2020-2021年新高三数学一轮复习训练:函数的奇偶性与周期性
2020-2021 年新高三数学一轮复习训练:函数的奇偶性与周期性
判断函数的奇偶性
1.(2018·全国Ⅲ)已知函数 f (x)=ln( 1+x2-x)+1,f (a)=4,则 f (-a)=________.
答案 -2
解析 ∵f (x)+f (-x)=ln( 1+x2-x)+1+ln( 1+x2+x)+1=ln(1+x2-x2)+2=2,
∴f (a)+f (-a)=2,∴f (-a)=-2.
2.(1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x
C.y=2x+1
2x D.y=x2+sin x
(2)已知 f(x)= x
2x-1,g(x)=x
2,则下列结论正确的是( )
A.f(x)+g(x)是偶函数 B.f(x)+g(x)是奇函数
C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是偶函数
解析 (1)对于 A,定义域为 R,f(-x)=-x+sin 2(-x)=-(x+sin 2x)=-f(x),为奇函数;对
于 B,定义域为 R,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),为偶函数;对于 C,定义域为
R,f(-x)=2-x+ 1
2-x=2x+1
2x=f(x),为偶函数;对于 D,y=x2+sin x 既不是偶函数也不是奇
函数.
(2)令 h(x)=f(x)+g(x),
因为 f(x)= x
2x-1,g(x)=x
2,
所以 h(x)= x
2x-1+x
2= x·2 x+x
2(2x-1),
定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
因为 h(-x)= -x·2 -x-x
2(2-x-1)=x(1+2x)
2(2x-1)=h(x),
所以 h(x)=f(x)+g(x)是偶函数,
令 F(x)=f(x)g(x)= x2
2(2x-1),
定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
所以 F(-x)= (-x)2
2(2-x-1)= x2·2 x
2(1-2x),
因为 F(-x)≠F(x)且 F(-x)≠-F(x),
所以 F(x)=g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
答案 (1)D (2)A
函数的周期性及其应用
(1)(2019·南充二模)设 f(x)是周期为 4 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1+x),则 f
-9
2 =
( )
A.-3
4 B.-1
4 C.1
4 D.3
4
(2)(2017·山东卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 x∈[-3,0]时,f(x)
=6-x,则 f(919)=________.
解析 (1)∵f(x)是周期为 4 的奇函数,
∴f
-9
2 =-f
9
2 =-f
1
2
又 0≤x≤1 时,f(x)=x(1+x)
故 f
-9
2 =-f
1
2 =-1
2
1+1
2 =-3
4.
(2)∵f(x+4)=f(x-2),
∴f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2],即 f(x+6)=f(x),
∴f(919)=f(153×6+1)=f(1),
又 f(x)在 R 上是偶函数,
∴f(1)=f(-1)=6-(-1)=6,即 f(919)=6.
答案 (1)A (2)6
函数性质的综合运用
(1)(2019·重庆九校模拟)已知奇函数 f(x)的图象关于直线 x=3 对称,当 x∈[0,3]时,f(x)=-
x,则 f(-16)=________.
(2)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增函数.如果实数 t 满足
f(ln t)+f
ln 1
t ≤2f(1),那么 t 的取值范围是________.
解析 (1)根据题意,函数 f(x)的图象关于直线 x=3 对称,则有 f(x)=f(6-x),
又由函数为奇函数,则 f(-x)=-f(x),
则有 f(x)=-f(6-x)=f(x-12),
则 f(x)的最小正周期是 12,
故 f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.
(2)由于函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,
所以 f(ln t)=f
ln 1
t ,
由 f(ln t)+f
ln 1
t ≤2f(1),
得 f(ln t)≤f(1).
又函数 f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增函数,
所以|ln t|≤1,即-1≤ln t≤1,故1
e≤t≤e.
答案 (1)2 (2)
1
e,e
1 已知奇函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,且 f(1)=0,
若 f(x-1)>0,则 x 的取值范围为( )
A.{x|0
2} B.{x|x<0 或 x>2}
C.{x|x<0 或 x>3} D.{x|x<-1 或 x>1}
2.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),且在[0,1]上是减函数,则有( )
A.f
3
2 0,
0,x=0,
x2+mx,x<0
是奇函数.
(1)求实数 m 的值;
(2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.
10.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,对任意实数 x 都有 f
3
2+x =-f
3
2-x 成立.
