【数学】2019届一轮复习北师大版算法、推理证明、排列、组合与二项式定理学案

【数学】2019届一轮复习北师大版算法、推理证明、排列、组合与二项式定理学案

‎【考向解读】 ‎ ‎1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.‎ ‎2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.‎ ‎3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型及相互独立事件的概率；‎ ‎4.二项分布、正态分布的应用是考查的热点；‎ ‎5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.‎ ‎6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现.学 ‎ ‎【命题热点突破一】程序框图 例1、【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入 A．A>1 000和n=n+1‎ B．A>1 000和n=n+2‎ C．A1 000和n=n+1‎ D．A1 000和n=n+2‎ ‎【答案】D ‎【变式探究】【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的,则输出x,y的值满足 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【感悟提升】程序框图中单纯的顺序结构非常简单，一般不出现在高考中，在高考中主要出现的是以“条件结构”和“循环结构”为主的程序框图．以“条件结构”为主的程序框图主要解决分段函数求值问题，以“循环结构”为主的程序框图主要解决数列求和、统计求和、数值求积等运算问题，这两种类型的程序框图中，关键因素之一就是“判断条件”，在解题中要切实注意判断条件的应用．‎ ‎【变式探究】 ‎ 某程序框图如图 所示，若该程序运行后输出的S的值为72，则判断框内填入的条件可以是(　　)‎ A．n≤8? B．n≤9? C．n≤10? D．n≤11?‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】依题意，可知程序运行如下 n＝1，S＝0→S＝0＋2×1＝2，n＝2→S＝2＋2×2＝6，n＝3→S＝6＋2×3＝12，n＝4→S＝12＋2×4＝20，n＝5→S＝20＋2×5＝30，n＝6→S＝30＋2×6＝42，n＝7→S＝42＋2×7＝56，n＝8→S＝56＋2×8＝72，n＝9，此时输出S的值为72，故判断框中应填“n≤8？”.‎ ‎【命题热点突破二】合情推理与演绎推理 例2、(1)观察下列各式 ‎ C＝40；‎ C＋C＝41；‎ C＋C＋C＝42；‎ C＋C＋C＋C＝43；‎ ‎……‎ 照此规律，当n∈N*时，‎ C＋C＋C＋…＋C＝________．‎ ‎(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x＋2)＋2×(y－3)＝0，化简得x－2y＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n＝(－1，2，－3)的平面的方程为________．‎ ‎【答案】（1）4n－1　（2）x－2y＋3 －6＝0　‎ ‎【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的．‎ ‎【变式探究】‎ 已知cos＝，coscos＝，coscos·cos＝，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．‎ ‎【答案】coscos…cos＝（n∈N*）　‎ ‎【解析】从已知等式的左边 看，3，5，7，…是通项为2n＋1的等差数列，等式的右边是通项为的等比数列 ‎.由以上分析可以猜想出一般结论为coscos…cos＝（n∈N*）.学 ‎ ‎【命题热点突破三】排列与组合 例3、【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【答案】D ‎【变式探究】【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ‎（A）24 　（B）48 　（C）60 　（D）72‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.‎ ‎【感悟提升】‎ 解决排列组合问题的基本方法有直接法和间接法．直接法就是采用分类、分步的方法逐次求解，间接法是从问题的对立面求解．不论是直接法还是间接法，都要遵循“特殊元素、特殊位置优先考虑”的原则．注意几种典型的排列组合问题 相邻问题(捆绑法)、不相邻问题(插空法)、定序问题(组合法)、分组分配问题(先分组后分配)等．‎ ‎【变式探究】‎ 已知直线＋＝1(a，b是非零常数)与圆x2＋y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线有________条. ‎ ‎【答案】60　‎ ‎【解析】由于圆x2＋y2＝100上满足条件的整数点（x，y）有12个 （±10，0），（±6，±8），（±8，±6），（0，±10），所以直线经过这些点，但a，b是非零常数，所以直线不与x轴、y轴垂直，且不经过原点.满足条件的直线有两类 一类与圆有2个公共点，除去垂直于坐标轴和经过原点的直线，共有C－10－4＝52（条）；另一类与圆有1个公共点（即圆的切线），同样除去垂直于坐标轴的直线，共有8条.综上，所求的直线共有60条.‎ ‎【命题热点突破四】二项式定理 例4、【2017课标1，理6】展开式中的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎【答案】C ‎ ‎【变式探究】【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）‎ ‎【答案】60.‎ ‎【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。‎ ‎【感悟提升】‎ ‎ (1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．(2) 二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．‎ ‎【变式探究】（2015·全国卷Ⅱ） (a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．‎ ‎【答案】3　‎ ‎【解析】（a＋x）（1＋x）4的展开式中x的奇数次幂项一部分 自第一个因式取a，第二个因式取Cx及Cx3；另一部分 自第一个因式取x，第二个因式取Cx0，Cx2及Cx4.所以系数之和为aC＋aC＋C＋C＋C＝‎8a＋8＝32，所以a＝3.‎ ‎【高考真题解读】‎ ‎1.【2017课标1，理6】展开式中的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C. 学 ‎ ‎2.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1‎ 人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ]‎ ‎【答案】D ‎3.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）‎ ‎【答案】 1080‎ ‎【解析】 ‎ ‎4.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由二项式定理的通项公式，令得 ，解得．‎ ‎5.【2017课标II，理8】执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎6.【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入 A．A>1 000和n=n+1‎ B．A>1 000和n=n+2‎ C．A1 000和n=n+1‎ D．A1 000和n=n+2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，因为，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入，故填，又要求为偶数且初始值为0，所以矩形框内填，故选D. 学* ‎ ‎7.【2017天津，理3】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为 ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）3‎ ‎【答案】C ‎【解析】依次为 , ，输出 ，选C.‎ ‎8.【2017山东，理6】执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的的值为，第二次输入的的值为，则第一次、第二次输出的的值分别为 ‎（A）0，0 （B）1，1 （C）0，1 （D）1，0‎ ‎【答案】D ‎9.【2017北京，理2】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 ‎（A）（–∞，1） （B）（–∞，–1）‎ ‎（C）（1，+∞） （D）（–1，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得 ，故选B.‎ ‎10.