数学卷·2018届吉林省白山市高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届吉林省白山市高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年吉林省白山市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一.选择題：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项.‎ ‎1．命题p：∃x0∈R，x0≤2的否定是（　　）‎ A．￢p：∃x∈R，x≤2 B．￢p：∃x∈R，x＞2 C．￢p：∀x∈R，x＞2 D．￢p：∀x∈R，x≤2‎ ‎2．若平面α的一个法向量为=（0，2，2），A（1，0，2），B（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面 α的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎3．对于常数m，n，“m＞0，n＞0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．在空间中，下列命题正确的是（　　）‎ A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥n B．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m丄β C．若直线m∥平面α，直线n∥平面α，则m∥n D．如果平面a外的一条直线m垂直于平面a内的两条相交直线，那么m⊥α ‎5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的侧棱长为（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎6．圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线3x+4y=32的距离最大值是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎7．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++‎ ‎，则P，A，B，C四点（　　）‎ A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线 ‎8．已知F是抛物线y2=16x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段AB中点到y轴的距离为（　　）‎ A．8 B．6 C．2 D．4‎ ‎9．已知空间四边形OABC，M在AO上，满足=，N是BC的中点，且=， =， =用a，b，c表示向量为（　　）‎ A． ++ B． +﹣ C．﹣ ++ D． ﹣+‎ ‎10．己知双曲线E的中心在原点，F（5，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（9，），则E的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎11．已知正四面体棱长为4，则此正四面体外接球的表面积为（　　）‎ A．36π B．48π C．64π D．72π ‎12．己知圆M （x+1）2+y2=64，定点N（1，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足=2， •=0，则点G的轨迹方程是（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C． +=1 D． +=1‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知p：x＜8，q：x＜a，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为　　．‎ ‎14．若椭圆+=1的离心率为，则实数k的值为　　．‎ ‎15．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，则下列结论中正确的有　　．‎ ‎（1）AC⊥AE；‎ ‎（2）EF∥平面ABCD；‎ ‎（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值：‎ ‎（4）异面直线AE，BF所成的角为定值．‎ ‎16．已知集合 M={（x，y）|y=，y≠0}，N={（x，y）|y=﹣x+b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大題共计6个小题，合计70分.其中17题10分.18，19，20，21，22题每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步灌.‎ ‎17．（10分）如图所示，圆心C的坐标为（2，2），圆C与x轴和y轴都相切．‎ ‎（1）求圆C的一般方程；‎ ‎（2）求与圆C相切，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程．‎ ‎18．（12分）己知命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：点（m，3）在圆（x﹣10）2+（y﹣1）2=13内．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，试求实数m的取值范围．‎ ‎19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1⊥BB1，AC=BC=BB1，E为A1B1的中点，且C1E⊥BB1．‎ ‎（1）求证：A1C∥平面BEC1；‎ ‎（2）求A1C与平面ABB1A所成角的大小．‎ ‎20．（12分）已知点M到点F（3，0）的距离比点M到直线x+4=0的距离小1．‎ ‎（1）求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）若曲线C上存在两点A，B关于直线l：x﹣4y﹣12=0对称，求直线AB的方程．‎ ‎21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=4，AB=2．‎ ‎（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎（2）若F为PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．