辽宁省葫芦岛市普通高中2020届高三上学期学业质量监测（期末）数学（理）试题 含答案
学 校
姓 名
考 号
………………………………………………装…………订…………线………………………………………………
葫芦岛市普通高中2019～2020学年第一学期学业质量监测考试
高三数学（供理科考生使用）
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．
3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．
4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1. A={x|x-1>0},B={x|x2-x-6£0}，则A∩B=
A.[-2,1) B.[-2,3] C. (1,3] D.[1,3)
2.已知i是虚数单位，复数 =
A．i-2 B．i+2 C．-2 D．2
3.在等比数列{an}中，a4,a6是方程x2+5x+1=0的两根，则a5=
A.1 B. ±1 C. D.±
4. 已知 a,b均为单位向量，则|a-2b|=|2a+b|是a^b的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 2018年辽宁省正式实施高考改革。新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课 . 这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想。考改实施后，学生将在高二年级将面临着3+1+2的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习。某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的
A．样本中的女生数量多于男生数量
B．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量
C．样本中的男生偏爱物理
D．样本中的女生偏爱历史
等高堆积条形图2
等高堆积条形图1
O
y
x
O
y
x
y
x
O
y
x
O
6. 函数f(x)=的图像大致为
A. B. C. D.
7. 在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，B=30°，a+c=2b，△ABC的面积为，则b=
A. B. C. D.
8. 函数f(x)=ln(x2-ax-3)在(1,+¥)单调递增，求a的取值范围
A.a£2 B.a<2 C. a£-2 D. a<-2
9. 若
3时，不等式f (-k-sinq -1)³ f (k2-sin2q )对
任意的kÎ[-1,0]恒成立,则q 的可能取值是
A.- B. C.- D.
第Ⅱ卷（选择题，共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，第15题为两空题，第一空2分，第二空3分。）
13. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________．
1
1
1
侧（左）视图
正（主）视图
俯视图
14. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，书中不仅记载了“天圆如张盖，地方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方”的钱币及用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．具体做法如下：现有“外圆内方”的钱币(如图)，测得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为2 cm,“内方”（即钱币中间的正方形孔）的边长为1 cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是p，则圆周率π的近似值为 .
15. (1+ax2)(x-3)5的展开式中x7系数为2，则a的值为______, x5的系数为______.
16. 已知双曲线C：- =1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线C右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆与x轴切于点（2,0），且直线y= -2x经过线段PF1的中点且垂直于线段PF1，则双曲线C的方程为 ____________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17. (本小题满分12分)
P
A
B
C
D
E
如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形，
且平面平面，为的中点，,，
.
（1）求证：平面；
（2）求二面角P-AC-E的余弦值.
18. (本小题满分12分)
已知数列{an}其前n项和Sn满足:Sn=2-(n+1)an+1(n∈N*), a1=0.
（1）求数列{ an}的通项公式;
（2）当n=1时，c1=1,当n³2且n∈N*时，设cn= ,求{cn}的前n项和Tn.
19. (本小题满分12分)
冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战. 全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄弱、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定. 据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在[15,65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%．现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（2）现在要从年龄较大的第4,5组中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行问卷调查，求第4组恰好抽到2人的概率；
（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注交通道路安全的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
20. (本小题满分12分)
椭圆E：＋＝1(a>b>0)的上顶点为A，点B (1，- )在椭圆E 上，F1,F2分别为E的左右焦点，Ð F1AF2=120°.
（1）求椭圆E的方程；
（2）点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作x2+y2=b2的切线交椭圆于C，D两点,且C,F2,D不共线,问：DCF2D的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=xlnx+kx，k∈R.
（1）求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
（2）若不等式f(x)£x2+x恒成立，求k的取值范围;
（3）求证：当时，不等式成立.
请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时就写清题号。
22．(本小题满分10分) 选修4−4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
（1）求圆C的直角坐标方程及直线l的斜率；
（2）直线l与圆C交于M,N两点，MN中点为Q，求Q点轨迹的直角坐标方程.
23．(本小题满分10分) 选修4−5：不等式选讲
设a,b是正实数, 求证:
（1）若a+2b=1，求a2+b2的最小值;
（2）若a2+4b2=1，求的最大值.
葫芦岛市普通高中2019～2020学年第一学期学业质量监测考试
高三数学（理）
参考答案及评分标准
一、选择题
CBBCD AACBD AD
二、填空题
13. 14. 15. 2；181（本小题第一空2分，第二空3分） 16. - =1
三、解答题
17（本小题满分12分）
解：（1）如图，取PA中点F，连结EF,BF.
因为E为PD中点，AD=4，所以EF∥AD，EF=AD=2.
又因为BC∥AD，BC=2，所以EF∥BC，EF=BC，
所以四边形EFBC为平行四边形. ……………………………………………………2
所以CE∥BF.
又因为CEË平面PAB,BFÌ平面PAB，
所以 CE∥平面PAB ……………………………………………………………………4
（2）取AD中点O，连结OP，OB.
因为DPAD为等边三角形，所以PO^OD.
O
P
A
B
C
D
E
F
又因为平面PAD^平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PO^平面ABCD.
因为OD∥BC，OD=BC=2，
所以四边形BCDO为平行四边形.
