2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 学习目标 1.了解空间两直线间的位置关系.2.理解空间直线与平面的位置关系.3.掌握空间 平面与平面的位置关系. 知识点一 空间两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托. (3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交. 2.空间两条直线的三种位置关系 共面直线 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：在同一平面内，没有公共点 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 知识点二 直线与平面的位置关系 位置关系 直线 a 在平面α内 直线 a 在平面α外 直线 a 与平面α相交 直线 a 与平面α平行 公共点 有无数个公共点 只有 1 个公共点 没有公共点 符合表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 知识点三 平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 思考 平面平行有传递性吗？ 答案 有 若α，β，γ为三个不重合的平面，且α∥β，β∥γ，则α∥γ. 1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.( × ) 2.两条直线无公共点，则这两条直线平行.( × ) 3.若直线 l 上有无数个点不在平面α内，则 l∥α.( × ) 4.若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.( × ) 一、两直线位置关系的判定 例 1 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________； (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________. 答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 解析 (1)在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形 A1BCD1 为平行四 边形， ∴A1B∥D1C. (2)直线 A1B 与直线 B1C 不同在任何一个平面内. (3)直线 D1D 与直线 D1C 相交于点 D1. (4)直线 AB 与直线 B1C 不同在任何一个平面内. 反思感悟 判断空间两条直线位置关系的决窍 (1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线. (2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系. 跟踪训练 1 若 a 和 b 是异面直线，b 和 c 是异面直线，则 a 和 c 的位置关系是( ) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行、相交或异面 答案 D 解析 可借助长方体来判断. 如图，在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为 a，AB 所在直线为 b，已知 a 和 b 是异面直线，b 和 c 是异面直线，则 c 可以是长方体 ABCD－A′B′C′D′中的 B′C′， CC′，DD′.故 a 和 c 可以平行、相交或异面. 二、直线与平面的位置关系 例 2 (1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是( ) A.直线上所有的点都在平面外 B.直线上有无数多个点都在平面外 C.直线上有无数多个点都在平面内 D.直线上至少有一个点在平面内 (2)下列命题中正确的个数是( ) ①如果 a，b 是两条直线，a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面； ②如果直线 a 和平面α满足 a∥α，那么 a 与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线 a，b 和平面α满足 a∥b，a∥α，b⊄α，那么 b∥α. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 (1)B (2)B 解析 (1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外. (2)如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过 BB′的平面 ABB′A′ 内，故命题①不正确；AA′∥平面 BCC′B′，BC⊂平面 BCC′B′，但 AA′不平行于 BC， 故命题②不正确；假设 b 与α相交，因为 a∥b，所以 a 与α相交，这与 a∥α矛盾，故 b∥α， 即命题③正确.故选 B. 反思感悟 在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外， 我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于 作出正确判断，避免凭空臆断. 跟踪训练 2 下列说法： ①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α； ②若直线 a 在平面α外，则 a∥α； ③若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 平行于平面α内的无数条直线. 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 对于①，∵直线 l 虽与平面α内无数条直线平行，但 l 有可能在平面α内，∴l 不一定平 行于α，①错误；对于②，∵直线 a 在平面α外包括两种情况：a∥α和 a 与α相交，∴a 和α不 一定平行，②错误；对于③，∵a∥b，b⊂α，那么 a⊂α或 a∥α，a 与平面α内的无数条直线 平行，③正确. 三、平面与平面的位置关系 例 3 在以下三个命题中，正确的命题是( ) ①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β 平行，则α与β平行； ③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交. A.①② B.②③ C.③ D.①③ 答案 C 解析 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，对于①，平面 AA1D1D 中，AD∥平面 A1B1C1D1，分别取 AA1，DD1 的中点 E，F，连接 EF，则 EF∥平面 A1B1C1D1，但平面 AA1D1D 与平面 A1B1C1D1 是相交的，交线为 A1D1，故命题①错；对于②，平面 AA1D1D 中，与平面 A1B1C1D1 平行的直线有无数条，但平面 AA1D1D 与平面 A1B1C1D1 不平行，而是相交于直线 A1D1，故命题②错.命题③是正确的. 反思感悟 利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关 命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置 关系的有效方法. 跟踪训练 3 已知两平面α，β平行，且 a⊂α，下列四个命题： ①a 与β内的所有直线平行；②a 与β内无数条直线平行； ③直线 a 与β内任何一条直线都不垂直；④a 与β无公共点. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 ①中 a 不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面，故①错误； ②正确；③中直线 a 与β内的无数条直线垂直，故③错误；④根据定义 a 与β无公共点，故④ 正确. 1.如果直线 a∥平面α，那么直线 a 与平面α内的(请选择最贴切的)( ) A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交 答案 D 解析 直线 a∥平面α，则 a 与α无公共点，a 与α内的直线均不相交. 2.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( ) A.都平行 B.都相交 C.在两个平面内 D.至少与其中一个平面平行 答案 D 解析 这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二 是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行. 3.下列命题中，正确的有( ) ①平行于同一直线的两条直线平行； ②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两个平面平行. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案 C 4.