(1)证明 y=f(x)是周期函数,并指出其周期;
(2)若 f(1)=2,求 f(2)+f(3)的值;
(3)若 g(x)=x2+ax+3,且 y=|f(x)|·g(x)是偶函数,求实数 a 的值.
11.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x.
(1)求 f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积.
12.判断下列函数的奇偶性:
(1)f (x)=x3+x,x∈[-1,4];
(2)f (x)=ln 2-x
2+x;
(3)f (x)= 1
ax-1+1
2(a>0,且 a≠1);
(4)f (x)=
x2+x,x<0,
-x2+x,x>0.
拓展练
1.答案 A
解析 由题意知函数 f(x)在(-∞,0)上单调递增,且 f(-1)=0,
不等式 f(x-1)>0⇔f(x-1)>f(1)或 f(x-1)>f(-1).
∴x-1>1 或 0>x-1>-1,
解之得 x>2 或 0f (1)>f ( 2),
∴f ( 2)0).
设过定点(0,2)的直线 y=k1x+2 与曲线 y=f (x)=-x2+2x(x>0)切于点 A(x1,f (x1)),
则 k1=-2x1+2=-x21+2x1-2
x1-0 ,
解得 x1= 2或 x1=- 2(舍去),
所以 k1=-2 2+2.
由图可知,若曲线 y=f (x)存在“优美点”,则 k≤2-2 2.
10.解 ∵f (x)为奇函数,且在[0,1)上为增函数,
∴f (x)在(-1,0)上也是增函数.
∴f (x)在(-1,1)上为增函数.
f (x)+f x-1
2 <0⇔f (x)<-f x-1
2 =f 1
2-x ⇔
-10,且 f(x)为奇函数,
则 f(-x)=log3(1-x),所以 f(x)=-log3(1-x).
因此 g(x)=-log3(1-x),x<0,
故 g(-8)=-log39=-2.
法二 由题意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2.
3.答案 B
解析 由 f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为 4 的函数,
f(2 019)=f(504×4+3)=f(3),
又 f(x+4)=f(x),∴f(3)=f(-1),
由-1∈(-2,0)得 f(-1)=2,
∴f(2 019)=2.
4.答案 C
解析 法一 易知 g(x)=xf(x)在 R 上为偶函数,
∵奇函数 f(x)在 R 上是增函数,且 f(0)=0.
∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.
又 3>log25.1>2>20.8,且 a=g(-log25.1)=g(log25.1),
∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8),则 c>a>b.
法二 (特殊化)取 f(x)=x,则 g(x)=x2 为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,又 3>log25.1>20.8,
从而可得 c>a>b.
5.答案 A
解析 因为 f(x+1)是偶函数,所以 f(-x+1)=f(x+1),所以 f(x)的图象关于 x=1 对称,由 f(m
+2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,即|m+1|≤|x-2|在 x∈[-1,0]恒成立,所以|m+
1|≤|x-2|min,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1.
6.答案 1
解析 f(x)为偶函数,则 y=ln(x+ a+x2)为奇函数,
所以 ln(x+ a+x2)+ln(-x+ a+x2)=0,
则 ln(a+x2-x2)=0,∴a=1.
7.答案 -2
解析 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0,
又 f(x)在 R 上的周期为 2,
∴f(2)=f(0)=0.
又 f
-5
2 =f
-1
2 =-f
1
2 =-4
1
2=-2,
∴f
-5
2 +f(2)=-2.
8.答案
1
3,1
解析 由 f(x)=ln(1+|x|)- 1
1+x2,知 f(x)为 R 上的偶函数,于是 f(x)>f(2x-1)即为 f(|x|)>f(|2x
-1|).
当 x≥0 时,f(x)=ln(1+x)- 1
1+x2,所以 f(x)为[0,+∞)上的增函数,则由 f(|x|)>f(|2x-1|)得|x|
>|2x-1|,两边平方得 3x2-4x+1<0,解得1
3<x<1.
9.解 (1)设 x<0,则-x>0,
所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x).
于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,
所以 m=2.
(2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
结合 f(x)的图象知
a-2>-1,
a-2≤1, 所以 10,
则 f (-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f (x);
当 x>0 时,-x<0,
则 f (-x)=(-x)2-x=x2-x=-f (x);
综上可知,对于定义域内的任意 x,总有 f (-x)=-f (x),
∴函数 f (x)为奇函数.