新教材数学人教B版必修第二册课件：6-4-3 余弦定理、正弦定理 第2课时　正弦定理

新教材数学人教B版必修第二册课件：6-4-3 余弦定理、正弦定理 第2课时　正弦定理

精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 第六章　平面向量及其应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第 一 篇 教 材 过 关 第2课时　正弦定理 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 从前有一位父亲给两个儿子分一块地,地的形状如图所示.父亲将CE连接起来, 左边分给弟弟,右边分给哥哥.哥哥觉得自己的三角形地块比弟弟的矩形地块 面积小,埋怨父亲偏心,兄弟二人打得不可开交.这时,他们的舅舅正好路过,兄 弟二人让舅舅评理,舅舅说给他们算一下各自地块的面积.他拿来皮尺和一个 量角器,经过测量计算,发现这两块地面积一样大. 情景导学 精读教材·必备知识 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 问题:这位舅舅是怎样计算三角形地块的面积的呢? 答案　先用皮尺测量线段AB,BC,CD的长度,用量角器测量∠D, 然后利用余弦 定理或今天要学的正弦定理及面积公式解决这个问题. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 1.正弦定理 (1)文字语言:在一个三角形中,各边和它所对角的① 的比相等. (2)图形语言:   (3)符号语言:  =  =  .sin a A sin b B sin c C 教材研读 正弦 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.正弦定理解决的问题 (1)已知三角形的任意两个角与一边. (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角. 3.三角形中常用的结论 (1)A+B+C=π,  = - . (2)在三角形中,大边对大角,反之亦然. (3)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. 2 A B π 2 2 C 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 4.三角形面积公式 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c. (1)S= aha= bhb= chc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高). (2)S= absin C=②  =③  . (3)S= (a+b+c)·r(r为内切圆半径). 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 特别提醒 (1)a∶ b∶ c=sin A∶ sin B ∶ sin C,a∶ b=sin A∶ sin B,b∶ c=sin B∶ sin C,a∶ c= sin A∶ sin C; (2) =  , =  , =  ; (3)  =  =  =  =  =  =  ; (4)sin A= sin B= sin C. a b sin sin A B a c sin sin A C b c sin sin B C sin a A sin b B sin c C sin sin sin a b c A B C     sin sin a b A B   sin sin b c B C   sin sin c a C A   a b a c 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究一　已知三角形的两角及一边解三角形 互动探究·关键能力 例1　(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A= ,sin B= ,a=1,则b= 　　　 . (2)在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,求a,b的值. 4 5 63 65 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　(1)因为A为△ABC的内角,且cos A= , 所以sin A= ,又a=1,sin B= , 由正弦定理,得b=  =  = × = . (2)∵A=45°,C=30°, ∴B=180°-(A+C)=105°. 由  =  得a=  =  =10  . 4 5 3 5 63 65 sin sin a B A sin sin B A 63 65 5 3 21 13 sin a A sin c C sin sin c A C 10 sin45° sin30°  2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∵sin 105°=sin 75°=sin(30°+45°) =sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=  , ∴b=  =20×  =5  +5  . 2 6 4  sin sin c B C 2 6 4  2 6 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 思维突破 已知三角形的两角和一边解三角形的方法 (1)当所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形内 角和定理求出第三个角. (2)当所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由 正弦定理求另外两边. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 1-1　在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2,求出其他边和角的大小. 解析　根据三角形内角和定理,得 C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°. 根据正弦定理,得b=  =  = =  , c=  =  =  =  =  +1. sin sin a B A 2 sin30° sin45°  12 2 2 2  2 sin sin a C A 2sin105° sin45° 2sin75° sin45° 6 22 4 2 2  3 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究二　已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形 例2 (易错题)在△ABC中,c=  ,C= ,a=2,解三角形.6 π 3 解析　由正弦定理,得  =  , 则sin A=  =  = . 因为c>a,所以C>A.所以A= ,所以B=π- - = , 所以b=  =  =  +1. sin a A sin c C sina C c π2 sin 3 6  2 2 π 4 π 4 π 3 5π 12 sin sin c B C 5π6 sin 12 πsin 3  3 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 变式训练 1.(变条件)本例若条件改为“c=  ,C= ”,其他条件不变,解三角形. 2 3 3 π 6 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析　由  =  ,得sin A=  =  = . 因为c1,无解.sin a A sin c C sina C c π2 sin 3 1  3 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 易错点拨 常因没有考虑角的范围而出现漏解的情况. 1.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法: (1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)若已知角为大边所对角,由大边对大角能知另一边所对角为锐角,由正弦值 可求的角唯一. (3)若已知角为小边所对角,则不能确定另一边所对角为锐角,由正弦值可求两 个角,要分类讨论. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.已知三角形的两边及其中一边的对角判断解的个数的方法: 已知a,b和A,以点C为圆心,边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公 共点的个数即为三角形的个数,解的个数见下表: 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 条件 图形 解的个数 锐角 ab   一解 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 2-1 (多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A= ,a=2,c=2  ,则 角C的大小是  (　　) A. 　 B. 　 C. 　 D.  π 6 3 π 6 π 3 5π 6 2π 3 BD 解析　由正弦定理可得  =  , ∴sin C= sin A= ,而aB>A,所以最小边为a. 又因为c=1,由正弦定理得,a=  =  =  -1, 所以最小边长为  -1. sin sin c A C 1 sin45° sin75°  3 3 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 直观想象——借助图形的几何性质转化问题 如图所示,D是直角三角形ABC的斜边BC上的一点,且AB=AD,记∠CAD=α, ∠ABC=β.   (1)求证:sin α+cos 2β=0; (2)若AC=  DC,求β的值. 素养演练 3 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 审:题目中的条件有直角三角形、等腰三角形. 联:(1)利用直角三角形的两锐角互余、等腰三角形的底角相等建立角的等式, 等式两边取三角函数. (2)利用等腰三角形把已知角移到一个三角形中,借助正弦定理及(1)的结论求 值. 解:(1)证明:因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABD=β, 又因为α=①　　　 = -(π-2β)=2β- , π 2 π 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 所以sin α=②　　　 =-cos 2β, 即sin α+cos 2β=0. (2)在△ADC中,由正弦定理得  =  , 即  =③　　　 , 即  =④　　　　　　 , 所以sin β=  sin α. 由(1)知sin α=-cos 2β, sin DC α sin AC ADC sin DC α sin DC α 3 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 所以sin β=-  cos 2β=⑤　　　 , 即2  sin2β-sin β-  =0, 解得⑥　　　 . 因为0<β< ,所以sin β= ,所以β= . 思:(1)涉及平面图形时,充分利用平面几何的相关定理、几何性质解决问题. (2)直角三角形角的互余性和等腰三角形的等角对等边是常用的几何性质. (3)等式的两边取某种函数是常用的化归方法. 3 3 3 π 2 3 2 π 3 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 针对训练 　如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED= 　　　 .