2020-2021年新高三数学一轮复习训练:函数的奇偶性与周期性

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2020-2021年新高三数学一轮复习训练:函数的奇偶性与周期性

2020-2021 年新高三数学一轮复习训练:函数的奇偶性与周期性 判断函数的奇偶性 1.(2018·全国Ⅲ)已知函数 f (x)=ln( 1+x2-x)+1,f (a)=4,则 f (-a)=________. 答案 -2 解析 ∵f (x)+f (-x)=ln( 1+x2-x)+1+ln( 1+x2+x)+1=ln(1+x2-x2)+2=2, ∴f (a)+f (-a)=2,∴f (-a)=-2. 2.(1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x C.y=2x+1 2x D.y=x2+sin x (2)已知 f(x)= x 2x-1,g(x)=x 2,则下列结论正确的是( ) A.f(x)+g(x)是偶函数 B.f(x)+g(x)是奇函数 C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是偶函数 解析 (1)对于 A,定义域为 R,f(-x)=-x+sin 2(-x)=-(x+sin 2x)=-f(x),为奇函数;对 于 B,定义域为 R,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),为偶函数;对于 C,定义域为 R,f(-x)=2-x+ 1 2-x=2x+1 2x=f(x),为偶函数;对于 D,y=x2+sin x 既不是偶函数也不是奇 函数. (2)令 h(x)=f(x)+g(x), 因为 f(x)= x 2x-1,g(x)=x 2, 所以 h(x)= x 2x-1+x 2= x·2 x+x 2(2x-1), 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 因为 h(-x)= -x·2 -x-x 2(2-x-1)=x(1+2x) 2(2x-1)=h(x), 所以 h(x)=f(x)+g(x)是偶函数, 令 F(x)=f(x)g(x)= x2 2(2x-1), 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 所以 F(-x)= (-x)2 2(2-x-1)= x2·2 x 2(1-2x), 因为 F(-x)≠F(x)且 F(-x)≠-F(x), 所以 F(x)=g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 答案 (1)D (2)A 函数的周期性及其应用 (1)(2019·南充二模)设 f(x)是周期为 4 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1+x),则 f -9 2 = ( ) A.-3 4 B.-1 4 C.1 4 D.3 4 (2)(2017·山东卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 x∈[-3,0]时,f(x) =6-x,则 f(919)=________. 解析 (1)∵f(x)是周期为 4 的奇函数, ∴f -9 2 =-f 9 2 =-f 1 2 又 0≤x≤1 时,f(x)=x(1+x) 故 f -9 2 =-f 1 2 =-1 2 1+1 2 =-3 4. (2)∵f(x+4)=f(x-2), ∴f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2],即 f(x+6)=f(x), ∴f(919)=f(153×6+1)=f(1), 又 f(x)在 R 上是偶函数, ∴f(1)=f(-1)=6-(-1)=6,即 f(919)=6. 答案 (1)A (2)6 函数性质的综合运用 (1)(2019·重庆九校模拟)已知奇函数 f(x)的图象关于直线 x=3 对称,当 x∈[0,3]时,f(x)=- x,则 f(-16)=________. (2)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增函数.如果实数 t 满足 f(ln t)+f ln 1 t ≤2f(1),那么 t 的取值范围是________. 解析 (1)根据题意,函数 f(x)的图象关于直线 x=3 对称,则有 f(x)=f(6-x), 又由函数为奇函数,则 f(-x)=-f(x), 则有 f(x)=-f(6-x)=f(x-12), 则 f(x)的最小正周期是 12, 故 f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2. (2)由于函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 所以 f(ln t)=f ln 1 t , 由 f(ln t)+f ln 1 t ≤2f(1), 得 f(ln t)≤f(1). 又函数 f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增函数, 所以|ln t|≤1,即-1≤ln t≤1,故1 e≤t≤e. 答案 (1)2 (2) 1 e,e 1 已知奇函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,且 f(1)=0, 若 f(x-1)>0,则 x 的取值范围为( ) A.{x|02} B.{x|x<0 或 x>2} C.{x|x<0 或 x>3} D.{x|x<-1 或 x>1} 2.