‎ ‎22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），F为椭圆是上焦点，点A，B分别为椭圆的左右顶点，过点B作AF的垂线，垂足为N．‎ ‎（1）若a=，△ABM的面积为1，求椭圆方程；‎ ‎（2）是否存在椭圆，使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省白山市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择題：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项.‎ ‎1．命题p：∃x0∈R，x0≤2的否定是（　　）‎ A．￢p：∃x∈R，x≤2 B．￢p：∃x∈R，x＞2 C．￢p：∀x∈R，x＞2 D．￢p：∀x∈R，x≤2‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据已知中的原命题，结合特称命题否定的方法，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题p：∃x0∈R，x0≤2的否定为￢p：∀x∈R，x＞2，‎ 故选：C ‎【点评】本题考查的知识点是命题的否定，特称命题，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．若平面α的一个法向量为=（0，2，2），A（1，0，2），B（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面 α的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【考点】平面的法向量．‎ ‎【分析】点A到平面α的距离为d=，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（0，2，2），‎ A（1，0，2），B（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，‎ ‎∴=（1，1，﹣2），‎ ‎∴点A到平面α的距离为d===．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎3．对于常数m，n，“m＞0，n＞0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义以及双曲线的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：，若“m＞0，n＞0”，‎ 则“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线，是充分条件，‎ 若“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线”，‎ 则mn＞0，即m＞0，n＞0或m＜0，n＜0，不是必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查双曲线的定义，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎4．在空间中，下列命题正确的是（　　）‎ A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥n B．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m丄β C．若直线m∥平面α，直线n∥平面α，则m∥n D．如果平面a外的一条直线m垂直于平面a内的两条相交直线，那么m⊥α ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】在A中，m与n平行或异面；在B中，m与β相交、平行或m⊂β；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由线面垂直的判定定理得m⊥α．‎ ‎【解答】解：在A中，如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m与n平行或异面，故A错误；‎ 在B中，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么m与β相交、平行或m⊂β，故B错误；‎ 在C中，若直线m∥平面α，直线n∥‎ 平面α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；‎ 在D中，如果平面a外的一条直线m垂直于平面a内的两条相交直线，‎ 那么由线面垂直的判定定理得m⊥α，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．‎ ‎　‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的侧棱长为（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形．由图可知：最长的棱长为PC．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形．‎ 由图可知：最长的棱长为PC，PC==．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了四棱锥的三视图、空间线面位置关系、勾股定理、正方形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线3x+4y=32的距离最大值是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】将圆的方程转化为标准方程，求出圆心和半径．再求出圆心到直线的距离，把此距离加上半径，即为所求．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．‎ ‎∴圆心C（1，1），半径r=1．‎ ‎∴圆心C（1，1）到直线3x+4y=32的距离为d==5‎ ‎∴圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线3x+4y=32距离的最大值：d+r=6．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式等知识的综合应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（　　）‎ A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线 ‎【考点】空间向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】利用空间P，A，B，C四点共面的充要条件即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=x+y+z，‎ 则P，A，B，C四点共面的充要条件是x+y+z=1，‎ 而=++，因此P，A，B，C四点不共面．