【数学】2019届一轮复习北师大版2-4　幂函数与二次函数学案

【数学】2019届一轮复习北师大版2-4　幂函数与二次函数学案

§2.4　幂函数与二次函数 最新考纲 考情考向分析 1.了解幂函数的概念． 2.结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1 x，y＝ 的图象，了解它们的变化情况． 3.理解并掌握二次函数的定义，图象及性 质． 4.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解 决简单问题. 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指 数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的 图象与性质的应用为主，常与方程、不等式 等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转 化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、 填空题，中档难度. 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数． (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)常见的 5 种幂函数的性质 函数　 特征　 性质　 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且 x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且 y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 1 2x 1 2x 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 [4ac－b2 4a ，＋∞) (－∞，4ac－b2 4a ] 单调性 在 x∈(－∞，－ b 2a]上单调递 减；在 x∈[－ b 2a，＋∞)上单 调递增 在 x∈(－∞，－ b 2a]上单调递 增；在 x∈[－ b 2a，＋∞)上单 调递减 对称性 函数的图象关于 x＝－ b 2a对称 知识拓展 1．幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、 三象限内，要看函数的奇偶性． (2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当 α＞0 时，y＝xα 在[0，＋∞)上为增函数； 当 α＜0 时，y＝xα 在(0，＋∞)上为减函数． 2．若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当Error!时恒有 f(x)>0，当Error!时，恒有 f(x)<0. 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b2 4a .(　×　) (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R 不可能是偶函数．(　×　) (3)在 y＝ax 2 ＋bx＋c(a≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大 小．(　√　) (4)函数 y＝2 是幂函数．(　×　) (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　) (6)当 n<0 时，幂函数 y＝xn 是定义域上的减函数．(　×　) 题组二　教材改编 2．[P79T1]已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点(1 2， 2 2 )，则 k＋α 等于(　　) A.1 2 B．1 C.3 2 D．2 答案　C 解析　由幂函数的定义，知Error! ∴k＝1，α＝1 2.∴k＋α＝3 2. 3．[P44A 组 T9]已知函数 f(x)＝x2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则 a 的取值范围是(　　) A．a≥3 B．a≤3 C．a＜－3 D．a≤－3 答案　D 解析　函数 f(x)＝x2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是 x＝－2a，由函数在区间 (－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线 x＝－2a 的左侧， ∴－2a≥6，解得 a≤－3，故选 D. 题组三　易错自纠 4．幂函数 f(x)＝x (a∈Z)为偶函数，且 f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则 a 等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　因为 a2－10a＋23＝(a－5)2－2， f(x)＝x (a∈Z)为偶函数， 且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a－5)2－2<0，从而 a＝4,5,6， 又(a－5)2－2 为偶数，所以只能是 a＝5，故选 C. 1 2x 2 10 23a a－ ＋ 2( 5) 2a－ － 5．已知函数 y＝ax2＋bx＋c，如果 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) 答案　D 解析　由 a＋b＋c＝0 和 a>b>c 知，a>0，c<0， 由 c<0，排除 A，B，又 a>0，排除 C. 6．已知函数 y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则 y 的最小值是______． 答案　－1 解析　函数 y＝2x2－6x＋3 的图象的对称轴为 x＝3 2>1，∴函数 y＝2x2－6x＋3 在[－1,1]上单 调递减， ∴ymin＝2－6＋3＝－1. 题型一　幂函数的图象和性质 1．已知点( 3 3 ， 3)在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 答案　A 解析　设 f(x)＝xα，由已知得 ( 3 3 )α＝ 3，解得 α＝－1，因此 f(x)＝x－1，易知该函数为奇 函数． 2．若四个幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd 在同一坐标系中的图象如图所示，则 a，b，c， d 的大小关系是(　　) A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c 答案　B 解析　由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近 x 轴，由题图知 a ＞b＞c＞d，故选 B. 3．若 a<0，则 0.5a，5a，5－a 的大小关系是(　　) A．