2017-2018学年湖南省宁远县第一中学高二12月月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年湖南省宁远县第一中学高二12月月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年湖南省宁远县第一中学高二12月月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题 “若不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（ ）‎ A. 若有两个内角相等,则它是等腰三角形 B. 若任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形 C. 若是等腰三角形,则它的任何两个内角相等 D. 若任何两个角相等,则它不是等腰三角形 ‎【答案】A ‎【解析】若原命题为“若则”，那么其逆否命题是“若则”，所以题设中命题的逆否命题是：若有两个内角相等，那么是等腰三角形，选A.‎ ‎2．将化成四进位制数的末位是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将389化成四进位制数的运算过程如下，所得的四进位制数是12011（4），其末位是1，故选B ‎3．命题“若，则有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题者四个命题中，假命题的个数是 （ ）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】因为，则，故有实数根，原命题的逆命题为：若有实数根，则，取，则方程为，此方程的解为，故方程有实数根，但，故逆命题为假命题.又原命题与其逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假，故4个命题中，假命题的个数为2.‎ 点睛：在命题的真假判断中，注意利用原命题与其逆否命题同真同假来判断.‎ ‎4．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现用分层抽样方法抽取一个容量为30的样本，则各职称中抽取的人数分别为( )‎ A. 5，10，15 B. 3，9，18‎ C. 5，9，16 D. 3，10，17‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由分层抽样抽取比例可知抽取的人数依次为：‎ ‎【考点】分层抽样 ‎5．已知三棱柱的所有棱长都相等，侧棱垂直于底面，且点是侧面的中心，则直线与平面所成角的大小是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：‎ 如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，‎ 依题意知三棱柱为正三棱柱，‎ 易得AE⊥平面，故∠ADE为AD与平面所成的角．‎ 设各棱长为1，则AE=，‎ DE=，tan∠ADE==，‎ ‎∴∠ADE=60°．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ 点评：求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系．（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造--作出或找到斜线与射影所成的角；②设定--论证所作或找到的角为所求的角；③计算--常用解三角形的方法求角；④结论--点明斜线和平面所成的角的值．‎ ‎6．执行下图程序框图，如果输入的 ，均为 2，则输出的（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意知，当时，；当时，；当时，输出，选D.‎ ‎【考点】程序框图中的循环结构.‎ ‎7．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 ( )‎ A. 2 B. 6 C. 4 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：如图，设椭圆的另外一个焦点为，‎ 则 ．‎ ‎【考点】椭圆的定义及其应用．‎ ‎8．设函数，则（ ）‎ A. 为的极大值点 B. 为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为，所以。‎ 又，所以为的极小值点。‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；导数的运算法则。‎ 点评：极值点的导数为0 ，但导数为0的点不一定是极值点。‎ ‎9．一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面内爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设为“该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1”，则基本事件的总体对应的是三角形的面积，大小为，随机事件对应的面积为三角形中去除阴影部分后的面积，三个阴影部分的面积和为，故所求的概率为 ，选C.‎ ‎10．过抛物线的焦点,且斜率为的直线交于点 (在的x轴上方)， 为的准线，点在上且,则到直线的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题设， 为到准线的距离，故，又直线的斜率为，所以，也即是，因此为等边三角形，过作的垂线，垂足为，则为的中点，且，所以， 到直线的距离为等边三角形一边上的高且为，故选B.‎ 点睛：圆锥曲线中，与焦点有关的问题，可以转化到准线去考虑.‎ ‎11．定 义 ： 如 果 函 数 在上 存 在、, 满 足 ‎，则称函数 是上的“双中值函数”。已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围( )‎ A. (1,3) B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，由题设可得方程在有两个不同的实数解，又， ，所以方程在上有两个不同的实数根.令，则有 ，解得，解得，故选B.‎ 点睛：本题为新定义问题，应根据定义把的存在性问题转化为方程在给定范围上的解的问题.‎ 二、填空题 ‎12．函数的单调减区间为 ▲ . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。‎ ‎，‎ 由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。‎ ‎13．设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，，解得，所以，由，解得，即，要使得是的充分不必要条件，则，解得，所以实数的取值范围是．‎ ‎【考点】充分不必要条件的应用；不等式的求解．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定与应用、分式不等式和一元二次不等式的求解等知识的应用，本题的解答中根据分式不等式的求解和一元二次不等式的求解，求解的解集，再由是的充分不必要条件，列出不等式组是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎14．正四棱锥S-ABCD 的底面边长为，侧棱的长是底面边长的倍，E为侧棱SC上一点， 若则_____________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】如图， 为正方形的中心， 为正四棱锥的高，因为， ，又，故 ．建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，而，故，即，所以，又，由得，解得，所以， ．填2．‎ 点睛：空间向量中，计算点的坐标时通常是通过向量关系去计算的，当三点共线时，我们可以假设，这样计算出来的点的坐标是整式，便于计算．‎ ‎15．