高考数学一轮复习第五章平面向量5-3平面向量的数量积及平面向量的应用练习理北师大版
5.3 平面向量的数量积及平面向量的应用
核心考点·精准研析
考点一 平面向量的数量积的基本概念及运算
1.(2018·全国卷II)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )
A.4 B.3 C.2 D.0
【解析】选B.因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.
2.(2019·皖南八校联考)已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,则(a+2b)·a= .
【解析】因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,所以(a+2b)·a=a2+
2a·b=|a|2+2|a|·|b|cos 45°=1+.
答案:1+
【一题多解】
坐标法解T2,因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,可设a=,
b=(1,0),则a+2b=,(a+2b)·a=×+=1+.
答案:1+
3.(2020·合肥模拟) 已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a+b|=,则a在b方向上的射影等于 .
【解析】因为|a|=1,|b|=2,|a+b|=,
所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=5+2a·b=3,
所以a·b=-1,
所以a在b方向上的射影为=-.
答案:-
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平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos
.
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)对于数量积与线性运算的综合问题,可先运用数量积的运算律,几何意义等化简,再运算.
考点二 平面向量的数量积在几何中的应用
【典例】1.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为 .
2.已知O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,且·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的 ( )
A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心
(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心)
【解题导思】
序号
联想解题
1
看到“·=-4”,想到和分别用,来表示
2
看到三个题设条件,想到△ABC的“三心”
【解析】1.·=3×2×cos 60°=3,=+,则·=·
(λ-)
=×3+×4-×9-×3=-4⇔λ=.
答案:
2.选C.由||=||=||知,O为△ABC的外心;由++=0知,N为△ABC的重心;因为·=·,所以(-)·=0,所以·=0,所以⊥,即CA⊥PB,同理AP⊥BC,CP⊥AB,所以P为△ABC的垂心.
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1.平面向量中数量积的三种求法
(1)利用定义求解.
(2)利用向量的坐标运算求解.
(3)利用向量数量积的几何意义求解.
2.向量的数量积在平面几何应用中的解题策略
(1)利用运算律结合图形先化简再运算.
(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).
【拓展】三角形四心的向量表示
在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满足:
(1)++=0,则点O为三角形的重心.
(2)||=||=||,则点O为三角形的外心.
(3)·=·=·,则点O为三角形的垂心.
(4)||·+||·+||·=0,则点O为三角形的内心.
1.(2020·济宁模拟)平面四边形ABCD中,+=0,(-)·=0,则四边形ABCD是 ( )
A.矩形 B.正方形
C.菱形 D.梯形
【解析】选C.因为+=0,所以=-=,所以四边形ABCD是平行四边形.又(-)·=·=0,所以四边形对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.
2.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足=
[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)·],λ∈R,则点P的轨迹一定经过( )
A.△ABC的内心
B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心
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D.AB边的中点
【解析】选C.取AB的中点D,则2=+,
因为=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],
所以=[2(1-λ)+(1+2λ)]=+,又+=1,所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
考点三 平面向量数量积的综合应用
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)平面向量的模,平面向量的夹角,平行、垂直问题;
(2)考查数学运算等核心素养,以及数形结合,转化与化归的思想.
2.怎么考:与平面向量基本定理,坐标运算,平面几何结合考查求模,夹角,夹角余弦值,参数等等.
学
霸
好
方
法
1.在求向量的模时,一定要注意公式|a|= 的应用,即将向量的长度(或模)转化为向量数量积.
2.求两个向量的夹角,常常利用两个向量夹角的余弦公式,求其夹角的余弦,然后利用余弦函数的单调性求角.
3.解决关于平面向量的平行与垂直问题,其关键是充分利用平行与垂直的充要条件,得出一个等式,然后求解.
平面向量的模
【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知=(2,3), =(3,t),||=1,则·
= ( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
【解析】选C.因为=-=(1,t-3),又因为||=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),所以·=2.
2.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为 .
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【解析】建立平面直角坐标系如图所示,则
A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).
所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),
所以|+3|=(0≤y≤b),当y=b时,|+3|取得最小值5.
答案:5
1.求向量的模有哪些方法?
提示:(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算.
(2)几何法,利用向量的几何意义.
2.求向量模的最值(范围)有哪些方法?
提示:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.
(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.
平面向量的夹角
【典例】1.(2019·全国卷Ⅲ)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos=________________.
【解析】因为c2=(2a-b)2=4a2+5b2-4a·b=9,所以|c|=3,
因为a·c=a·(2a-b)=2a2-a·b=2,
所以cos===.
答案:
2.(2020·运城模拟)已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角的正弦值为____________________.
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【解析】因为a·(a+b)=a2+a·b=22+2×1×cos=4+2cos=3,
所以cos=-,
又∈[0,π],
所以sin==.
答案:
1.向量夹角问题如何求解?
提示:若题目给出向量的坐标表示,可直接运用公式cos θ= 求解.没有坐标时可用公式cos θ=.研究向量夹角应注意“共起点”,注意取值范围是[0,π].
2.对于两个不共线的向量,数量积的符号与夹角有何关系?
提示:当数量积大于0时,夹角为锐角;
当数量积等于0时,夹角为直角;
当数量积小于0时,夹角为钝角.
平行、垂直问题
【典例】1.(2020·天津模拟)已知向量a=(1,2),a-b=(4,5),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x= ( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
【解析】选C.因为a=(1,2),a-b=(4,5),所以b=a-(a-b)=(1,2)-(4,5)=(-3,-3),所以2a+b=2(1,2)+(-3,-3)=(-1,1).又因为c=(x,3),(2a+b)∥c,所以-1×3-x=0,所以x=-3.
2.(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cos θ==,又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为.
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两个非零向量垂直的充要条件有哪些?
提示:a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0⇔|a-b|=|a+b|.
注意:数量积的运算a·b=0⇔a⊥b中,是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.
1.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a +2b|= .
【解析】=(a+2b)2
=22+2×2×2×+22=4+4+4=12,
所以==2.
答案:2
2.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b的夹角余弦值为 .
【解析】因为|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4a·b+4|b|2,所以a·b=-|b|2,令夹角为θ,所以cos θ=
答案:-
3.(2019·北京高考)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m= .
【解析】因为a⊥b,所以a·b=-4×6+3m=0,
所以m=8.
答案:8
1.(2019·天津高考)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·= .
【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,因为AD∥BC,所以四边形AEBF为平行四边形,
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因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.
因为∠BAD=30°,AB=2,所以AF=2,即=.
因为==-=-,
所以·=(-)·=·--=×2×5×
-12-10=-1.
答案:-1
【一题多解】解答本题还可以用如下方法解决:
建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),D.
因为AD∥BC,∠BAD=30°,所以∠ABE=30°,
因为AE=BE,所以∠BAE=30°,
所以直线BE的斜率为,其方程为y=(x-2),直线AE的斜率为-,其方程为y=-x.
由得x=,y=-1,
所以E(,-1).
所以·=·(,-1)=-1.
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答案:-1
2.(2020·武汉模拟)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量,若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是 ( )
A.-1 B.+1
C.2 D.2-
【解析】选A.设e=(1,0),b=(x,y),则b2-4e·b+3=0⇒x2+y2-4x+3=0⇒(x-2)2+y2=1.如图所示,a=,b=(其中A为射线OA上动点,B为圆C上动点,∠AOx=).
所以|a-b|min=|CD|-1=-1(其中CD⊥OA).
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