2021高考数学一轮复习课后限时集训44平行关系理北师大版

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课后限时集训44‎ 平行关系 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．若直线l不平行于平面α，且lα，则(　　)‎ A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α与直线l至少有两个公共点 D．α内的直线与l都相交 B　[∵lα，且l与α不平行，∴l∩α＝P，故α内不存在与l平行的直线．故选B.]‎ ‎2.如图所示的三棱柱ABCA1B‎1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)‎ A．异面　　　　 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 B　[由面面平行的性质可得DE∥A1B1，又A1B1∥AB，‎ 故DE∥AB.所以选B.]‎ ‎3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D　[选项A中，两直线可能平行，相交或异面，故选项A错误；选项B中，两平面可能平行或相交，故选项B错误；选项C中，两平面可能平行或相交，故选项C错误；选项D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确．故选D.]‎ ‎4.如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于C，E和D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为(　　)‎ 7‎ A. B. C. D. C　[由AB∥α∥β，易证＝，‎ 即＝，‎ 所以BD＝＝＝.]‎ ‎5．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有(　　)‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．0条或2条 C　[如图，设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，则EF∥GH，EF平面BCD，GH平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，则EF∥CD，EF平面EFGH，CD平面EFGH，则CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条，故选C.]‎ 二、填空题 ‎6．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，nγ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．‎ ‎①α∥γ，nβ；②m∥γ，n∥β；③n∥β，mγ.‎ 可以填入的条件有________．‎ ‎①和③　[由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，mγ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．]‎ ‎7.如图所示，正方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB‎1C，则线段EF的长度等于________．‎ 　[在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝2，‎ ‎∴AC＝2.‎ 又E为AD中点，EF∥平面AB‎1C，EF平面ADC，‎ 平面ADC∩平面AB‎1C＝AC，‎ ‎∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝.]‎ ‎8.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B‎1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1‎ 7‎ ‎.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)‎ 点M在线段FH上(或点M与点H重合)　[连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，‎ ‎∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，‎ 则MN平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.]‎ 三、解答题 ‎9.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3.‎ 证明：平面ABF∥平面DCE.‎ ‎[证明]　法一：(应用面面平行的判定定理证明)因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，‎ 所以DE∥AF，因为AF平面DCE，DE平面DCE，所以AF∥平面DCE，‎ 因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD，因为AB平面DCE，所以AB∥平面DCE，‎ 因为AB∩AF＝A，AB平面ABF，AF平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.‎ 法二：(利用两个平面内的两条相交直线分别平行证明)：‎ 因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，‎ 所以DE∥AF，‎ 因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD.‎ 又AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，‎ 所以平面ABF∥平面DCE.‎ 法三：(利用垂直于同一条直线的两个平面平行证明)因为DE⊥平面ABCD，‎ 所以DE⊥AD，在正方形ABCD中，AD⊥DC，‎ 又DE∩DC＝D，‎ 所以AD⊥平面DEC.‎ 同理AD⊥平面ABF.‎ 所以平面ABF∥平面DCE.‎ ‎10.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E、F分别是PA、PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．‎ ‎[解]　直线l∥平面PAC，证明如下：‎ 因为E、F分别是PA、PC的中点，‎ 所以EF∥AC.‎ 又EF平面ABC，且AC平面ABC，‎ 所以EF∥平面ABC.‎ 7‎ 而EF平面BEF，‎ 且平面BEF∩平面ABC＝l，‎ 所以EF∥l.‎ 因为l平面PAC，EF平面PAC，‎ 所以l∥平面PAC.‎ ‎1．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)‎ ‎①　　　　②　　　　③　　　　④‎ A．①③　　　　　 B．②③‎ C．①④ D．②④‎ C　[对于图形①，易得平面MNP与AB所在的对角面平行，所以AB∥平面MNP；对于图形④，易得AB∥PN，又AB平面MNP，PN平面MNP，所以AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．故选C.]‎ ‎2.(2019·安徽蚌埠模拟)如图所示，正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB‎1A1内的动点，若C‎1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为________．‎ 　[如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C‎1G，EG，HF，可得 四边形EGC1D1是平行四边形，所以C‎1G∥D1E.同理可得C1H∥CF.‎ 因为C1H∩C‎1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF.‎ 由M点是正方形ABB‎1A1内的动点可知，若C‎1M∥平面CD1EF，‎ 则点M在线段GH上，所以M点的轨迹长度GH＝＝.]‎ ‎3.已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是________四边形．‎ 平行　[∵AB∥α，平面ABD∩α＝FH，平面ABC∩α＝EG，‎ ‎∴AB∥FH，AB∥EG，‎ ‎∴FH∥EG，同理EF∥GH，‎ ‎∴四边形EFHG是平行四边形．]‎ 7‎ ‎4.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．‎ ‎(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；‎ ‎(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．‎ ‎[解]　(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，‎ ‎∴EF∥HG.‎ ‎∵HG平面ABD，EF平面ABD，‎ ‎∴EF∥平面ABD.‎ 又∵EF平面ABC，‎ 平面ABD∩平面ABC＝AB，‎ ‎∴EF∥AB，又∵AB平面EFGH，‎ EF平面EFGH，‎ ‎∴AB∥平面EFGH.‎ 同理可证，CD∥平面EFGH.‎ ‎(2)设EF＝x(0＜x＜4)，‎ ‎∵EF∥AB，FG∥CD，‎ ‎∴＝，‎ 则＝＝＝1－.‎ ‎∴FG＝6－x.‎ ‎∵四边形EFGH为平行四边形，‎ ‎∴四边形EFGH的周长 l＝2＝12－x.‎ 又∵0＜x＜4，‎ ‎∴8＜l＜12，‎ 即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．‎ ‎1.如图所示，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B‎1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：‎ ‎①没有水的部分始终呈棱柱形；‎ ‎②水面EFGH所在四边形的面积为定值；‎ 7‎ ‎③棱A1D1始终与水面所在平面平行；‎ ‎④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ C　[由题图，显然①正确，②错误； ‎ 对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，‎ ‎∴A1D1∥FG且A1D1平面EFGH，FG平面EFGH，‎ ‎∴A1D1∥平面EFGH(水面)．‎ ‎∴③正确；‎ 对于④，∵水是定量的(定体积V)，‎ ‎∴S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.‎ ‎∴BE·BF＝(定值)，即④正确，故选C.]‎ ‎2.如图，四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．‎ ‎(1)求证：CE∥平面PAD.‎ ‎(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)证明：取PA的中点H，连接EH，DH，‎ 因为E为PB的中点，‎ 所以EH∥AB，EH＝AB，‎ 又AB∥CD，CD＝AB，‎ 所以EH∥CD，EH＝CD，‎ 因此四边形DCEH为平行四边形，‎ 所以CE∥DH，‎ 又DH平面PAD，CE平面PAD，‎ 因此CE∥平面PAD.‎ ‎(2)存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF，‎ 证明如下：‎ 取AB的中点F，连接CF，EF，‎ 则AF＝AB，‎ 7‎ 因为CD＝AB，‎ 所以AF＝CD，‎ 又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，‎ 因此CF∥AD.‎ 又AD平面PAD，CF平面PAD，‎ 所以CF∥平面PAD，‎ 由(1)可知CE∥平面PAD，‎ 又CE∩CF＝C，‎ 故平面CEF∥平面PAD，‎ 故存在AB的中点F满足要求．‎ 7‎