因为CD^AD，所以OB^OD. ………………………………………………………………6
如图建立空间直角坐标系O-xyz，
则A(0,-2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1, ),P(0,0,2)
所以=(2,4,0), =(0,3,). =(0,2,2)
设平面ACE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，
则即令x1=-2，则n1=(-2,1,-)，…………………………8
显然，平面ACP的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，
则即 令z2=1，则n2=(2,-,1)，………………………10
所以cos< n1,n2>===.
由题知，二面角P-AC-E为锐角，
所以二面角P-AC-E的余弦值为.……………………………………………………12
18. （本小题满分12分）
解：(1) 当n=1时，a1=S1=2-2a2=0,得a2=1…………………………………………………2
当n³2时，an=Sn-Sn-1=nan -(n+1)an+1,即(n+1)an+1=(n-1)an,
因为a2¹0，所以= ……………………………………………………………4
=´´……´= ´´……´=, an=
综上所述，an= ………………………………………………6
(2) 当n=1时,T1=1 ………………………………………………………………………8
当n³2时,cn=(n-1)·2n
Tn=1+22+2´23+……+(n-1)´2n
2Tn= 2+ 23+……+(n-2)´2n +(n-1)´2n+1
-Tn=3+23……+ 2n-(n-1)´2n+1………………………………………10
= 3+-(n-1)´2n+1=-5-(n-2) 2n+1
Tn=5+(n-2)2n+1
综上所述，Tn=5+(n-2)2n+1 ……………………………………………………12
19. （本小题满分12分）
解 ：(1)由10´(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1，得a=0.035， ………………………………1
平均数为20´0.1+30´0.15+40´0.35+50´0.3+60´0.1=41.5岁；……………………………2
设中位数为x，则10´0.010+10´0.015+(x-35) ´0.035=0.5，∴x»42.1岁． ……………3
(2)第4,5组抽取的人数分别为6人，2人．
设第4组中恰好抽取2人的事件为A，则P(A)==． ……………………………6
(3)从所有参与调查的人中任意选出1人，关注交通道路安全的概率为P=，…………8
X的所有可能取值为0,1,2,3，
∴P(x=0)=C(1-)3=，
P(x=1)=C()1 (1-)2= ,
P(x=2)=C()2 (1-)1= ,
P(x=3)=C()3= ， ……………………………………………………………………10
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∵X～B(3,)， ∴E(X)=3´=．…………………………………………………………12
20. （本小题满分12分）
解：(1)由Ð F1AF2=120°，得=………………………①,
B点 (1，－)代入椭圆方程得 ＋＝………1②,
由①②得a2=4,b2＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1. ……………………………………4
（2）由题意,设CD的方程为y=kx+m(k<0,m>0),
∵CD与圆x2+y2=1相切,∴=1,即m2=1+k2,
由得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0 , D>0
设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2= - , x1x2= ………………………………………6
∴|CD|=|x1-x2|=
=== ………………………8
又|CF2|2=(x1-)2+y2=(x1-)2+1-＝(x1-4)2 ,
∴|CF2|=(4-x1) ……………………………………………………………………………10
同理|DF2|=(4-x2),
∴|CF2|+|DF2|=4 - ( x1+x2)= 4+
∴|CD|+|CF2|+|DF2|=4
即△CF2D的周长为定值. ……………………………………………………………………12
21. （本小题满分12分）
解：(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+¥),
f¢(x)=1+lnx+k, f¢(1)=1+ k,
∵f(1)=k,∴函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-k=(k+1)(x-1),
即y=(k+1)x-1 ………………………………………………………………………………3
(2)设g(x)=lnx-x+k-1, g¢(x)=-1,
xÎ(0,1), g¢(x)>0,g(x)单调递增，
xÎ(1,+¥), g¢(x)<0,g(x)单调递减，
∵不等式f(x)£x2+x恒成立，且x>0，
∴lnx-x+k-1£0,∴g(x)max=g(1)=k-2£0即可，故k£2……………………………………6
(3)由（2）可知：当k=2时，lnx£x-1恒成立，
令x= ,由于i∈N*，>0.
故，ln<-1,整理得：ln(4i2-1)>1-
变形得：：ln(4i2-1)>1-，即：ln(4i2-1)>1-( - )
i=1,2,3……,n时，有ln3>1- (1-)’
ln5>1- (1-)
…………
ln(4n2-1)> 1- ( - )
两边同时相加得： >n-(1-)=>
所以不等式在n∈N*上恒成立.
22. （本小题满分10分）
解：(1)由ρ=2sinθ得x2+y2−2y=0,
即圆C的直角坐标方程为x2+(y−)2=5.……………………………………………………2
由直线l的参数方程可得=1,故直线l的斜率为1. ……………………………………4
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2), 中点Q(x,y) ,将M,N代入圆方程得：
x12+y12−2y1=0………………①,
x22+y22−2y2=0………………②,
①-②得:(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2-2)=0……………………………………………6
化简得2x+(2y−2)=0
因为直线l2的斜率为1，所以上式可化为x+y−=0……………………………………8
代入圆的方程x2+y2−2y=0，解得x=±
所以Q点的轨迹方程为x+y−=0，xÎ[-,]……………………………………10
23. （本小题满分10分）
解：（1）法 一：由得，0
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