数学文卷·2018届江苏省南宁市高三毕业班摸底联考数学（文）试题（解析版）

数学文卷·2018届江苏省南宁市高三毕业班摸底联考数学（文）试题（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ ‎2018届高三毕业班摸底联考 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，集合，则下列关系中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，，所以D对。‎ ‎2. 已知（是虚数单位），那么复数对应的点位于复平面内的（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】,所以复数所对应点为在第一象限，选A.‎ ‎3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）‎ A. 100，20 B. 200，20 C. 200，10 D. 100，10‎ ‎【答案】B ‎【解析】由图可知总学生数是10000人，样本容量为10000=200人，高中生40人，由乙图可知高中生近视率为，所以人数为人，选B.‎ ‎4. 若角满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，选D.‎ ‎5. 已知满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数变形为y=-2x+z,所以z的最大值，就是截距最大，由图可知，直线过B(3,0)时，截距最大，即，填6.‎ ‎6. 如图，函数（，）的图象过点，则的函数解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得A=2,f(0)=由所以，，选B.‎ ‎7. 双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，所以渐近线方程为，选D.‎ ‎8. 执行如图的程序框图，那么输出的的值是（ ）‎ A. B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得：初如值S=2,k=2015,‎ S=-1,k=2016<2018‎ S=,k=2017<2018‎ 输出2,选C.‎ ‎9. 在如图所示的正方体中，分别棱是的中点，异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如下图，过E点作EM//AB,过M点作MN//AD,取MN中点G,所以面EMN//面ABCD，EG//BF, 异面直线与所成角,转化为，不妨设正方形边长为2，GE=,,在中，由余弦定理，选D.‎ ‎10. 已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设直线与椭圆交点为，分别代入椭圆方程，由点差法可知代入k=1,M(-4,1),解得，选C.‎ ‎11. 设函数，则零点的个数为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得，导数零点为，所以函数f(x)在单调递增，在（）单调递减，‎ 由，所以函数f(x)在各有一零点，所以零点个数为2个，选B.‎ ‎【点睛】‎ 函数数零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数y＝f(x)在区间a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．‎ ‎12. 三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得PA,PB，PC两两相等，底面是正三角形，所以三棱锥P-ABC是正棱锥，P在底面的身影是底面正三角形的中心O，由面PAO，再由，可知面PBC,所以可知，即PA,PB,PC两两垂直，由于是球外接球，所以正三棱锥P-ABC可以看成正方体切下来的一个角，与原正方体共外接球，所以。‎ ‎【点睛】对于三条侧棱两两垂直的三棱锥求外接球表面积或体积时，我们常把三棱锥补成长（正）方体，利用公式，求得球的半径。‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知，，向量与的夹角为，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，填。‎ ‎14. 已知圆截直线所得的弦的长度为，则__________.‎ ‎【答案】2或6‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由题知：圆心（a，0），半径为2．‎ 圆心到直线的距离为 又因为圆截直线所得的弦的长度为为，‎ 所以或 考点：直线与圆的位置关系圆的标准方程与一般方程 ‎15. 在中，角所对的边分别是，若，，，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中，由正弦定理因为，所以，所以，填。‎ ‎16. 已知函数，，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，又==‎ ‎,所以原不等式可化为，即,‎ 又x>0时，>0,所以f(x)在上单调递增，上式转化为解得，填。‎ ‎【点睛】‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17. 已知等差数列满足，.‎ ‎（l）求等差数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列满的首项为，公差为，代入两等式可解。‎ ‎（2）由（1），代入得，所以通过裂项求和可求得。‎ 试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由题意可得，解得.‎ 所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ 所以 .‎ ‎18. 广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2016年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（l）计算这40名广场舞者中年龄分布在的人数；‎ ‎（2）若从年龄在中的广场舞者任取2名，求这两名广场舞者中恰有一人年龄在的概率.