2018高考数学（理）复习-2013-2017高考分类汇编-第7章 不等式

2018高考数学（理）复习-2013-2017高考分类汇编-第7章 不等式

第七章 不等式 第一节 不等式的性质与不等式的解法 题型75 不等式的性质 ‎1.（2014 四川理 4）若，，则一定有（ ）.‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.（2015浙江理3）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成 等比数列，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.解析 因为成等比数列，所以，‎ 即，所以．‎ 因为，所以，所以．‎ 又 ，‎ 所以．故选B．‎ ‎3.（2015全国2理24）设均为正数，且. 证明：‎ ‎(1) 若，则；‎ ‎(2) 是 的充要条件.‎ ‎3.解析 （1）因为，，‎ 由题设，，得，‎ 因此.‎ ‎（2）( i)若，则，即.‎ 因为，所以，由（Ⅰ）得.‎ ‎( ii)若，则，‎ 即.因为，所以，‎ 于是，因此.‎ 综上，是的充要条件.‎ 题型76 比较数（式）的大小 ‎1. (2013全国新课标卷理8）设则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.（2014 辽宁理 3）已知，，，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎3.（2014 山东理 5）已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.（2015安徽理3）设，，则是成立的（ ）.‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.解析 由得，所以，但，所以是的充分不必要条件．故选A．‎ ‎5.（2015湖北理8）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加 个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）．‎ A．对任意的， B．当时，；当时，‎ C．对任意的， D．当时，；当时，‎ ‎5.解析 ，‎ 当时，，；当时，，.故选D.‎ ‎6.（2015陕西理9）设，若，，‎ ‎，则下列关系式中正确的是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎6.解析 解法一：依题意，‎ ‎，‎ ‎，所以.故选C.‎ 解法二：令，，，，‎ 所以.故选C.‎ ‎7.（2015天津理7）已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，‎ 记，，，则，， 的大小关系为（ ）.‎ A. B． C． D. ‎ ‎7.解析 因为函数为偶函数，所以，即，‎ 所以 ‎.‎ 所以.故选C.‎ ‎8.（2016全国丙理6）已知，，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎8.A 解析 由，，得，由，则因此.故选A.‎ ‎9.（2016全国乙理8）若，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎9. C 解析 对于选项A，由于，所以函数在上单调递增.由，得.故A错误；‎ 对于选项B，要比较与的大小，只需比较与的大小.构造函数 ‎，因为，所以，因此函数在上单调递增.又，所以，即.故B错误；‎ 对于选项C，要比较与的大小关系，只需比较与的大小，即比较与的大小.构造辅助函数，.令，得.函数在上单调递增，因此，若，得，故.‎ 又，所以，即，得.故选项C正确；‎ 对于选项D，比较与的大小，只需比较与的大小，即比较与的大小.又，得，所以.又，得，即.故选项D不正确.‎ 综上可得，故选C.‎ ‎10.（2016浙江理8）已知实数（ ）.‎ A.若，则 ‎ B.若，则 C.若，则 ‎ D.若，则 ‎10.D 解析 举反例排除法:对于选项A，可以令，例如令，则，但是，所以选项A不正确；对于选项B，可以令，例如令，则，‎ 但是，所以选项B不正确；对于选项C，可以令 ‎，‎ 例如令，则，但是，所以选项C不正确，故选D.‎ ‎11.(2017北京理13)能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________________．‎ ‎11.解析 由题知，取一组特殊值且为整数，如，，.‎ ‎12.（2017山东理7）若，且，则下列不等式成立的是（ ）.‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎12.解析 由题意知，，所以，，‎ ‎ .故选B.‎ 评注 本题也可采用特殊值法，如，易得结论.‎ 题型77 一元一次不等式与一元二次不等式的解法 ‎13．(2013天津理8）已知函数． 设关于的不等式的解集为， 若， 则实数的取值范围是（ ）.‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎14 (2013安徽6）已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎15.（2013广东9）不等式的解集为 ．‎ ‎16.（2014 广东理 9）不等式的解集为 .‎ ‎17.（2016上海理1）设，则不等式的解集为_____________.‎ ‎17. 解析 由题意，即，则解集为.故填.‎ 题型78 分式不等式的解法——暂无 第二节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 题型79 二元一次不等式组表示的平面区域 ‎1.（2014 湖北理 7）由不等式确定的平面区域记为，不等式组确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎2.（2016浙江理3）在平面上，过点作直线的垂线所得的垂足称为点在直线上的投影.由区域中的点在直线上的投影构成的线段记为，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎2.C 解析 如图所示，的边界及内部为约束条件的可行域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，也就是线段.因为四边形为矩形，所以，由，得.由，得..