数学理卷·2019届江西省樟树中学高二上学期第四次月考（2017-12）

数学理卷·2019届江西省樟树中学高二上学期第四次月考（2017-12）

江西省樟树中学2019届高二年级第四次月考 数 学 试 卷（理）‎ ‎ 考试范围：考到选修2－1，以选修2－1为主 考试时间：12月29日 ‎ ‎ ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设命题 （　　）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.“”是“方程表示圆”的（　　）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎3.某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现用分层抽样方法抽取一个容量为30的样本，则各职称中抽取的人数分别为 (　 　)‎ A．5，10，15 B．3，9，18 C．5，9，16 D．3，10，17‎ ‎4．双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎5. 如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知＞0，＞0，若不等式恒成立，则的最大值等于（　　）‎ A．10 B．9 C．8 D．7‎ ‎7.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：‎ 广告费用x（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（　　）‎ A．63.6万元 B．67.7万元 C．65.5万元 D．72.0万元 ‎8.如图程序框图的功能（　　）‎ A．求满足1+2+…+n＞2004的最小整数 B．求满足1+2+…+n﹣1＞2004的最小整数 C．求满足1+2+…+n＜2004的最大整数 D．求满足1+2+…+n﹣1＜2004的最大整数 ‎9.“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成．程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（[注释]三升九：3.9升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量．）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（　　）‎ A．1.9升 B．2.1升 C．2.2升 D．2.3升 ‎10.若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）‎ A． 4 B． 5 C. 6 D．7‎ ‎11.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知双曲线E:的右顶点为A，抛物线的焦点为F，若在双曲线E的渐近线上存在点P使得 ‎，则双曲线E的离心率的取值范围为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13. 若变量满足约束条件，则的最大值为________. ‎ ‎14．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________. ‎ ‎15．已知球面上四点A,B,C,D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则该球体积等于______. ‎ ‎16．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.（本小题满分10分） 求倾斜角是直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：‎ ‎(1)经过点；‎ ‎(2)在轴上的截距是. ‎ ‎18．（本小题满分12分）为调查学生每周平均体育运动时间的情况，某校收集到高三（1）班20位学生的样本数据（单位：小时），将他们的每周平均体育运动时间分为6组：‎ ‎[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）根据频率分布直方图，求出该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值；‎ ‎（2）若在该班每周平均体育运动时间低于4小时的学生中任意抽取2人，求抽取到运动时间低于2小时的学生的概率．‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）在中，内角A,B,C的对边分别为，已知.‎ （1） 求；‎ （2） 若，求的面积.‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，‎ ‎∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．‎ ‎（1）求证：AC⊥平面BDEF； ‎ ‎（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．‎ ‎21.本小题满分12分）等差数列前项和为，已知，.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）令（），数列的前项和，证明.‎ ‎22.（本小题满分12分）已知是椭圆 的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）圆是以为直径的圆，一直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，当，且满足时，求的面积的取值范围.‎ 樟树中学2019届高二年级第四次月考数学（理科）答案 一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B C A B C B B C C B ‎12. 2 13.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 14. 15.4‎ ‎17. ∵直线的方程为y＝－x＋1，∴k＝－，倾斜角α＝120°，倾斜角为30°，即斜率为.(1)∵直线经过点(，－1)，所求直线方程为y＋1＝(x－)，即x－3y－6＝0.(2)∵直线在y轴上的截距为－5，∴由斜截式知所求直线方程为y＝x－5，即x－3y－15＝0. ‎ ‎18. （1）解：根据频率分布直方图，各组的频率分别为：0.05，0.2，0.3，0.25，0.15，0.05，各组的中点分别为：1，3，5，7，9，11，该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值为0.05×1+0.2×3+0.3×5+0.25×7+0.15×9+0.05×11=4.45…（6分）‎ ‎（2）依题意可知，平均运动时间低于4小时的学生中，在[0，2）的人数有0.05×20=1，记为1，在[2，4）的人数有0.2×20=4，记为2，3，4，5，从这5人中随机抽取2人的可能情况有10种，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）；）其中，运动时间低于2小时的学生的可能情况有4种，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；故所求概率 12分 ‎20 Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，‎ 连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点． ‎ 又 FA=FC，所以 AC⊥FO． 因为 FO∩BD=O，所以 AC⊥平面BDEF． ……6分 ‎（Ⅱ）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．‎ 因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．‎ 由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz． ‎ 设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以OB=1，．所以 ‎ ‎．‎ 所以 ，．设平面BFC的法向量为=（x，y，z），‎ 则有，取x=1，得．‎ ‎∵平面AFC的法向量为=（0，1，0）． ‎ 由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得|cos＜，＞|==．‎ 所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为． ‎ ‎19（Ⅰ）由正弦定理得所以=,‎ 即,即有,即,所以=2.‎ （1） ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知: =2,即c=2a,又因为,所以由余弦定理得：‎ （2） ‎，即,解得,所以c=2,又因为cosB=，所以sinB=，故的面积为=.‎ ‎21. 解（1）解：（1）设数列的公差为，则由题知 ‎ ‎ ‎ ‎（2）则 那么 ‎ ‎ …12分 ‎ ‎ 22、（1）因为，所以 是线段的中点，所以是的中位线，又所以,所以，又因为 ‎，‎ 解得，所以椭圆的标准方程为. ‎ ‎（2）因为直线与相切，所以，即 联立得.‎ 设因为直线与椭圆交于不同的两点、， ‎ 所以，‎ ‎，又因为，所以 解得. ‎ 设，则单调递增，‎ 所以，即 ‎ ‎