高考数学一轮复习讲义—27解三角形

高考数学一轮复习讲义—27解三角形

‎ ‎ 第27讲 解三角形 一．【课标要求】‎ ‎（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；‎ ‎（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。‎ 二．【命题走向】‎ 对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题 三．【要点精讲】‎ ‎1．直角三角形中各元素间的关系：‎ 如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。‎ ‎（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）‎ ‎（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；‎ ‎（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）‎ sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。‎ ‎2．斜三角形中各元素间的关系：‎ 如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。‎ ‎（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。‎ ‎（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 ‎。‎ ‎（R为外接圆半径）‎ ‎（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。‎ ‎3．三角形的面积公式：‎ ‎（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；‎ ‎（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；‎ ‎（3）△＝＝＝；‎ ‎（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）‎ ‎（5）△＝；‎ ‎（6）△＝；；‎ ‎（7）△＝r·s。‎ ‎4．‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ 解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是：‎ 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。‎ ‎（1）角与角关系：A+B+C = π；‎ ‎（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；‎ ‎（3）边与角关系：‎ 正弦定理 （R为外接圆半径）；‎ 余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA；‎ 它们的变形形式有：a = 2R sinA，，。‎ ‎5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。‎ ‎（1）角的变换 因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；‎ ‎（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。‎ r为三角形内切圆半径，p为周长之半。‎ ‎（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。‎ 四．【典例解析】‎ 题型1：正、余弦定理 ‎（2009岳阳一中第四次月考）.已知△中，，，，，，则 （ ） ‎ A.． B ． C． D． 或 答案 C 例1．（1）在中，已知，，cm，解三角形；‎ ‎（2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。‎ 解析：（1）根据三角形内角和定理，‎ ‎；‎ 根据正弦定理，‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ ‎；‎ 根据正弦定理，‎ ‎（2）根据正弦定理，‎ ‎ ‎ 因为＜＜，所以，或 ‎①当时， ，‎ ‎②当时，‎ ‎ ，‎ 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 例2．（1）在ABC中，已知，，，求b及A；‎ ‎（2）在ABC中，已知，，，解三角形 解析：（1）∵‎ ‎=cos ‎=‎ ‎=‎ ‎∴‎ 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：‎ 解法一：∵cos ∴‎ 解法二：∵sin 又∵＞＜∴＜，即＜＜‎ ‎∴‎ ‎（2）由余弦定理的推论得：‎ cos ‎；‎ cos ‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ ‎；‎ 点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。‎ 题型2：三角形面积 例3．在中，，，，求的值和的面积。‎ 解法一：先解三角方程，求出角A的值。‎ ‎ ‎ 又, ‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎ 。‎ ‎ 解法二：由计算它的对偶关系式的值。‎ ‎ ①‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ ②‎ ‎ 　 ①　+　②　得　　。‎ ‎ 　 ①　－　②　得　　。‎ 从而　。‎ 以下解法略去。‎ 点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？‎ 例4．（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，‎ 的取值范围为 . ‎ 答案  2 ‎ 解析 设由正弦定理得 由锐角得，‎ 又，故，‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ 例5．（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，． ‎ ‎（I）求的面积； （II）若，求的值．‎ 解 （1）因为，，又由 得， ‎ ‎（2）对于，又，或，由余弦定理得 ‎， ‎ 例6．（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b ‎ 分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.‎ 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. ‎ 解法二:由余弦定理得: .又,.‎ 所以 ①‎ 又，‎ ‎，即 由正弦定理得，故 ②‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ 由①，②解得.‎ 评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练 题型4：三角形中求值问题 例7．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。‎ 解析：由A+B+C=π，得=－，所以有cos =sin。‎ cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin=－2(sin － )2+ ；‎ 当sin = ，即A=时, cosA+2cos取得最大值为。‎ 点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。‎ 例8．（2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，． ‎ ‎（I）求的面积； （II）若，求的值．‎ 解（Ⅰ） ‎ 又，，而，所以，所以的面积为：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以 所以 点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力 题型5：三角形中的三角恒等变换问题 例9．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。‎ 分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ 与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。‎ 解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。‎ 又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。‎ 在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。‎ 在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，‎ ‎∴=sin60°=。‎ 解法二：在△ABC中，‎ 由面积公式得bcsinA=acsinB。‎ ‎∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。‎ ‎∴=sinA=。‎ 评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。‎ 例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。‎ 解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，‎ 从而＝60°，故tan.由两角和的正切公式，‎ 得。‎ 所以 ‎。‎ 点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。‎ 题型6：正、余弦定理判断三角形形状 例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）‎ A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C 解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ ‎∴sin（A－B）＝0，∴A＝B 点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径 例12．（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且 ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，求的值。 ‎ 解（I）∵为锐角， ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎（II）由（I）知，∴ ‎ 由得 ‎，即 又∵ ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ ‎ 北 ‎20‎ ‎10‎ A B ‎•‎ ‎•C 题型7：正余弦定理的实际应用 例13．（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） ‎ 解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,‎ 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，‎ 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，        ‎ 在△ABC中，‎ 即AB=‎ 因此，BD=‎ 故B，D的距离约为0.33km。 。‎ 点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。‎ ‎（2）（（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤 解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，‎ N的俯角；A，B的距离 d （如图所示） . ‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ ‎②第一步：计算AM . 由正弦定理　；‎ 第二步：计算AN . 由正弦定理　；‎ 第三步：计算MN. 由余弦定理 .‎ 方案二：①需要测量的数据有：‎ A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）.‎ ‎ ②第一步：计算BM . 由正弦定理　；‎ 第二步：计算BN . 由正弦定理　； ‎ 第三步：计算MN . 由余弦定理 ‎21.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且 ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，求的值。 ‎ 解（I）∵为锐角， ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎（II）由（I）知，∴ ‎ 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ 由得 ‎，即 又∵ ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ ‎ 点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？‎ 五．【思维总结】‎ ‎1．解斜三角形的常规思维方法是：‎ ‎（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b；‎ ‎（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；‎ ‎（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；‎ ‎（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。‎ ‎2．三角形内切圆的半径：，特别地，；‎ ‎3．三角学中的射影定理：在△ABC 中，，…‎ ‎4．两内角与其正弦值：在△ABC 中，，…‎ ‎5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。‎ 第 12 页 共 12 页