5－a<5a<0.5a B．5a<0.5a<5－a C．0.5a<5－a<5a D．5a<5－a<0.5a 答案　B 解析　5－a＝(1 5 )a，因为 a<0 时，函数 y＝xa 在(0，＋∞)上单调递减，且1 5<0.5<5， 所以 5a<0.5a<5－a. 思维升华 (1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数 α，因此只需一个条件即可确 定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在区间 (1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴． (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较， 准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 题型二　求二次函数的解析式 典例 (1)已知二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为 x＝2，最小值为－1，则它的解析式为 __________________． 答案　f(x)＝1 2x2－2x＋1 解析　依题意可设 f(x)＝a(x－2)2－1， 又其图象过点(0,1)，∴4a－1＝1， ∴a＝1 2，∴f(x)＝1 2(x－2)2－1＝1 2x2－2x＋1. (2)已知二次函数 f(x)与 x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则 f(x)＝ ________. 答案　x2＋2x 解析　设函数的解析式为 f(x)＝ax(x＋2)， 所以 f(x)＝ax2＋2ax，由4a × 0－4a2 4a ＝－1， 得 a＝1，所以 f(x)＝x2＋2x. 思维升华 求二次函数解析式的方法 跟踪训练 (1)已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数 f(x)的最小值为 f(－1)＝0，则 f(x)＝________. (2)若函数 f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解 析式 f(x)＝________. 答案　(1)x2＋2x＋1　(2)－2x2＋4 解析　(1)设函数 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a， 由已知 f(x)＝ax2＋bx＋1，∴a＝1， 故 f(x)＝x2＋2x＋1. (2)由 f(x)是偶函数知 f(x)图象关于 y 轴对称， ∴－a＝－(－2a b )，即 b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2， 又 f(x)的值域为(－∞，4]，∴2a2＝4，故 f(x)＝－2x2＋4. 题型三　二次函数的图象和性质 命题点 1　二次函数的图象 典例 两个二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 与 g(x)＝bx2＋ax＋c 的图象可能是(　　) 答案　D 解析　函数 f(x)图象的对称轴为 x＝－ b 2a，函数 g(x)图象的对称轴为 x＝－ a 2b，显然－ b 2a与－ a 2b 同号，故两个函数图象的对称轴应该在 y 轴的同侧．只有 D 满足． 命题点 2　二次函数的单调性 典例 函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数 a 的取值范围是(　　) A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] 答案　D 解析　当 a＝0 时，f(x)＝－3x＋1 在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当 a≠0 时，f(x)的对称轴为 x＝3－a 2a ， 由 f(x)在[－1，＋∞)上递减知Error! 解得－3≤a＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． 引申探究 若函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 的单调减区间是[－1，＋∞)，则 a＝________. 答案　－3 解析　由题意知 f(x)必为二次函数且 a<0， 又3－a 2a ＝－1，∴a＝－3. 命题点 3　二次函数的最值 典例 已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1 在区间[－1,2]上有最大值 4，求实数 a 的值． 解　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a. (1)当 a＝0 时，函数 f(x)在区间[－1,2]上的值为常数 1，不符合题意，舍去； (2)当 a＞0 时，函数 f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为 f(2)＝8a＋1＝4，解得 a＝3 8； (3)当 a＜0 时，函数 f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为 f(－1)＝1－a＝4，解得 a＝－ 3. 综上可知，a 的值为3 8或－3. 引申探究 将本例改为：求函数 f(x)＝x2＋2ax＋1 在区间[－1,2]上的最大值． 解　f(x)＝(x＋a)2＋1－a2， ∴f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 x＝－a. (1)当－a＜1 2即 a＞－1 2时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5， (2)当－a≥1 2即 a≤－1 2时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a， 综上，f(x)max＝Error! 命题点 4　二次函数中的恒成立问题 典例 (1)已知函数 f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式 f(x)>2x＋m 恒成立，则实数 m 的取值范围是________________． 答案　(－∞，－1) 解析　f(x)>2x＋m 等价于 x2－x＋1>2x＋m，即 x2－3x＋1－m>0， 令 g(x)＝x2－3x＋1－m， 要使 g(x)＝x2－3x＋1－m>0 在[－1,1]上恒成立， 只需使函数 g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于 0 即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1. 