于直线 12 x 对称， 则 的值是_______________. 16.已知棱长为 2 的正方体 1111 DCBAABCD  ，点 M 在线段 BC 上（异于 C 点），点 N 为线段 1CC 的中 点，若平面 AMN 截 该 正 方 体 所 得 截 面 为 四 边 形 ， 则 三 棱 锥 AMNA 1 体 积 的 取 值 范 围 是 ______________. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请在答题卷的相应．．．．．．．． 区域答题．．．．.） 17．（本小题满分 12 分） 某市在争创文明城市过程中，为调查市民对文明出行机动车礼让行人的态度，选了某小区的 100 位居 民调查结果统计如下： 支持 不支持 合计 年龄不大于 45 岁 80 年龄大于 45 岁 10 合计 70 100 （1）根据已有数据，把表格数据填写完整； （2）能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下认为不同年龄段与是否支持文明出行机动车礼让行人有 - 3 - 关？ （3）已知在被调查的年龄小于 25 岁的支持者有 5 人，其中 2 人是教师，现从这 5 人中随机抽取 3 人， 求至多抽到 1 位教师的概率. 18.（本小题满分 12 分） 已知等比数列 }{ na 中， 0na ， 21 a ，且 21 211   nnn aaa ， *Nn . （1）求 的通项公式； （2）设 nnn aab 4log ，若 }{ nb 前的前 n 项和 2020nS  ，求 n 的最大值. 19．（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， D 是 BC 的中点，且 AD BC ，四边形 11ABB A 为正方形. （1）求证： 1 //AC 平面 1AB D ； （2）若 60BAC   ， 4BC  ，求点 1A 到平面 1AB D 的距离. 20．（本小题满分 12 分） 已知 ABC 的三个顶点都在抛物线 2 2 ( 0)y px p上，且抛物线的焦点 F 为 的重心. （1）记 OFA OFB OFC  、 、 的面积分别为 1 2 3S S S、 、 ，求证： 2 2 2 1 2 3S S S为定值； （2）若点 A 的坐标为 )2,1(  ，求 BC 所在的直线方程. - 4 - 21．（本小题满分 12 分） 已知曲线   xe mmxxf  在点   11 f， 处的切线斜率为 e 1 . （1）求 m 的值，并求函数  xf 的极小值； （2）当  ,0x 时，求证： xxeexxe xxx cos1sin 2   . 考生注意：请在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用 2B 铅笔 在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分 10 分）选修 4―4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，l 是过定点 )1,1(P 且倾斜角为 的直线。以坐标原点O 为极点，以 x 轴正半轴 为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为  cos4 . （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 相交于 M ， N 两点，求 PNPM  的取值范围. 23.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 212)(  xxxf （1）解不等式 5)( xf ； （2）若 2 33)( 2  aaxf 恒成立,求 a 的取值范围. - 5 - 黄山市 2020 届高中毕业班第一次质量检测 文科数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.） 1.C 2. D 3.A 4. B 5. C 6.C 7.B 8.D 9.C 10.D 11.B 12.A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13. 1 xy 14. 6 15. 12  16. ]3 4,3 2[ 三、填空题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分 12 分） 解：（1） 支持 不支持 合计 年龄不大于 55 岁 20 60 80 年龄大于 55 岁 10 10 20 合计 30 70 100 …………………………………………………………4 分 （2） 841.3762.421 100 70302080 )10601020(100 2  K 所以能在犯错误的概率不超过 5%的前提下认为不同年龄与是否支持文明出行有关. …8 分 （3）记 5 人为 a,b,c,d,e，其中 a,b 表示教师，从 5 人任意抽 3 人的所有等可能事件是： abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde 共 10 个，其中“至多 1 位教 师”含有 7 个基本事件,所以所求概率是 10 7 . …………………12 分 