2017-2018学年辽宁省盘锦市高级中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年辽宁省盘锦市高级中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

辽宁省盘锦市高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出集合A,B，由此利用并集的定义求得.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，函数的定义域的求解，集合的并集运算，属于简单题目.‎ ‎2．抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎：首先将抛物线方程化为标准方程，由抛物线的准线方程的定义可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为抛物线可化为，‎ 则抛物线的准线方程为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关抛物线的准线方程的问题，涉及到的知识点有抛物线的准线方程，在解题的过程中，注意首先将抛物线方程化成标准方程.‎ ‎3．设p、q是两个命题，若是真命题，那么（ ）‎ A. p是真命题且q是假命题 B. p是真命题且q是真命题 C. p是假命题且q是真命题 D. p是假命题且q是假命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断出是假命题，从而判断出p,q的真假即可.‎ ‎【详解】‎ 若是真命题，则是假命题，‎ 则p,q均为假命题，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关复合命题的真值表的问题，在解题的过程中，首先需要利用是真命题，得到是假命题，根据“或”形式的复合命题真值表求得结果.‎ ‎4．已知，，则=（ ）‎ A. 2 B. -2 C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题中所给的函数解析式，求得，之后根据，从而求得，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，可知，所以，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关分段函数根据函数值求参数的问题，在解题的过程中，首先求得 ‎，利用内层函数的函数值等于外层函数的自变量，代入函数解析式求得结果.‎ ‎5．函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用诱导公式化简函数解析式，之后应用余弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到所求单调递增区间.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 根据余弦函数的性质，‎ 令，可得，‎ 所以函数的单调递增区间是，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关余弦型函数的单调怎区间的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有诱导公式，余弦函数的单调增区间，余弦型函数的性质，注意整体角思维的运用.‎ ‎6．函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的零点排除选项，然后通过特殊点的位置判断即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 函数，，‎ 所以是函数的一个零点，所以排除B,D；‎ 当时，，所以，函数的图形应落在x轴的下方，所以排除C；‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数的图形的选择问题，在解题的过程中，注意排除法的应用，也可以从函数的奇偶性，得到函数图像的对称性，再根据相应区间上的函数值的符号求得结果.‎ ‎7．将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ）‎ A. 240 B. 480 C. 720 D. 960‎ ‎【答案】B ‎【解析】12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有，所以不同坐法有,选B.‎ ‎8．高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占，而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一名学生参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给的条件求出男生数和男生中三好学生数，本题可以看作一个古典概型，试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果，满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果，根据概率公式得到结果.‎ ‎【详解】‎ 因为高三某班有60名学生（其中女生有20名），‎ 三好学生占，而且三好学生中女生占一半，‎ 所以本班有40名男生，男生中有5名三好学生，‎ 由题意知，本题可以看作一个古典概型，‎ 试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果，‎ 满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果，‎ 所以没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关古典概型的概率求解问题，在解题的过程中，需要首先求得本班的男生数和男生中的三好学生数，根据古典概型的概率公式求得结果.‎ ‎9．已知命题：①函数的值域是；‎ ‎②为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点向右平移个单位长度；‎ ‎③当或时，幂函数的图象都是一条直线；‎ ‎④已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是.‎ 其中正确的命题个数为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎：①根据指数函数的单调性进行判断；‎ ‎②根据三角函数的图形关系进行判断；‎ ‎③根据幂函数的定义和性质进行判断；‎ ‎④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断.‎ ‎【详解】‎ ‎①因为是增函数，所以当时，函数的值域是，故①正确；‎ ‎②函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图像，故②错误；‎ ‎③当时，直线挖去一个点，当时，幂函数的图形是一条直线，故③错误；‎ ‎④作出的图像如图所示： ‎ 所以在上递减，在上递增，在上递减，‎ 又因为在上有两个，在上有一个，‎ 不妨设，‎ 则，即，则的范围即为的范围，‎ 由，得，‎ 则有，即的范围是，所以④正确；‎ 所以正确的命题有2个，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关真命题的个数问题，在结题的过程中，涉及到的知识点有指数函数的单调性，函数图像的平移变换，零指数幂的条件以及数形结合思想的应用，灵活掌握基础知识是解题的关键.‎ ‎10．函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到为偶函数，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数恒等变换，可得，，利用其为偶函数，得到，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为 ，‎ 所以，‎ 因为为偶函数，所以，所以，‎ 所以的最小值为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关三角函数的图形平移的问题，在解题的过程中，需要明确平移后的函数解析式，根据其为偶函数，得到相关的信息，从而求得结果.