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了空间四点共面的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．已知F是抛物线y2=16x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段AB中点到y轴的距离为（　　）‎ A．8 B．6 C．2 D．4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离．‎ ‎【解答】解：∵F是抛物线y2=16x的焦点，‎ ‎∴F（4，0），准线方程x=﹣4，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ ‎∴|AF|+|BF|=x1+4+x2+4=12，‎ 即有x1+x2=4，‎ ‎∴线段AB的中点横坐标为（x1+x2）=2，‎ ‎∴线段AB的中点到y轴的距离为2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．已知空间四边形OABC，M在AO上，满足=，N是BC的中点，且=， =， =用a，b，c表示向量为（　　）‎ A． ++ B． +﹣ C．﹣ ++ D． ﹣+‎ ‎【考点】空间向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】作出空间四边形OABC，结合图形利用空间向量加法法则能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵空间四边形OABC，M在AO上，满足=，‎ N是BC的中点，且=， =， =，‎ ‎∴=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=﹣．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查空间向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量加法法则的合理运用．‎ ‎　‎ ‎10．己知双曲线E的中心在原点，F（5，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（9，），则E的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用点差法求出直线AB的斜率，再根据F（5，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为（9，），可建立方程组，从而可求双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：由题意，不妨设双曲线的方程为E：﹣=1（a＞0，b＞0），‎ ‎∵F（5，0）是E的焦点，∴c=5，∴a2+b2=25．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）则有：x1+x2=18，y1+y2=9，‎ A，B代入相减可得AB的斜率，‎ ‎∵AB的斜率是=‎ ‎∴=，即16b2=9a2‎ 将16b2=9a2代入a2+b2=25，可得a2=16，b2=9，‎ ‎∴双曲线标准方程是=1．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查点差法解决弦的中点问题，考查学生的计算能力，解题的关键是利用点差法求出直线AB的斜率．‎ ‎　‎ ‎11．已知正四面体棱长为4，则此正四面体外接球的表面积为（　　）‎ A．36π B．48π C．64π D．72π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为4，正方体的对角线长为4，‎ ‎∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，‎ ‎∴外接球的表面积的值为=48π．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查球的内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．己知圆M （x+1）2+y2=64，定点N（1，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足=2， •=0，则点G的轨迹方程是（　　）‎ A． +=1 B． +=1‎ C． +=1 D． +=1‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】由题设知GP|=|GN|，|GM+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=8，由|MN|=2知G是以M，N为焦点的椭圆，由此能求出点G的轨迹的方程．‎ ‎【解答】解：（I）∵=2， •=0，‎ ‎∴|GP|=|GN|‎ ‎∴|GM+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=8‎ ‎∵|MN|=2‎ ‎∴G是以M，N为焦点的椭圆，且a=4，c=1，b2=15‎ ‎∴点G的轨迹的方程为： =1．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程，考查椭圆的定义，考查向量知识的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知p：x＜8，q：x＜a，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为　a＜8　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：∵p：x＜8，q：x＜a，且q是p的充分而不必要条件，‎ ‎∴a＜8，‎ 故答案为：（﹣∞，8）．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎14．若椭圆+=1的离心率为，则实数k的值为　5或12　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】椭圆+=1的离心率为， =或=，即可求出实数k的值．