数学（理）卷·2019届黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期开学考试（2018-03）

数学（理）卷·2019届黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期开学考试（2018-03）

双鸭山市第一中学2017-2018学年高二数学下学期3月考试试题 理 第Ⅰ卷 一、 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．下列说法中正确的是 (　　)‎ A．“x>‎5”‎是“x>‎3”‎的必要条件 B．命题“∀x∈R，x2＋1>‎0”‎的否定是“∃x0∈R，x02＋1≤‎‎0”‎ C．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数 D．设p、q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题 ‎2.将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数都是偶数”，则概率等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是(　　)‎ A．5，10，15，20，25 ‎ B．3，13，23，33，43 ‎ ‎ C．1，2，3，4，5 ‎ ‎ D．2，4，8，16，32‎ ‎ 5．设集合，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ ‎ C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6．当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)‎ A．7 B．‎42 C.210 D．840‎ ‎7．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为 (　　)‎ A.　 B．　 　　 C.　 D. ‎8. 下列说法中正确的是 ‎①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于，相关性越弱；‎ ‎②回归直线一定经过样本点的中心；‎ ‎③随机误差的方差的大小是用来衡量预报的精确度；‎ ‎④相关指数用来刻画回归的效果， 越小，说明模型的拟合效果越好．( )‎ A． ①② B． ③④ C． ①④ D． ②③‎ ‎9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为 (　　)‎ A.＋＝1 B．＋y2＝1 ‎ C.＋＝1 D．＋＝1‎ ‎10．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是C‎1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为 (　　)‎ A．－ B． C．－ D． ‎11. 设不等式组 表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 A． B． C． D． ‎ ‎12. 已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）‎ ‎13. 把化为二进制数为______________；‎ ‎14.在随机数模拟试验中，若,,‎ ‎,,表示生成之间的均匀随机数,‎ 共产生了个点，其中有个点满足，则椭圆的面积可估计为 ________ .‎ ‎15．方程＋＝1表示曲线C，给出以下命题：‎ ‎①曲线C不可能为圆；②若14；‎ ‎④若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则1b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）‎ ‎17．（10分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得 ‎(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a ‎(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关 ‎(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.‎ ‎(附：对于线性回归方程＝x＋，其中＝，＝－)‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎18. （12分）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.‎ 区间 ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ ‎[40,45)‎ ‎[45,50]‎ 人数 ‎25‎ a b ‎(1)求正整数a，b，N的值；‎ ‎(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？[]‎ ‎(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．‎ ‎19.(12分）如图，在四棱锥中，底面， ，点为棱的中点.， （1）证明： ；（2）求二面角的大小．‎ ‎20. ‎4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:min)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60 min的学生称为“书虫”,低于60 min的学生称为“懒虫”,‎ ‎(1)求x的值并估计全校3 000名学生中“书虫”大概有多少名学生?(将频率视为概率)‎ ‎(2)根据已知条件完成下面2×2的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“书虫”与性别有关:‎ 懒虫 书虫 合计 男 ‎15‎ 女 ‎45‎ 合计 ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知抛物线 ，过点作直线，交抛物线于两点，为坐标原点，‎ ‎（Ⅰ）求证： 为定值；‎ ‎（Ⅱ）求面积的最小值.‎ ‎22．（本小题满分13分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：,且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3,0）的直线交椭圆C于点A、B．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．‎ 双鸭山市第一中学 高二数学（理科）参考答案 (1) 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A D B A C A D A B D B 二 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13 14 . ‎ ‎15 　 ③ 16 . 三 解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．【解析】　(1)由题意知n＝10，＝＝＝8，＝＝＝2， --------2分 ‎，-------4分 由此得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4.‎ 故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4 ---------6分 ‎(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．------8分 ‎(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．10分 ‎18. 【解析】：(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以a＝25.‎ ‎.总人数N＝＝250. b＝250×0.08×5＝100 --------3分 ‎(2)因为第1,2,3组共有25＋25＋100＝150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：‎ 第1组的人数为6×＝1，第2组的人数为6×＝1，‎ 第3组的人数为6×＝4，所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人 ．--------6分 ‎(3)由(2)可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：‎ ‎(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)， (A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共有15种． --------10分 其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，共有8种．‎ 所以恰有1人年龄在第3组的概率为. --------12分 ‎19【解析】　 ‎ ‎⑴证明：取中点，连接 分别是的中点[]‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形 ‎ ‎ ‎ 面 , ‎ ‎ ‎ ‎ , ‎ ‎ 面 ‎ --------4分 ‎⑵以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则 ‎ --------6分 ‎ ‎ 设面的法向量为 由，令，即 --------9分 面的一个法向量 设二面角的大小为，则 ‎ 二面角的大小 --------12分 ‎20. (1)由已知可得:(0.01+0.02+0.03+x+0.015)×10=1,可得x=‎0.025. 2‎分 因为(0.025+0.015)×10=0. 4,将频率视为概率,由此可以估算出全校3000名学生中“书虫”大概有1200人. 4分 ‎(2)完成下面的2×2列联表如下:‎ 懒虫 书虫 合计 男 ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 女 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎ 7分 K2=≈8.249. 10分 由8.249>6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“读书迷”与性别有关. ‎ ‎ --------12分 ‎21. 【解析】证明：（Ⅰ）设过点的直线：，‎ 由得，‎ 令，∴ ‎ ‎∴为定值。——————6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎，原点到直线的距离 ‎ ‎∴‎ 当时，三角形的面积最小，最小值是 ——————12分 ‎22．【解析】 （20）解：（Ⅰ）∵ ∴…………………………（1分）‎ ‎ 则椭圆方程为即 ‎ 设则 ‎ ……………………（2分）‎ ‎ ‎ ‎ 当时，有最大值为…………………………（3分）‎ ‎ 解得∴，椭圆方程是……………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）设方程为 ‎ 由 ‎ 整理得．………………………………（5分）‎ ‎ 由，得．‎ ‎ ………………………………………（6分）‎ ‎ ∴‎ 则,‎ ‎………………………（7分）‎ 由点P在椭圆上，得 化简得①………………………………………………（8分）‎ 又由 即将，代入得 ‎…………………………………（9分）‎ 化简，得 则,………………………………………………………（11分）‎ ‎∴②‎ 由①，得 联立②，解得∴或………………（13分）‎ ‎=‎