高二数学人教a必修5练习：第二章习题课（1）word版含解析

高二数学人教a必修5练习：第二章习题课（1）word版含解析

习题课(1) 课时目标 1．熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前 n 项和公式，并能综合运用这些知识解决 一些问题． 2．熟练掌握等差数列的性质、等差数列前 n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决 相关问题． 要点回顾 1．若 Sn 是数列{an}的前 n 项和，则 Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝ S1， n＝1， Sn－Sn－1， n≥2. 2．若数列{an}为等差数列，则有： (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前 n 项和：Sn＝na1＋nn－1d 2 ＝na1＋an 2 . 3．等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq. (2)若 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和，则 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k 成等差数列． 一、选择题 1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则 2a9－a10 的值为( ) A．24 B．22 C．20 D．－8 答案 A 2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3＋a7＋a11＝6，则 S13 等于( ) A．24 B．25 C．26 D．27 答案 C 解析 ∵a3＋a7＋a11＝6，∴a7＝2， ∴S13＝13a1＋a13 2 ＝13a7＝26. 3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且 a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则 a37＋b37 等于 ( ) A．0 B．37 C．100 D．－37 答案 C 解析 设数列{an}，{bn}的公差分别为 d，d′， 则 a2＋b2＝(a1＋d)＋(b1＋d′) ＝(a1＋b1)＋(d＋d′) ＝100. 又∵a1＋b1＝100，∴d＋d′＝0. ∴a37＋b37＝(a1＋36d)＋(b1＋36d′) ＝(a1＋b1)＋36(d＋d′)＝100. 4．设{an}是公差为正数的等差数列，若 a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则 a11＋a12＋a13 等于( ) A．120 B．105 C．90 D．75 答案 B 解析 ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5. ∵a1＝5－d，a3＝5＋d，d>0， ∴a1a2a3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80， ∴d＝3，a1＝2. ∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d) ＝3a1＋33d＝3×2＋33×3＝105. 5．若{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，若 a1>0，d<0，S4＝S8，则 Sn>0 成立的最大自 然数 n 为( ) A．11 B．12 C．13 D．14 答案 A 解析 S4＝S8⇒a5＋a6＋a7＋a8＝0⇒a6＋a7＝0，又 a1>0，d<0，S12＝a1＋a12·12 2 ＝0，n<12 时， Sn>0. 6．在等差数列{an}中，a1＝－2 008，其前 n 项和为 Sn，若S2 008 2 008 －S2 006 2 006 ＝2，则 S2 012 等 于( ) A．－2 012 B．2 012 C．6 033 D．6 036 答案 D 解析 Sn n ＝a1＋n－1d 2 ， ∴S2 008 2 008 －S2 006 2 006 ＝a1＋2 008－1 2 d－a1－2 006－1 2 d ＝d＝2. ∴S2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 011 2 ×2 ＝2 012×3＝6 036. 二、填空题 7．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋n＋1，则 a6＋a7＋…＋a10 的值为________． 答案 80 解析 a6＋a7＋…＋a10＝S10－S5＝111－31＝80. 8．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sp＝Sq(p，q∈N*且 p≠q)，则 Sp＋q＝________. 答案 0 解析 设 Sn＝an2＋bn，由 Sp＝Sq. 知 ap2＋bp＝aq2＋bq，∴p＋q＝－b a. ∴Sp＋q＝a(p＋q)2＋b(p＋q) ＝a(－b a)2＋b(－b a) ＝b2 a －b2 a ＝0. 9．等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是______． 答案 5 或 6 解析 d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0 且 a3＋a9＝0， ∴a6＝0，∴a1>a2>…>a5>0，a6＝0,0>a7>a8>…. ∴当 n＝5 或 6 时，Sn 取到最大值． 10．已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项公式 an＝ ________. 答案 n2－2n＋21 解析 ∵an＋1－an＝2n－1， ∴a2－a1＝1，a3－a2＝3，…， an－an－1＝2n－3，n≥2. ∴an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)． ∴an＝20＋n－12n－2 2 ＝n2－2n＋21. 三、解答题 11．甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动，甲第 1 分钟走 2 m，以后每 分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙继续每 分钟走 5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解 (1)设 n 分钟后第 1 次相遇，依题意， 有 2n＋nn－1 2 ＋5n＝70， 整理得 n2＋13n－140＝0. 解之得 n＝7，n＝－20(舍去)． 第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟． (2)设 n 分钟后第 2 次相遇，依题意，有 2n＋nn－1 2 ＋5n＝3×70， 整理得 n2＋13n－420＝0. 解之得 n＝15，n＝－28(舍去)． 第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟． 12．已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求数列{an}的通项公式 an； (2)若数列{bn}是等差数列，且 bn＝ Sn n＋c ，求非零常数 c. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d，且 d>0. ∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又 a3·a4＝117， 又公差 d>0，∴a30，且|a10|0 且|a10|0， ∴S20＝20a1＋a20 2 ＝10(a10＋a11)>0. 又∵d＝a11－a10>0. ∴Sn>0 (n≥20)． 14．把自然数 1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …………………………… 根据以上排列规律，数阵中第 n (n≥3)行从左至右的第 3 个数是______________. 答案 n2 2 －n 2 ＋3 解析 该数阵的第 1 行有 1 个数，第 2 行有 2 个数，…，第 n 行有 n 个数，则第 n－1 (n≥3) 行的最后一个数为n－11＋n－1 2 ＝n2 2 －n 2 ，则第 n 行从左至右的第 3 个数为n2 2 －n 2 ＋3. 1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和 性质，推导通项公式、前 n 项和公式的出发点． 2．通项公式与前 n 项和公式联系着五个基本量：a1、d、n、an、Sn.掌握好本部分知识 的内在联系、结构，以便灵活运用． 3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的 意义．