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作( ) A.0 个 B.1 个 C.0 个或 1 个 D.1 个或 2 个 答案 C 解析 平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况： ①直线与平面相交，可以作 0 个平行平面； ②直线与平面平行，可以作 1 个平行平面. 5.下列命题： ①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合； ②若 l，m 是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β. 其中错误命题的序号为________. 答案 ①② 解析 对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②， 借助于正方体 ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面 DCC1D1，B1C1∥平面 AA1D1D，又 AB 与 B1C1 异 面，而平面 DCC1D1 与平面 AA1D1D 相交，故②错误. 1.知识清单： (1)两直线的位置关系. (2)直线与平面的位置关系. (3)平面与平面的位置关系. 2.方法归纳：举反例、特例. 3.常见误区：异面直线的判断. 1.若空间两条直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是( ) A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 答案 D 解析 若直线 a 和 b 共面，则由题意可知 a∥b；若 a 和 b 不共面，则由题意可知 a 与 b 是异 面直线. 2.与同一平面平行的两条直线( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交或异面 答案 D 解析 与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面. 3.棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.无法确定 答案 A 4.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( ) A.2 对 B.3 对 C.6 对 D.12 对 答案 C 解析 如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线 AC1 异面的 棱所在的直线，只要去掉与 AC1 相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与 AC1 异面的 棱有 BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异 面直线有 6 对，故选 C. 5.(多选)以下四个命题中正确的有( ) A.三个平面最多可以把空间分成八部分 B.若直线 a⊂平面α，直线 b⊂平面β，则“a 与 b 相交”与“α与β相交”等价 C.若α∩β＝l，直线 a⊂平面α，直线 b⊂平面β，且 a∩b＝P，则 P∈l D.若 n 条直线中任意两条共面，则它们共面 答案 AC 解析 对于 A，正确；对于 B，逆推“α与β相交”推不出“a 与 b 相交”，也可能 a∥b，故 B 错误；对于 C，正确；对于 D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这 4 条侧棱却不 共面，故 D 错误.所以正确的是 AC. 6.若点 A∈α，B∉α，C∉α，则平面 ABC 与平面α的位置关系是________. 答案 相交 解析 ∵点 A∈α，B∉α，C∉α， ∴平面 ABC 与平面α有公共点，且不重合， ∴平面 ABC 与平面α的位置关系是相交. 7.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号). ①不可能只有两条交线； ②必相交于一点； ③必相交于一条直线； ④必相交于三条平行线. 答案 ① 解析 空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能 交于一点. 8.在下列图中，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号) 答案 ②④ 解析 题图①中，GH∥MN； 题图②中，G，H，N 三点共面，但 M∉平面 GHN，所以 GH 与 MN 异面； 题图③中，连接 GM，则 GM∥HN，所以 GH 与 MN 共面； 题图④中，G，M，N 共面，但 H∉平面 GMN，所以 GH 与 MN 异面. 9.如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，直线 B1D1 与长方体的六个面之间的位置关系如 何？ 解 B1D1 在平面 A1C1 内，B1D1 与平面 BC1，平面 AB1，平面 AD1，平面 CD1 都相交，B1D1 与平面 AC 平行. 10.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断 a 与 b，a 与β的位置关系并证明你 的结论. 解 a∥b，a∥β.证明如下： 由α∩γ＝a 知 a ⊂ α且 a ⊂ γ， 由β∩γ＝b 知 b ⊂ β且 b ⊂ γ， ∵α∥β，a ⊂ α，b ⊂ β， ∴a，b 无公共点. 又∵a ⊂ γ且 b ⊂ γ，∴a∥b. ∵α∥β，∴α与β无公共点. 又 a ⊂ α，∴a 与β无公共点，∴a∥β. 11.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是( ) A.相交 B.平行 C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内 答案 A 解析 延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平 面相交. 12.若平面α与β的公共点多于两个，则( ) A.α，β可能只有三个公共点 B.α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上 C.α，β一定有无数个公共点 D.以上均不正确 答案 C 解析 若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，故 C 项正确. 13.在四棱锥 P－ABCD 中，各棱所在的直线互相异面的有________对. 答案 8 解析 以底边所在直线为准进行考察，因为四边形 ABCD 是平面图形，4 条边在同一平面内， 不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与 2 条侧棱所在直线组成 2 对异面直线，所以共 有 4×2＝8(对)异面直线. 14.已知下列说法： ①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a∥b； ②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 是异面直线； ③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 平行或异面； ④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则 a 与β一定相交. 其中正确的序号是____________. 答案 ③ 解析 ①错，a 与 b 也可能异面；②错，a 与 b 也可能平行；③正确，∵α∥β，∴α与β无公 共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a 与 b 无公共点，那么 a∥b 或 a 与 b 异面；④错，a 与β也可能 平行. 15.如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中( ) A.AB∥CD B.AD∥EF C.CD∥GH D.AB∥GH 答案 C 解析 把正方体的展开图还原成正方体， 得到如图所示的正方体， 由正方体性质得， AB 与 CD 相交，AD 与 EF 异面，CD 与 GH 平行，AB 与 GH 异面. 16.如图，已知平面α和β相交于直线 l，点 A∈α，点 B∈α，点 C∈β，且 A∉l，B∉l，C∉l，直线 AB 与 l 不平行，那么平面 ABC 与平面β的交线与 l 有什么关系？证明你的结论. 解 平面 ABC 与平面β的交线与 l 相交. 证明如下： ∵AB 与 l 不平行，且 AB⊂α，l⊂α， ∴AB 与 l 是相交直线. 设 AB∩l＝P，则点 P∈AB，点 P∈l. 又∵AB⊂平面 ABC，l⊂β， ∴P∈平面 ABC 且 P∈平面β， 即点 P 是平面 ABC 与平面β的一个公共点， 而点 C 也是平面 ABC 与平面β的一个公共点， 又∵P，C 不重合， ∴直线 PC 就是平面 ABC 与平面β的交线， 即平面 ABC∩平面β＝直线 PC，而直线 PC∩l＝P， ∴平面 ABC 与平面β的交线与 l 相交.