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),且在[0,1]上是减函数,则有( ) A.f 3 2 0, 0,x=0, x2+mx,x<0 是奇函数. (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 10.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,对任意实数 x 都有 f 3 2+x =-f 3 2-x 成立. (1)证明 y=f(x)是周期函数,并指出其周期; (2)若 f(1)=2,求 f(2)+f(3)的值; (3)若 g(x)=x2+ax+3,且 y=|f(x)|·g(x)是偶函数,求实数 a 的值. 11.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积. 12.判断下列函数的奇偶性: (1)f (x)=x3+x,x∈[-1,4]; (2)f (x)=ln 2-x 2+x; (3)f (x)= 1 ax-1+1 2(a>0,且 a≠1); (4)f (x)=   x2+x,x<0, -x2+x,x>0. 拓展练 1.答案 A 解析 由题意知函数 f(x)在(-∞,0)上单调递增,且 f(-1)=0, 不等式 f(x-1)>0⇔f(x-1)>f(1)或 f(x-1)>f(-1). ∴x-1>1 或 0>x-1>-1, 解之得 x>2 或 0f (1)>f ( 2), ∴f ( 2)0). 设过定点(0,2)的直线 y=k1x+2 与曲线 y=f (x)=-x2+2x(x>0)切于点 A(x1,f (x1)), 则 k1=-2x1+2=-x21+2x1-2 x1-0 , 解得 x1= 2或 x1=- 2(舍去), 所以 k1=-2 2+2. 由图可知,若曲线 y=f (x)存在“优美点”,则 k≤2-2 2. 10.解 ∵f (x)为奇函数,且在[0,1)上为增函数, ∴f (x)在(-1,0)上也是增函数. ∴f (x)在(-1,1)上为增函数. f (x)+f  x-1 2 <0⇔f (x)<-f  x-1 2 =f  1 2-x ⇔    -10,且 f(x)为奇函数, 则 f(-x)=log3(1-x),所以 f(x)=-log3(1-x). 因此 g(x)=-log3(1-x),x<0, 故 g(-8)=-log39=-2. 法二 由题意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2. 3.答案 B 解析 由 f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为 4 的函数, f(2 019)=f(504×4+3)=f(3), 又 f(x+4)=f(x),∴f(3)=f(-1), 由-1∈(-2,0)得 f(-1)=2, ∴f(2 019)=2. 4.答案 C 解析 法一 易知 g(x)=xf(x)在 R 上为偶函数, ∵奇函数 f(x)在 R 上是增函数,且 f(0)=0. ∴g(x)在(0,+∞)上是增函数. 又 3>log25.1>2>20.8,且 a=g(-log25.1)=g(log25.1), ∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8),则 c>a>b. 法二 (特殊化)取 f(x)=x,则 g(x)=x2 为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,又 3>log25.1>20.8, 从而可得 c>a>b. 5.答案 A 解析 因为 f(x+1)是偶函数,所以 f(-x+1)=f(x+1),所以 f(x)的图象关于 x=1 对称,由 f(m +2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,即|m+1|≤|x-2|在 x∈[-1,0]恒成立,所以|m+ 1|≤|x-2|min,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1. 6.答案 1 解析 f(x)为偶函数,则 y=ln(x+ a+x2)为奇函数, 所以 ln(x+ a+x2)+ln(-x+ a+x2)=0, 则 ln(a+x2-x2)=0,∴a=1. 7.答案 -2 解析 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0, 又 f(x)在 R 上的周期为 2, ∴f(2)=f(0)=0. 又 f -5 2 =f -1 2 =-f 1 2 =-4 1 2=-2, ∴f -5 2 +f(2)=-2. 8.答案  1 3,1 解析 由 f(x)=ln(1+|x|)- 1 1+x2,知 f(x)为 R 上的偶函数,于是 f(x)>f(2x-1)即为 f(|x|)>f(|2x -1|). 当 x≥0 时,f(x)=ln(1+x)- 1 1+x2,所以 f(x)为[0,+∞)上的增函数,则由 f(|x|)>f(|2x-1|)得|x| >|2x-1|,两边平方得 3x2-4x+1<0,解得1 3<x<1. 9.解 (1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x). 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增, 结合 f(x)的图象知  a-2>-1, a-2≤1, 所以 10, 则 f (-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f (x); 当 x>0 时,-x<0, 则 f (-x)=(-x)2-x=x2-x=-f (x); 综上可知,对于定义域内的任意 x,总有 f (-x)=-f (x), ∴函数 f (x)为奇函数.
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