故选C.‎ 题型80 求解目标函数的取值范围或最值 ‎1．(2013天津理2） 设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎2. (2013全国新课标卷理9）已知，满足约束条件，若的最小值为，则（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. （2013山东理6）在平面直角坐标系中，为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎4. （2013山东理12） 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. (2013湖南理4）若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）.‎ A． B． C． D． ‎ x y ‎4‎ ‎4‎ ‎1‎ O ‎6．（2013广东13）给定区域:，令点集 是在 上取 得最大值或最小值的点，则中的点共确定 ‎ 条不同的直线．‎ ‎7. (2013陕西理13）若点位于曲线与所围成的封闭区域，则的最小值为 .‎ ‎8. (2013陕西理‎15A）A.（不等式选做题）已知均为正数，且，则的最小值为 .‎ ‎9.（2014 广东理 3）若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和，则（ ）.‎ A． 　　B. 　　　　C. 　　　　　 D. ‎ ‎10.（2014 山东理 9）已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎11.（2014 天津理 2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（　 ）.‎ A.　　 B.　 C.　　 D.‎ ‎12.（2014 新课标1理9）不等式组的解集记为.有下面四个命题：‎ ‎：，；：，；‎ ‎：，； ：，.‎ 其中真命题是（ ）.‎ A. ， B. ， C. ， D. ， ‎ ‎13.（2014 新课标2理9）设满足约束条件，则的最大值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎14.（2014 大纲理 14）设x，y满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎15.（2014 福建理 11）若变量满足约束条件，则的最小值为 .‎ ‎16.（2014 辽宁理 16） 对于，当非零实数，满足且使最大时，的最小值为 .‎ ‎17.（2014 四川理 14）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是 .‎ ‎18.（2015浙江理14）若实数满足，则的最小值 是 ．‎ ‎18.解析 依题意可得：‎ ‎.‎ 由得，‎ 原式（）. ‎ 所以.当时取等号. ‎ 所以.‎ ‎19.（2015四川理9） 如果函数在区间 上单调递减，那么的最大值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎19.解析 当时，抛物线的对称轴为；‎ 当时，，即.‎ 因为，所以.‎ 由且，得；‎ 当时，抛物线开口向下，根据题意可得，，即.‎ 因为，所以.‎ 由且，得，故应舍去.‎ 要使得取得最大值，应有.‎ 所以.所以最大值为.故选B.‎ ‎20.（2015天津理2）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）.‎ A. 3 B‎.4 C.18 D. 40‎ ‎20.解析 不等式所表示的平面区域如图所示，当所表示直线经过 点时，有最大值.故选C.‎ ‎21.（2015湖南理4）若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎21. 解析 画出满足线性约束条件的可行域如图所示，‎ 由图可知，当直线过点时，纵截距最大，即此时有最小值. 联立，解得，即. 所以. 故选A. ‎ ‎22.（2015北京理2）若，满足，则的最大值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎22.解析 不等式组表示的可行域如图所示.因此，可知目标函数在处取得最大值2.‎ 故选D.‎ ‎23.（2015福建理5）若变量 满足约束条件， 则 的最小值 等于（ ）.‎ A． B． C． D．2‎ ‎23.解析 画出可行域，如图所示．目标函数变形为，当最小时，‎ 直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点 时，取到最小值，最小值为．故选A．‎ ‎24.（2015广东理6）若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎24.解析 不等式所表示的可行域如下图所示，由得，‎ 依题当目标函数直线经过点时，取得最小值，‎ 即．故选B．‎ ‎25.（2015全国1理15）若，满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎25.解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.‎ ‎26.（2015全国2理14）若x，y满足约束条件，则的最大值为 ‎______．‎ ‎26.解析 根据题意，画出可行域，如图所示，‎ 将目标函数变形为，当取到最大值时，直线 的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到点处，则有最大值．‎ ‎27.（2016全国丙理13）若，满足约束条件 则的最大值为_____________.‎ ‎27. 解析 可行域如图所示.当直线经过时，取最大值为.‎ ‎28.(2016北京理2)若满足，则的最大值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎28. C 解析 如图所示，先作出可行域，为的内部及其边界，其中，，. 把初始直线向上平移时，的值越来越大，所以当且仅当直线经过点时，，即的最大值为.故选C.‎ ‎29.(2016天津理2)设变量，满足约束条件.则目标函数的最小值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎29.B 解析 满足不等式组的可行域，如图所示.