‎ ‎11．已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由利用余弦定理，可得，利用正弦定理边化角，消去C，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界性，可得 ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 由余弦定理得：，‎ 所以，‎ 所以，‎ 由正弦定理得，因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 因为三角形是锐角三角形，所以，所以，‎ 所以或，‎ 所以或（不合题意），‎ 因为三角形是锐角三角形，所以，‎ 所以，则，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 这是一道解三角形的有关问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，诱导公式，正弦函数在某个区间上的值域问题，根据题中的条件，求角A的范围是解题的关键.‎ ‎12．设定义在上的函数满足，，则（ ）‎ A．有极大值，无极小值 ‎ B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 ‎ D．既无极大值，也无极小值 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由等式化为，即，则由积分可得（为常数），即，又，则，所以，易知函数在上单调递增.故选D.‎ ‎【考点】函数的导数与积分、解析式及其单调性.‎ ‎【方法点晴】此题主要考查函数的导数与积分、解析式及其单调性的应用，属于中高楼题.根据题设可构造等式，由积分可得，再通过等式，从而求出函数的解析式，又在区间上恒成立，即函数在上单调递增，故函数在区间上即无极大值，也不极小值.‎ 二、填空题 ‎13．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则n等于_________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，，解得n，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 因为的展开式中所有项的二项式系数之和为256，‎ 所以有，解得，故答案是8.‎ ‎【点睛】‎ 这是一道考查二项式定理的题目，解题的关键是明确二项展开式的性质，由二项式定理可得，二项式所有项的二项式系数和为，从而求得结果.‎ ‎14．已知双曲线，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB,CD的中点为E的两个焦点，且，则E的离心率为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可令，代入双曲线的方程，求得，再根据题意，设出A,B,C,D的坐标，由，可得的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值.‎ ‎【详解】‎ 令，代入双曲线的方程可得，‎ 由题意可设，‎ 由，可得，‎ 由，可得，解得（负值舍去），‎ 故答案是2.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有双曲线上的点的坐标的求法，根据双曲线对称性，得到四个点A,B,C,D四个点的坐标，应用双曲线中系数的关系，以及双曲线的离心率的公式求得结果.‎ ‎15．已知分别为的三个内角的对边，，且，为内一点，且满足 ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用余弦定理可求得，利用同角三角函数关系式中的平方关系求得，再由题意可得O为的重心，得到，由三角形的面积公式，解方程可得所求值.‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理可得，‎ 因为，且，‎ 所以，整理得，‎ 所以，从而得，‎ 满足，且，‎ 可得O为的重心，且，‎ 即，则，‎ 故答案是.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，同角三角函数关系，三角形重心的性质，三角形面积公式，熟练掌握基础知识是解题的关键.‎ ‎16．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，令，应用导数研究得出函数的单调性，从而分别求出的最小值和的最大值，从而求得的范围，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由 令，则对恒成立，‎ 所以在上递减，所以，‎ 令，则对恒成立，‎ 所以在上递增，所以，‎ 所以，故的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关参数的取值范围的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有构造新函数，应用导数研究函数的单调性，求得函数的最值，结合条件，求得结果，将题的条件转化是解题的关键.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）若，求的最小值，并指出此时的取值范围；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值的意义求出的范围即可；‎ ‎（2）问题转化为当时，，结合函数的性质得到关于的不等式，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 当且仅当时取等号，‎ 故的最小值为，此时的取值范围是. ‎ ‎（2）时，显然成立，所以此时；‎ 时，由，得.‎ 由及的图象可得且，‎ 解得或.综上所述，的取值范围是 ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有绝对值的意义，绝对值三角不等式，分类讨论思想，灵活掌握基础知识是解题的关键.‎ ‎18．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程；曲线的极坐标方程。‎ ‎(2)当曲线与曲线有两个公共点时，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，得到曲线的直角坐标方程与曲线的极坐标方程，注意题中所给的角的范围，从而得到其为上半圆，注意范围；‎ ‎（2）利用直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离来约束，此时注意是上半圆，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得 ，即：，‎ ‎∴曲线为以（1,0）为圆心，1为半径的圆的上半部分，从而直角坐标方程为：.- ‎ 曲线的极坐标方程为 ‎ ‎(2)直线的普通方程为：，‎ 当直线与半圆相切时 ，‎ 解得（舍去）或，‎ 当直线过点（2,0）时，，故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有平面直角坐标与极坐标的转换关系，曲线的极坐标方程与平面直角坐标方程的转换，直线与曲线有两个公共点的条件，思路清晰是正确解题的关键.‎ ‎19．已知向量， ，函数 ‎（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图象经过点， 成等差数列，且，求的值.‎ ‎【答案】(1) 递增区间为： (2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意整理计算可得，则最小正周期： ，单调递增区间为： ； ‎ ‎（2）由可得，结合数量积的定义可得，结合余弦定理得到关于a的方程，解方程可得 .‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可得： ，则：‎ 最小正周期： ， ‎ 所以的单调递增区间满足： ，‎ 求解不等式可得单调递增区间为： ； ‎ ‎（2）由可得： ，‎ 又因为成等差数列，所以， ‎ 而，据此有： ，‎ ‎，结合余弦定理可得：‎ ‎，‎ ‎ .