‎ ‎【答案】(1)30；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可知，样本容量为40，由条形图可求得的频率和为，所以n=频率样本容量。（2）由直方图可知，年龄在有2人，分别记为，在有4人，分别记为.采用枚举法，可知总共情况是15种，满足条件的是8种，所以概率为。‎ 试题解析：（1）由表中数据知，这40名广场舞者中年龄分布在的人数为.‎ ‎（2）由直方图可知，年龄在有2人，分别记为，在有4人，分别记为.‎ 现从这6人中任选两人，共有如下15种选法：，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，，，‎ 其中恰有1人在有8种，‎ 故这两名广场舞者恰有一人年龄在的概率为.‎ ‎19. 如图，三角形中，，是边长为l的正方形，平面底面，若分别是的中点.‎ ‎（1）求证：底面；‎ ‎（2）求几何体的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过面面平行证明线面平行，所以取的中点，的中点，连接.只需通过证明HG//BC，HF//AB来证明面GHF//面ABC,从而证明底面。‎ ‎（2）原图形可以看作是以点C为顶点，ABDE为底的四棱锥，所四棱锥的体积公式可求得体积。‎ 试题解析：（1）取的中点，的中点，连接.（如图）‎ ‎∵分别是和的中点，‎ ‎∴，且，‎ ‎，且.‎ 又∵为正方形，∴，.‎ ‎∴且.‎ ‎∴为平行四边形.‎ ‎∴，又平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）因为，∴，‎ 又平面平面，平面，∴平面.‎ ‎∵三角形是等腰直角三角形，∴.‎ ‎∵是四棱锥，‎ ‎∴ .‎ ‎【点睛】‎ 证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行．‎ ‎20. 已知抛物线上一点到焦点的距离为.‎ ‎（l）求抛物线的方程；‎ ‎（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值.‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析.‎ ‎..................‎ 试题解析：（1）由抛物线的定义可知，则，‎ 由点在抛物线上，则，‎ ‎∴，则，‎ 由，则，‎ ‎∴抛物线的方程.‎ ‎（2）∵点在抛物线上，且.‎ ‎∴‎ ‎∴，设过点的直线的方程为，即，‎ 代入得，‎ 设，，则，，‎ 所以.‎ ‎21. 已知函数，.‎ ‎（l）求的单调区间；‎ ‎（2）若函数在区间内存在唯一的极值点，求的值.‎ ‎【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.(2)或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求得函数定义域为，再利用函数的导数来求函数的单调区间。（2）即在区间上存在唯一零点，且为奇次零点。所以对函数g(x)求导 .由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减.而，所以g(x)最多两个零点，分别位于（0,1）和，所以现在只需在（0,1）和中各找一个，，使得，可找<0,，所以一定有两个零点，因为要找的区间长度为1，所以再找，可求得或.‎ 试题解析：（1）由已知得，.‎ 当时，由，得，‎ 由，得.‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）因为 ，‎ 则 .‎ 由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 又因为，.‎ 所以在上有且只有一个零点.‎ 又在上，在上单调递减；‎ 在上，在上单调递增.‎ 所以为极值点，此时.‎ 又，，‎ 所以在上有且只有一个零点.‎ 又在上，在上单调递增；‎ 在上，在上单调递减.‎ 所以为极值点，此时.‎ 综上所述，或.‎ ‎【点睛】‎ 本题先把极值点问题转化为，导函数零点问题，即零点存在性定理。利用方程根的存在性定理求解三步曲是：①先移项使方程右边为零，再令方程左边为函数f(x)；②求区间(a,b)两端点的函数值f(a)和(b)；③若函数在该区间上连续且f(a)f(b)<0，则方程在该区间内必有根.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 已知曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，直线的直角坐标方程为.‎ ‎（l）求曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知直线分别与曲线、曲线交异于极点的，若的极径分别为，求的值.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)3.‎ ‎(3)‎ ‎【解析】试题分析：（1）曲线,为圆：，用公式代入，代极坐标方程。直线过原点，且倾斜角为，所以直线的极坐标方程为。（2）曲线均为圆且都过极点O，所以代入，分别求得极径分别为，代入即求解。‎ 试题解析：（1）曲线的参数方程为（为参数），普通方程圆：‎ 极坐标方程为，‎ ‎∵直线的直角坐标方程为，‎ 故直线的极坐标方程为.‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为：，‎ 直线的极坐标方程为，‎ 将代入的极坐标方程得，‎ 将代入的极坐标方程得，‎ ‎∴.‎ ‎23. 已知函数，.‎ ‎（l）求的解集；‎ ‎（2）若对任意的，，都有.求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2)或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由两个绝对值的不等式，按绝对值零点分三段讨论，注意解集为先交后并。（2）由题意可得只需转化为恒成立，求参数a的范围，由绝对值不等式分别求得.代入上面不等式可求得a的范围。‎ 试题解析：（1）∵函数，故，等价于.‎ 等价于①，‎ 或②，‎ 或③.‎ 解①求得，解②求得，解③求得.‎ 综上可得，不等式的解集为.‎ ‎（2）若对任意的，，都有，可得.‎ ‎∵函数 ，∴.‎ ‎∵ ，故.‎ ‎∴，∴，或，求得或.‎ 故要求的的范围为或.‎ ‎【点睛】对于绝对值不等式的求解，我们常用分段讨论的方法，也就是按绝对值的零点把数轴上的实数分成多段进行分段讨论，要注意分段时不重不漏，分段结果是按先交后并做运算。‎ 对于一次绝对值函数，我们常采用绝对值不等式求函数的最大（小）值。‎