可行域为一个及其内部，‎ 其中，，，直线过点时取最小值.故选B.‎ ‎30.(2016山东理4)变量满足，则的最大值是（ ）.‎ A.4 B‎.9 C.10 D.12‎ ‎30.C 解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由是点到原点距离的平方，故只需求出三条直线的交点到原点距离的平方，然后再进行比较.经计算，是最优解，的最大值是.故选C.‎ ‎31．（2016江苏12）已知实数满足，则的取值范围是 ．‎ ‎31. 解析 在平面直角坐标系中作出可行域如图所示.的含义为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中点距离原点最近，‎ 此时为原点到直线的距离，‎ 则；图中点距离原点最远，‎ 点为与交点，即.‎ 则．‎ ‎32.（2017天津理2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）.‎ A. B‎.1 C. D.3‎ ‎32.解析 变量满足约束条件的可行域如图所示，目标函数经过可行域的点时，目标函数取得最大值，由，可得，目标函数的最大值为3.故选D.‎ ‎33.(2017北京理4)若，满足，则的最大值为（ ）.‎ A.1 B. ‎3 C.5 D.9‎ ‎33.解析 作出不等式组的可行区域，如图所示，令，则.当过点时取最大值，由，故.故选D.‎ ‎34.（2017全国1理14）设x，y满足约束条件，则的最小值为 .‎ ‎34.解析 不等式组表示的平面区域如图所示，由，得，求的最小值，即求直线的纵截距的最大值，当直线过图中点时，纵截距最大，‎ 由，解得点的坐标为，此时.‎ ‎35.（2017全国2理5）设，满足约束条件，则的最小值是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎35.解析 目标区域如图所示，当直线过点时，所求取到最小值为．故选A.‎ ‎36.（2017全国3理12）若，满足约束条件，则的最小值为__________．‎ ‎36.解析 由题意，作出可行域如图所示.目标函数为，则直线的纵截距越大，值越小．由图可知在处取得最小值，故．‎ ‎37.（2017山东理4）已知，满足，则的最大值是（ ）.‎ A. 0 B. ‎2 C.5 D.6‎ ‎37.解析 由，作出可行域及直线，如图所示，平移发现，当其经过直线与的交点时，取最大值为.故选C.‎ ‎38.(2017浙江理4)若，满足约束条件，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎38.解析 如图所示，在点取到的最小值为 ‎，没有最大值，故．故选D．‎ 题型81 求解目标函数中参数的取值范围 ‎1.（2013浙江13）设，其中实数满足，若的最大值为，则实数________.‎ ‎2.(2013重庆理16）（若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 .‎ ‎3.（2014 安徽理 5），满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）.‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎4.（2014 北京理 6）若满足且的最小值为，则的值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎5.（2014 湖南理 14）变量满足约束条件，且的最小值为，则________.‎ ‎6.（2014 浙江理 13）当实数满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.‎ ‎7.(2015山东理6) 已知，满足约束条件，若的最大值为，‎ 则( ).‎ A． B． C． 　　 D．‎ ‎7.解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．‎ 依题意，的最大值必在或处取得．①当在处取得时，‎ ‎，则，经检验，不合题意；②当在处取得时，，‎ 则，经检验，符合题意．故选B．‎ 题型82 简单线性规划问题的实际运用 ‎8.（2014 湖南理 8）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎9.（2016全国乙理16）某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时；生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时.生产一件产品的利润为元，生产一件产品的利润为元，该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过个工时的条件下，生产产品，产品的利润之和的最大值为 元.‎ ‎9. 解析 设生产产品A，B的件数分别为，获得利润为元，‎ 则满足约束条件为：，目标函数为，画出满足不等式组的可行域，如图所示.‎ 联立，得，即.移动目标函数，‎ 可得到当其经过点时，有最大值.故填.‎ 第三节 基本不等式及其应用 题型83 利用基本不等式求函数的最值 ‎1.(2013天津理14）设，，则当 时， 取得最小值.‎ ‎2.（2016上海理10）设，若关于的方程组无解，则的取值范围是 ．‎ ‎2. 解析 解法一：即线性方程组表示两条平行的直线，故由条件，且，‎ 所以．故填．‎ 解法二：将方程组中的①式化简得，代入②式整理得，‎ 方程组无解应该满足且，所以且，所以由基本不等式得．‎ 故填．‎ 评注 或．‎ ‎3.（2017江苏10）某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ．‎ ‎3.解析 一年的总运费与总存储费用之和为 ‎，当且仅当，即时取等号．故填．‎ ‎4.(2017浙江理17)已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是 .‎ ‎4.解析 设，则，.‎ 解法一：可知的最大值为，即或， 解得或 ，所以．则的取值范围是.‎ 解法二：如图所示，当时，成立；‎ 当时，成立；‎ 当时，成立，即.‎ 则的取值范围是.‎ 题型84 利用基本不等式证明不等式 ‎1.（2015湖南理16-3）设，，且.‎ ‎（1）；（2）与不可能同时成立.‎ ‎1.解析 证明： 由，得 ‎ ‎（1）由基本不等式及，有，即.‎ ‎（2）假设与同时成立，则由及得；‎ 同理，，从而，这与相矛盾. ‎ 故与不可能同时成立.‎