专题56+立体几何+空间点、线、面的位置关系-2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试

专题56+立体几何+空间点、线、面的位置关系-2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试

‎2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试 ‎56 立体几何 空间点、线、面的位置关系 ‎ 【考点讲解】‎ 一、 具本目标：‎ ‎1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；‎ ‎2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；‎ ‎3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.‎ 二、知识概述：‎ ‎1.平面的基本性质 ‎(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．‎ ‎(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．‎ ‎(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．‎ 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．‎ 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．‎ 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．‎ ‎2. 空间两直线的位置关系 直线与直线的位置关系的分类 直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．‎ 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．‎ 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．‎ 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ ‎3.异面直线所成的角 异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：.‎ ‎4.异面直线的判定方法：‎ 判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；‎ 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．‎ ‎5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．‎ 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：‎ ‎①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；‎ ‎②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；‎ ‎③计算：求该角的值，常利用解三角形；‎ ‎④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．‎ 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．‎ ‎【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查．‎ ‎【真题分析】‎ ‎1.【2016高考浙江文数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）‎ A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n ‎【解析】由题意知，．故选C．‎ ‎【答案】C ‎2.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【解析】本题考点是线面平行的判断问题，由题意可知：第二个选项中∥，在直线∥平面，第三个选项同样可得∥，直线∥平面，第四个选项有∥，直线∥平面，只有选项A不符合要求 ‎【答案】A ‎3．【2017课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若 ‎，那么，很显然不成立；B.若，那么，显然不成立；C.若，那么，成立，反过来时，也能推出,所以C成立，D.若，则，显然不成立，故选C.‎ ‎【答案】C ‎4.【2018年全国卷II文】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】利用正方体的性质可∥，将异面直线与所成角转化为共面直线与所成角的正切值，在中进行计算就可以了.‎ 在正方体中有∥，所以异面直线与所成角为，设正方体的边长为，因为为棱的中点，所以有，，.‎ ‎【答案】C ‎5.【2017课标II，理10】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】将直三棱柱补成四棱柱，异面直线与所成的角为，由题意可知，，，因此 ‎【答案】C ‎6.【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△，直线AC与所成角的余弦的最大值是______．‎ ‎【解析】设直线与所成角为．设是中点，由已知得，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，，‎ ‎，作于，翻折过程中，始终与垂直，，则，，因此可设，则，与平行的单位向量为，‎ 所以＝，所以时，取最大值．‎ ‎【答案】‎ ‎7.【2017天津，文17】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.‎ ‎（I）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（II）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，，所以即为所求，根据余弦定理求得，但本题可证明，所以；（Ⅱ）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，做，连结,即为所求.‎ ‎【解析】（Ⅰ）解：如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.‎ 所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.‎ ‎（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.‎ ‎【模拟考场】‎ ‎1．空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）‎ A．两条直线 B．一点和一条直线 C．一个三角形 D．三个点 ‎【解析】不共线的三点确定一个平面，C正确；A选项，只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面；B选项，一条直线和直线外一点才能确定一个平面；D选项，不共线的三点确定一个平面.‎ ‎【答案】C ‎2.在三棱锥A－BCD的棱AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF∩HG＝P，则点P（ ）‎ A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上，也不在直线BD上 ‎【解析】如图所示，∵EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，‎ ‎∴P∈平面ABC，P∈平面ACD.又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，‎ 故选B.‎ ‎【答案】B ‎3.已知平面α和直线l，则在平面α内至少有一条直线与直线l　(　　)‎ A.平行 B.垂直 C.相交 D.以上都有可能 ‎【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线l与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l平行，故A错误；若直线l∥平面α，则在平面α内不存在直线与l相交，故C错误；对于直线l与平面α相交，直线l与平面α平行，直线l在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，故选B.‎ ‎【答案】B ‎4.不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且Aα，给出以下三个命题：①△ABC中至少 有一条边平行于α；②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.‎ ‎【解析】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，如图，三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.‎ ‎【答案】①‎ ‎5.如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线和所成角的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】设，则，过作交于，则，过作交于 ‎，则即为为所求，如图所示，过作交于，连接，则四边形是梯 形，其中，，过作交于，则 ‎，在中，则 ‎，所以，故选A.‎ ‎【答案】A ‎6.已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，‎ ‎(1)求证：直线EF与BD是异面直线；‎ ‎(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．‎ ‎【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.‎ ‎(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．‎ ‎(2)取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，可得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ ‎7.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM＝AN＝1.‎ ‎（1）证明：M，N，C，D1四点共面；‎ ‎（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.‎ ‎【解析】本题考点是多点共面的证明，平面分几何体的体积之比.‎ ‎（1）证明：连接A1B，‎ 在四边形A1BCD1中，A1D1∥BC且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1B∥D1C.‎ 在△ABA1中，AM＝AN＝1，AA1＝AB＝3，所以，‎ 所以MN∥A1B，所以MN∥D1C.所以M，N，C，D1四点共面.‎ ‎（2）记平面MNCD1将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，连接D1A，D1N，DN ‎，则几何体D1－AMN，D1－ADN，D1－CDN均为三棱锥，‎ 所以V1＝＝S△AMN·D1A1＋S△ADN·D1D＋S△CDN·D1D ‎＝××3＋××3＋××3＝.‎ 从而V2＝－V1＝27－＝，所以，‎ 所以平面MNCD1分此正方体的两部分体积的比为.‎