‎ ‎20．已知函数的图象过点.‎ ‎(1)求的值并求函数的值域；‎ ‎(2)若关于的方程有实根，求实数的取值范围；‎ ‎(3)若函数，则是否存在实数，使得函数的最大值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）；（3）存在使得函数的最大值为0.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据在图象上，代入计算即可求解，因为，所以，所以，可得函数的值域为；（2）原方程等价于的图象与直线有交点，先证明的单调性，可得到的值域，从而可得实数的取值范围；（3）根据， ，转化为二次函数最大值问题，讨论函数的最大值，求解实数即可.‎ 试题解析：（1）因为函数 的图象过点，‎ ‎ 所以，即，所以 ，‎ 所以，因为，所以，所以， ‎ 所以函数的值域为.‎ ‎（2）因为关于的方程有实根，即方程有实根，‎ 即函数与函数有交点，‎ 令，则函数的图象与直线有交点，‎ 又 任取，则，所以，所以，‎ 所以 ，‎ 所以在R上是减函数（或由复合函数判断为单调递减），‎ 因为，所以，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎（3）由题意知， ，‎ 令，则， ‎ 当时， ，所以，‎ 当时， ，所以（舍去），‎ 综上，存在使得函数的最大值为0.‎ ‎21．随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元.‎ 该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：‎ 公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：‎ 以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.‎ ‎（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；‎ ‎（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；‎ ‎②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？‎ ‎【答案】（1）（2）①平均值可估计为15元. ②公司不应将前台工作人员裁员1人.‎ ‎【解析】分析：（1）利用古典概型概率公式可估计样本中包裹件数在之间的概率为，服从二项分布，从而可得结果；（2）①整理所给数据，直接利用平均值公式求解即可；②若不裁员，求出公司每日利润的数学期望，若裁员一人，求出公司每日利润的数学期望，比较裁员前后公司每日利润的数学期望即可得结果.‎ 详解：（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率，‎ 故可估计概率为，‎ 显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数服从二项分布，‎ 即，故所求概率为 ‎（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：‎ 包裹重量（单位：）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 快递费（单位：元）‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ 包裹件数 ‎43‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎8‎ ‎4‎ 故样本中每件快递收取的费用的平均值为，‎ 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.‎ ‎②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），‎ 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：‎ 包裹件数范围 ‎0～100‎ ‎101～200‎ ‎201～300‎ ‎301～400‎ ‎401～500‎ 包裹件数（近似处理）‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 实际揽件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260‎ 故公司平均每日利润的期望值为（元）；‎ 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：‎ 包裹件数范围 ‎0～100‎ ‎101～200‎ ‎201～300‎ ‎301～400‎ ‎401～500‎ 包裹件数（近似处理）‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 实际揽件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎300‎ ‎300‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎50×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235‎ 故公司平均每日利润的期望值为（元）‎ 因，故公司不应将前台工作人员裁员1人.‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：‎ ‎①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；‎ ‎②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；‎ ‎③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ ‎④“求期望”‎ ‎，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度 ‎22．（江苏省南通市2018届高三最后一卷 --- 备用题数学试题）已知函数，其中.‎ ‎（1）当时，求函数处的切线方程；‎ ‎（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；‎ ‎（3）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎(3) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先将代入函数解析式，求出函数的导数，求出函数的切线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，化简求得结果；‎ ‎（2）求出函数的导数，利用函数存在两个极值点，是方程的两个不等正根，韦达定理得到关系，将化为关于的函数关系式，利用导数求得结果；‎ ‎（3）将恒成立问题应用导数来研究，分类讨论，求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，故，‎ 且，故 所以函数在处的切线方程为 ‎（2）由，可得 因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个不等正根，‎ 即的两个不等正根为 所以，即 ‎ 所以 令，故，在上单调递增，‎ 所以 故得取值范围是 ‎（3）据题意，对任意的实数恒成立，‎ 即对任意的实数恒成立.‎ 令，则 ‎①若，当时，，故符合题意；‎ ‎②若，‎ ‎（i）若，即，则，在上单调赠 所以当时，，故符合题意；‎ ‎（ii）若，即，令，得（舍去），‎ ‎，当时，，在上单调减；‎ 当时，，在上单调递增，‎ 所以存在，使得，与题意矛盾，‎ 所以不符题意.‎ ‎③若，令，得 当时，，在上单调增；当时，，‎ 在上单调减.‎ 首先证明：‎ 要证：，即要证：，只要证：‎ 因为，所以，故 所以 其次证明，当时，对任意的都成立 令，则，故在上单调递增，所以，则 所以当时，对任意的都成立 所以当时，‎ 即，与题意矛盾，故不符题意，‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，应用导数研究函数的极值点，应用导数研究不等式恒成立问题，涉及到的解题思想是分类讨论，注意思路清晰是解题的关键.‎