18. （本小题满分 12 分） 解：（1）由 }{ na 是等比数列，令 1n 可得 2 321 2 2 2 1 2 1211 qqaaa  2022  qqq 或 1q （舍去），故 n na 2 . ……………………5 分 （2）由题 1 4 2log  n nnn naab ，所以 1210 2232221  n n nS 又 n n nS 22322212 321  两式相减得 n n nS 2)1(1  …………………………………………………10 分 易知 nS 单调递增，且 891793, =4097 2020SS，故 n 的最大值为8 . …………12 分 19. （本小题满分 12 分） 解：（1）如图，连接 1BA ，交 1AB 于点 E ，连接 DE ， 由四边形 11ABB A 为正方形知， E 为 1AB 的中点， 又∵ D 是 BC 的中点，∴ 1//DE AC ， E - 6 - 又 DE 平面 1AB D ， 1AC 平面 1AB D ， ∴ 1 //AC 平面 1AB D . ……………………5 分 （2）由（1）知 E 为 1AB 的中点，∴点 1A 和 B 到平面 1AB D 的距离相等， 在平面 11BCC B 中，过点 B 作 1BF B D ，垂足为 F ，则 BF 长为所求. ∵ D 是 BC 中点， AD BC ，∴ AB AC ， 又∵ 60BACo ，∴ ABC 为正三角形，则 1 4AB BB 在 1Rt B BD 中， 2BD  ， 1 4BB  ， 1 25BD ， ∴ 2 4 4 5 525 BF ，∴点 A 到平面 1AB D 的距离为 45 5 . … ………………12 分 20．（本小题满分 12 分） 解：（1）记 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )A x y B x y C x y ， 由重心知 0 FCFBFA 2 3 321 pxxx  ，又 )3,2,1(22  ipxy ii 于是 2 2 2 1 2 3S S S 4 321 2 2 3 2 2 2 1 2 16 3)(216)()2(4 1 pxxxppyyyp  . ……6 分 （2）将 )2,1( A 代入得 )0,1(2 Fp  ， 3321  xxx ， 0321  yyy 2,2 3232  yyxx ，设 BC 所 在 的 直 线 方 程 为 nmyx  ， 代 入 抛物线 xy 42 得 0442  nmyy ，由 2,2 3232  yyxx 代入 2 122)(,2 124 233232  nnyymxxmmyy ， 所以 所在的直线方程为 0122 1 2 1  yxyx . ………………………12 分 21．（本小题满分 12 分） 解：（1）由题意，  xf 的定义域为 R .     xe xmxf 2 ,   ee mf 11  , 1m ……………………………………2 分    xe xxf  1 ，   xe xxf 2 当 2x 时，   0 xf ， 单调递增；当 2x 时，   0 xf ， 单调递减， 2x 是 的极小值点，  xf 的极小值为   2 12 ef  . ……………………5 分 （2）要证 xxeexxe xxx cos1sin 2   ，两边同除以 xe ， 只需证 xxxee x x sincos11 2  即可.即证   xxxexf sincos1 2  . ……8 分 由（1）可知，   2 1 exf  在 2x 处取得最小值0 ； ……………………9 分 设    ,0,sincos  xxxxxg ，则   xxxxxxxg sincossincos  ，     0,0  xgx ， ，  xg 在区间 ，0 上单调递减，从而     00  gxg - 7 -   xxxexf sincos1 2  即 xxeexxe xxx cos1sin 2   . …………………12 分 22. （本小题满分 10 分） 解：（1）l 的参数方程：        sin1 cos1 ty tx （t 为参数） ………………………………2 分 曲线C 的直角坐标方程： 4)2( 22  yx …………………………………………5 分 （2）将 的参数方程代入曲线 的方程得 02)cos2sin2(2  tt  ① 由于 08)cos2sin2( 2   恒成立，所以方程①有两个不等实根 21 tt、 ， 由于 0221 tt ，所以 21 tt、 异号 则 ]4,22[2sin4124)( 21 2 212121  ttttttttPNPM …10 分 23. （本小题满分 10 分） 解：（1） 5212)(  xxxf 当 2 1x 时， ,5212  xx 得 3 4x ，此时 2 1 3 4  x ； 当 22 1  x 时， ,5212  xx 得 2x ，此时 22 1  x ； 当 2x 时， ,5212  xx 得 ，此时无解. 综上可知，不等式解集为 )2,3 4( . …………………………………………………………5 分 （2）由             2,13 22 1,3 2 1,13 212)( xx xx xx xxxf ， 易知当 2 1x 时， )(xf 取最小值 2 5 ，故 2 5 2 332  aa 解得 41  a . …………………………………………………………………10 分 - 8 -