设，函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 ‎【答案】‎ ‎【解析】略 三、解答题 ‎16．给定命题：对任意实数都有成立； ：关于的方程有实数根．如果为真命题， 为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，先求解命题，得到，命题得到，分类讨论，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：由题意可知，命题为真或，‎ 命题为真，‎ 故或或，即或.‎ ‎【考点】命题的真假判定及应用.‎ ‎17．下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量 (吨)与相应的生产能耗 (吨标准煤)的几组对应数据.‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程 ;‎ ‎（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？‎ 用最小二乘法求线性回归方程系数公式.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低 (吨).‎ ‎【解析】（1）散点图如图所示：‎ ‎（2）， ，故， ，所以．‎ ‎（3）预测生产 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 (吨)‎ 点睛：依据散点图得到线性相关，故可以利用最小二乘法求出线性回归方程并根据它求出相应的预测值． ‎ ‎18．已知关于的函数.‎ ‎(1)当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎(2)设，讨论函数的单调区间；‎ ‎(3)若函数没有零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】试题分析：(1)当时，得到函数解析式，求得，得到，得出切线的斜率，再利用点斜式求解直线的方程；‎ ‎ (2)由题意，求出的解析式，求得，可分和两种情况分类讨论，即可求解函数的单调区间；‎ ‎ (3)由没有零点，转化为方程无解，即与两图象无交点，列出条件，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎(1)当时， ， ，‎ ‎，∴，即在处的切线方程为.‎ ‎(2)∵， ，当时，‎ 在上恒成立，∴在上单调递增；‎ 当时，令，解得，‎ 令，解得，∴在单调递增，在单调递减.‎ ‎(3)∵没有零点，‎ 即无解，∴与两图象无交点，‎ 设两图象相切于两点，∴，∴， ，∵两图象无交点，∴.‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到导数的几何意义及其应用，利用导数求解函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及函数图象的应用，试题有一定的难度，属于难题，着重考查了分类讨论和转化与化归思想的应用，此类问题平时注意总结和积累.‎ ‎19．在如图所示的多面体中， 平面， 平面， ‎ ‎，且， 是的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证： ．‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）点为棱的中点．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由等腰三角形性质得，再由平面，得，从而根据线面垂直判定定理得平面，即得．（2）利用空间向量研究二面角：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求出两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系求二面角的余弦值．（3）先设N坐标，根据向量数量积求直线方向向量与平面法向量夹角，再根据线面角与向量夹角关系列方程，解出N坐标，最后确定N位置 试题解析：（Ⅰ）证明：∵， 是的中点，‎ ‎∴，‎ 又平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）以为原点，分别以， 为， 轴，如图建立坐标系．则：‎ ‎， ， ， ， ，‎ ‎， ， ， ，‎ 设平面的一个法向量，‎ 则： ，‎ 取， ， ，所以，‎ 设平面的一个法向量，则：‎ 取， ， ，所以，‎ ‎．‎ 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，‎ 设且， ，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ， ，‎ ‎∴，‎ 若直线与平面所成的的角为，则： ，‎ 解得，‎ 所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，‎ 点为棱的中点．‎ 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎20．如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点和 的直线与原点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）已知定点，若直线与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，使得以为直径的圆过点．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由两点的坐标可得直线方程,根据点到线的距离公式可得间的关系式,再结合离心率及可解得的值．（2）将直线方程与椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程．根据有2个交点可知其判别式大于0得的范围．由上式可得两根之和,两根之积．以为直径的圆过点时,根据直线垂直斜率相乘等于可得的值．若满足前边判别式大于0得的的范围说明存在,否则说明不存在．‎ 试题解析：解：解析：（1）直线方程为：．‎ ‎ 依题意 解得 ‎ ‎∴ 椭圆方程为．‎ ‎（2）假若存在这样的值，由得．‎ ‎ ∴ ① ‎ ‎ 设，、，，则 ②‎ ‎ 而．‎ 要使以为直径的圆过点，当且仅当时，则，即 ‎ ‎∴ ③ ‎ ‎ 将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．‎ 综上可知，存在，使得以为直径的圆过点． ‎ ‎【考点】1椭圆方程；2直线与椭圆的位置关系问题．‎ ‎21．已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）设,其中为的导函数.证明：对任意.‎ ‎【答案】（1）；（2）单调递增区间为；单调递减区间为；（3）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意分析可能曲线在点处的切线与轴平行，等价于，从而；（2）由（1）可知，只需考虑分子的正负性即可，而，在上单调递减，再由，故当时，，，单调递增；当时，，，单调递减，∴单调递增区间为；单调递减区间为；（3），这是一指对相结合的函数，混在一起考虑其单调性比较复杂，因此考虑分开研究各自的取值情况：记，，，令，得，‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减，‎ ‎∴，即.‎ ‎② 记，，，∴在上单调递减，‎ ‎∴，即，综合①，②可知，.‎ 试题解析：（1），依题意，为所求；‎ ‎（2）由（1）可知，，记，，‎ ‎∴在上单调递减，又∵，‎ ‎∴当时，，，单调递增；当时，，，单调递减，∴单调递增区间为；单调递减区间为；‎ ‎（3），‎ ‎① 记，，，令，得，‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减，‎ ‎∴，即.‎ ‎② 记，，，∴在上单调递减，‎ ‎∴，即，综合①，②可知，.‎ ‎【考点】1.利用导数求切线方程；2.利用导数判断函数单调性证明不等式.‎