由－m－1>0，得 m<－1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(－∞，－1)． (2)已知 a 是实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3 在 x∈[－1,1]上恒小于零，则实数 a 的取值范围为 ________． 答案　(－∞，1 2) 解析　2ax2＋2x－3<0 在[－1,1]上恒成立． 当 x＝0 时，－3<0，成立； 当 x≠0 时，a<3 2(1 x－1 3 )2－1 6，因为1 x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当 x＝1 时，右边取最小值1 2， ∴a<1 2. 综上，实数 a 的取值范围是 (－∞，1 2). 思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草 图)，再“定量”(看图求解)． (3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值 域． 跟踪训练 (1)设 abc＞0，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象可能是(　　) 答案　D 解析　由 A，C，D 知，f(0)＝c＜0， 从而由 abc＞0，所以 ab＜0，所以对称轴 x＝－ b 2a＞0，知 A，C 错误，D 满足要求；由 B 知 f(0)＝c＞0， 所以 ab＞0，所以 x＝－ b 2a＜0，B 错误． (2)已知函数 f(x)＝x2－2ax＋2a＋4 的定义域为 R，值域为[1，＋∞)，则 a 的值为________． 答案　－1 或 3 解析　由于函数 f(x)的值域为[1，＋∞)， 所以 f(x)min＝1.又 f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4， 当 x∈R 时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1， 即 a2－2a－3＝0，解得 a＝3 或 a＝－1. (3)设函数 f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足 10，则实数 a 的取值范围为 ________． 答案　(1 2，＋∞) 解析　由题意得 a＞2 x－2 x2对 1＜x＜4 恒成立， 又2 x－2 x2＝－2(1 x－1 2 )2＋1 2，1 4＜1 x＜1， ∴(2 x－2 x2 )max＝1 2，∴a＞1 2. 数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用 典例 (12 分)设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数 f(x)的最小值． 思想方法指导　研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要 明确参数对图象的影响，进行分类讨论． 规范解答 解　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为 x＝1.[2 分] 当 t＋1＜1，即 t＜0 时，函数图象如图(1)所示，函数 f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数， 所以最小值为 f(t＋1)＝t2＋1；[5 分] 当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，函数图象如图(2)所示，在对称轴 x＝1 处取得最小值，最小值 为 f(1)＝1；[8 分] 当 t＞1 时，函数图象如图(3)所示，函数 f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数， 所以最小值为 f(t)＝t2－2t＋2.[11 分] 综上可知，f(x)min＝Error![12 分] 1．若函数 f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3 为偶函数，则 f(x)在区间(－5，－3)上(　　) A．先减后增 B．先增后减 C．单调递减 D．单调递增 答案　D 2．(2017·江西九江七校联考)若幂函数 f(x)＝(m2－4m＋4)· 在(0，＋∞)上为增函数， 则 m 的值为(　　) A．1 或 3 B．1 C．3 D．2 答案　B 解析　由题意得 m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8＞0， 解得 m＝1. 3．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是(　　) A.(0， 1 20) B.(－∞，－ 1 20) C.( 1 20，＋∞) D.(－ 1 20，0) 答案　C 解析　由题意知Error!即Error!得 a> 1 20. 4．已知二次函数 f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，且 f(x)在[0,2]上是增函数，若 f(a)≥f(0)，则实数 a 的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞) 答案　C 解析　由题意可知函数 f(x)的图象开口向下，对称轴为 x＝2(如图)， 若 f(a)≥f(0)，从图象观察可知 0≤a≤4. 5．已知二次函数 f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若 x1f(x2) C．f(x1)0，又 x1＋x2＝0， ∴当 x1，x2 在对称轴的两侧时， 1 4－x1>x2－1 4，故 f(x1)0， 故 01，即 a>2 时，f(x)在[1，a 2 )上单调递减，在(a 2，＋∞)上单调递增，不合题意； ②当 0≤a 2≤1，即 0≤a≤2 时，符合题意； ③当a 2<0，即 a<0 时，不符合题意． 综上，a 的取值范围是[0,2]． 16．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)． (1)若函数 f(x)的最小值是 f(－1)＝0，且 c＝1， F(x)＝Error!求 F(2)＋F(－2)的值； (2)若 a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立，试求 b 的取值范围． 解　(1)由已知 c＝1，a－b＋c＝0，且－ b 2a＝－1， 解得 a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2. ∴F(x)＝Error!∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由题意得，f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1 在(0,1]上恒成立， 即 b≤1 x－x 且 b≥－1 x－x 在(0,1]上恒成立． 又当 x∈(0,1]时，1 x－x 的最小值为 0，－1 x－x 的最大值为－2.∴－2≤b≤0. 故 b 的取值范围是[－2,0]．