‎ ‎【解答】解：∵椭圆+=1的离心率为，‎ ‎∴=或=，‎ ‎∴k=5或12，‎ 故答案为：5或12．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎15．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，则下列结论中正确的有　（2）（3）　．‎ ‎（1）AC⊥AE；‎ ‎（2）EF∥平面ABCD；‎ ‎（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值：‎ ‎（4）异面直线AE，BF所成的角为定值．‎ ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】由线面垂直证得两线垂直判断（1）；‎ 由线面平行的定义证得线面平行判断（2）；‎ 由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断（3）；‎ 由两个极端位置说明两异面直线所成的角不是定值判断（4）．‎ ‎【解答】解：对于（1），由题意及图形知，AC⊥AE，故（1）不正确；‎ 对于（2），由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，故正确；‎ 对于（3），由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故正确；‎ 对于（4），由图知，当F与B1重合时，与当E与D1‎ 重合时，异面直线AE、BF所成的角不相等，故不为定值，故错误．‎ ‎∴正确命题的序号是（2）（3）．‎ 故答案为（2）（3）．‎ ‎【点评】本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的关键，是中档题．‎ ‎　‎ ‎16．已知集合 M={（x，y）|y=，y≠0}，N={（x，y）|y=﹣x+b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是　（﹣5，5]　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】由M与N，以及两集合交集不为空集，确定出b的范围即可．‎ ‎【解答】解：画出M与N中两函数图象，如图所示，‎ ‎∵M={（x，y）|y=，y≠0}，N={（x，y）|y=﹣x+b}，且M∩N≠∅，‎ ‎∴半圆y=与y=﹣x+b有公共点，‎ 当直线y=﹣x+b与半圆相切时，圆心（0，0）到直线y=﹣x+b的距离d=r，即=5，‎ 解得：b=5（负值舍去），‎ 把（﹣5，0）代入y=﹣x+b得：b=﹣5，‎ 则实数b的范围是（﹣5，5]，‎ 故答案为：（﹣5，5]‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大題共计6个小题，合计70分.其中17题10分.18，19，20，21，22题每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步灌.‎ ‎17．（10分）（2016秋•白山期末）如图所示，圆心C的坐标为（2，2），圆C与x轴和y轴都相切．‎ ‎（1）求圆C的一般方程；‎ ‎（2）求与圆C相切，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程．‎ ‎【考点】圆的一般方程．‎ ‎【分析】（1）确定圆的半径，可得圆的标准方程，进而可得一般方程；‎ ‎（2）设出直线方程，利用直线与圆相切，可得直线方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，圆心C的坐标为（2，2），圆C与x轴和y轴都相切，则半径r=2‎ 所以圆C的方程是：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，一般方程是：x2+y2﹣4x﹣4y+4=0‎ ‎（2）由题意，在x轴和y轴上截距相等的直线一定为斜率为﹣1，可设为y=﹣x+b，‎ ‎∵直线与圆相切，∴ =2，‎ ‎∴b=4±2，‎ 故直线方程为x+y﹣4±2=0．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•白山期末）己知命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：点（m，3）在圆（x﹣10）2+（y﹣1）2=13内．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，试求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先求出命题p，q为真命题的等价条件，然后根据若p∨q为真命题，p∧q为假命题，得到命题p，q为一真一假，然后求出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则，‎ 解得，即4＜m＜8．即p：4＜m＜8．‎ 若（m，3）在圆（x﹣10）2+（y﹣1）2=13，则＜，‎ 即（m﹣10）2＜9，即﹣3＜m﹣10＜3，所以7＜m＜13．即q：7＜m＜13．‎ 若p∨q为真命题，p∧q为假命题，得到命题p，q为一真一假，‎ 若p真q假，则，解得4＜m≤7．‎ 若p假q真，则，解得8≤m＜13．‎ 综上实数m的取值范围是4＜m≤7或8≤m＜13．‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据条件求出命题p，q为真命题时的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•白山期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1⊥BB1，AC=BC=BB1，E为A1B1的中点，且C1E⊥BB1．‎ ‎（1）求证：A1C∥平面BEC1；‎ ‎（2）求A1C与平面ABB1A所成角的大小．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连结B1C，交BC1于F，连结EF，推导出EF∥A1C，由此能证明A1C∥平面BEC1．‎ ‎（2）取AB中点D，连结DE，DA1，DC，推导出C1E∥CD，CD⊥平面ABB1A1，∠CA1D是A1C与平面ABB1A所成角，由此能求出A1C与平面ABB1A所成角的大小．‎ ‎【解答】（本小题12分）‎ 证明：（1）连结B1C，交BC1于F，连结EF，‎ ‎∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1C1C是平行四边形，∴F为B1C中点，‎ ‎∵E为A1B1的中点，∴EF∥A1C，‎ ‎∵EF⊂平面BEC1，A1C⊄平面BEC1，‎ ‎∴A1C∥平面BEC1．