【2017天津，理9】已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎11.【2017江苏，2】 已知复数其中i是虚数单位，则的模是 ▲ .‎ ‎【答案】 [ 学 ]‎ ‎【解析】，故答案为．‎ ‎12.【2017江苏，4】右图是一个算法流程图，若输入的值为,则输出的的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，故答案为．学 ‎ ‎1.【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的,则输出x,y的值满足 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎2.【2016高考新课标3理数】执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ）‎ ‎（A）3 （B）4 （C）5 （D）6‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一次循环，得；第二次循环，得，‎ ‎；第三次循环，得；第四次循环，得，退出循环，输出，故选B．学 . ‎ ‎3.【2016年高考四川理数】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为 ‎（A）9 （B）18 （C）20 （D）35‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎4.【2016高考新课标2理数】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）‎ ‎（A）7 （B）12 （C）17 （D）34‎ ‎【答案】C ‎5.【2016年高考北京理数】执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为（）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】输入，则，；进入循环体，，否，，，否，，，此时，输出，则，选B.‎ ‎6.【2016高考山东理数】执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎7.【2016高考天津理数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）‎ ‎（A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ ‎【答案】B ‎【解析】依次循环 结束循环，输出，选B. ‎ ‎8.【2016高考江苏卷】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ▲ .‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】第一次循环 ，第二次循环 ，此时循环结束。学 ‎ ‎1.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）‎ ‎（A）24 （B）18 （C）12 （D）9‎ ‎【答案】B ‎2.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为 ‎（A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i 4 （D）20i 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A.‎ ‎3.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ‎（A）24 　（B）48 　（C）60 　（D）72‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有 种排法，所以奇数的个数为，故选D.‎ ‎4.【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下 共有项，其中项为0，项 为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有 ‎（ ）‎ ‎（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个 ‎【答案】C ‎【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下 ‎ ‎0 ‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1[ 学 ]‎ ‎1 ‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎5.【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）‎ ‎【答案】60.‎ ‎ ‎ ‎6.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ 试题分析 的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.学 ‎ ‎7.【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)‎ ‎【答案】－56‎ ‎【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为－56． ‎ ‎8.【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.‎ ‎【答案】－2‎ ‎ ‎ ‎1．(2015·重庆，7)执行如图所示的程序框图，输出的结果为(　　)‎ A．(－2， 2) B．(－4，0) ‎ C．(－4，－4) D．(0，－8)‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一次循环 S＝1－1＝0，t＝1＋1＝2；x＝0，y＝2， ＝1；‎ 第二次循环 S＝0－2＝－2，t＝0＋2＝2，x＝－2，y＝2， ＝2；‎ 第三次循环 S＝－2－2＝－4，t＝－2＋2＝0，x＝－4，y＝0， ＝3.输出(－4，0)．‎ ‎2．(2015·福建，6)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为(　　)‎ A．2 B．1 C．0 D．－1‎ ‎【答案】C ‎【解析】当i＝1，S＝0进入循环体运算时，S＝0，i＝2；S＝0＋(－1)＝－1，i＝3；S＝－1＋0＝－1，i＝4；∴S＝－1＋1＝0，i＝5；S＝0＋0＝0，i＝6＞5，故选C. 学 ‎ ‎3．(2015·北京，3)执行如图所示的程序框图，若输出 的值为8，则判断框内可填入的条件是(　　)‎ A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤ ‎【答案】C ‎4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路 于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝(　　)‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T的值为________. ‎ ‎【答案】 ‎【解析】当n＝1时，T＝1＋x1dx＝1＋＝1＋＝；‎ 当n＝2时，T＝＋x2dx＝＋＝＋＝；‎ 当n＝3时，结束循环，输出T＝.‎ ‎6．(2015·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 ‎________条毕业留言(用数字作答)．‎ ‎【答案】1 560‎ ‎7．(2015·北京，9)在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________(用数字作答)．‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】展开式通项为 Tr＋1＝C25－rxr，∴当r＝3时，系数为C·25－3＝40.‎ ‎8．(2015·天津，12)在的展开式中，x2的系数为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r；‎ 当6－2r＝2时，r＝2，所以x2的系数为 C＝.学 ‎ ‎9．(2015·四川，6)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)‎ A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 ‎【答案】B ‎【解析】由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A＝72个；若万位是4，则有2×A个＝48个，故40 000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.‎ ‎10. (2015·陕西，4)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝(　　)‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意易得 C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.‎