…‎ 解：（2）取AB中点D，连结DE，DA1，DC，‎ ‎∵E为A1B1中点，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1中，DE∥CC1，‎ ‎∴四边形C1EDC是平行四边形，∴C1E∥CD，‎ ‎∵C1E⊥A1B1，C1E⊥BB1，∴C1E⊥平面ABB1A1，‎ ‎∴CD⊥平面ABB1A1，‎ ‎∴∠CA1D是A1C与平面ABB1A所成角，‎ ‎∵CD=AC，A1C=，‎ ‎∴sin∠CA1D==，∴．‎ ‎∴A1C与平面ABB1A所成角的大小为．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•白山期末）已知点M到点F（3，0）的距离比点M到直线x+4=0的距离小1．‎ ‎（1）求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）若曲线C上存在两点A，B关于直线l：x﹣4y﹣12=0对称，求直线AB的方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）动点M（x，y）到点F（3，0）的距离比点M到直线x+4=0的距离小1，可知：动点M（x，y）到点F（3，0）的距离与到直线x+3=0的距离相等．根据抛物线的定义可知：点M的轨迹是以F（3，0）为焦点，x=﹣3为准线的抛物线，即可得出；‎ ‎（2）通过设A（x1，y1）、B（x2，y2）可知（y1+y2）（y1﹣y2）=12（x1﹣x2），利用直线AB的斜率为﹣4可知可知AB中点的坐标，计算即得结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵动点M（x，y）到点F（3，0）的距离比点M到直线x+4=0的距离小1，‎ ‎∴动点M（x，y）到点F（3，0）的距离与到直线x+3=0的距离相等．‎ 根据抛物线的定义可知：点M的轨迹是以F（3，0）为焦点，x=﹣3为准线的抛物线，‎ ‎∴y2=4×3x，即y2=12x…．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则代入作差，可得（y1+y2）（y1﹣y2）=12（x1﹣x2），‎ 又∵直线AB的斜率为﹣4，‎ ‎∴﹣4（y1+y2）=12，‎ ‎∴AB中点的坐标为（，﹣），‎ ‎∴直线AB的方程为：y+=﹣4（x﹣），即4x+y﹣=0，‎ 经检验，此时直线AB与抛物线有两个不同的交点，满足题意．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的定义，考查点差法，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•白山期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥‎ 底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=4，AB=2．‎ ‎（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎（2）若F为PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）推导出PA⊥CD，AD⊥DC，从而CD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面PCD．‎ ‎（2）以A为原点AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣P的余弦值．‎ ‎【解答】（本小题12分）‎ 证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，‎ ‎∴PA⊥CD，‎ ‎∵AD⊥AB，AB∥DC，∴AD⊥DC，‎ ‎∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，‎ ‎∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．…‎ 解：（2）由已知以A为原点AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 得P（0，0，4），B（2，0，0），C（4，4，0）…（6分）‎ ‎∵F为PC上一点，∴设=λ，∵BF⊥AC，‎ ‎∴=（）•=﹣=0，①‎ ‎=（4，4，4），=（4，4，0），=（2，0，﹣4），‎ 代入（1）得．…（8分）‎ ‎∴==（1，1，﹣1），==（1，1，3），=（2，0，0），‎ 设平面ABF的法向量=（x，y，z），‎ 则，取z=1，得=（0，﹣3，1），‎ 平面ABP的法向量=（0，1，0），‎ ‎∴cos＜＞==﹣，‎ ‎∴二面角F﹣AB﹣P的余弦值为﹣．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•白山期末）已知椭圆+=1（a＞b＞0），F为椭圆是上焦点，点A，B分别为椭圆的左右顶点，过点B作AF的垂线，垂足为N．‎ ‎（1）若a=，△ABM的面积为1，求椭圆方程；‎ ‎（2）是否存在椭圆，使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由kAF=，直线AF：﹣ +=1，则kBD=﹣，直线BD：y=﹣（x﹣b），联立求得M点坐标，利用三角形的面积公式，即可求得b的值，求得椭圆方程；‎ ‎（2）由（1）可知：B，D关于点M对称，求得D点坐标，假设存在D点，代入椭圆方程，解得：c=0，a=c，不合题意，故不存在这样的椭圆．‎ ‎【解答】解：（1）椭圆+=1（a＞b＞0），焦点在y轴上，kAF=，直线AF：﹣ +=1，‎ ‎∵BD⊥AC，‎ ‎∴kBD=﹣，直线BD：y=﹣（x﹣b），‎ 则，解得：，‎ 则△ABM的面积S=×2b×=1，‎ 由a=，解得：b=1，‎ ‎∴椭圆方程；‎ ‎（2）由已知B关于AF的对称点D，BD⊥AF于M，‎ ‎∴B，D关于点M对称，‎ 由中点坐标公式可知：，‎ 假设存在椭圆使得B关于直线AF的对称点D仍在椭圆上，将D点坐标代入椭圆方程：整理得：a4﹣2a2c2+2c4=0，‎ 则（a2﹣c2）2+c4=0，‎ ‎∴c=0，a=c，不合题意，‎ 故不存在这样的椭圆．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线的斜率公式，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