2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练74 不等式的证明
课时分层训练(七十四) 不等式的证明
(对应学生用书第349页)
1．设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥(a＋b)．
[证明] 因为a2＋b2－(a＋b)
＝(a2－a)＋(b2－b)
＝a(－)＋b(－)
＝(－)(a－b)
＝.
因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a－b与a－b同号，所以(a－b) (a－b)≥0，
所以a2＋b2≥(a＋b)．
2．设不等式|2x－1|<1的解集为M.
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.
【导学号：79140400】
[解] (1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，
解得0
0.
故ab＋1>a＋b.
3．(2017·石家庄模拟)已知函数f(x)＝|x|＋|x－1|.
(1)若f(x)≥|m－1|恒成立，求实数m的最大值M；
(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，证明：a＋b≥2ab.
[解] (1)∵f(x)＝|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，
当且仅当0≤x≤1时取等号，
∴f(x)＝|x|＋|x－1|的最小值为1.
要使f(x)≥|m－1|恒成立，只需|m－1|≤1，
∴0≤m≤2，则m的最大值M＝2.
(2)证明：由(1)知，a2＋b2＝2，
由a2＋b2≥2ab，知ab≤1.①
又a＋b≥2，则(a＋b)≥2ab.
由①知，≤1.
故a＋b≥2ab.
4．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．
[解] 由柯西不等式得
(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，
∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.
∵2a＋2b＋c＝8，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，
当且仅当＝＝c－3时等号成立，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.
5．已知函数f(x)＝k－|x－3|，k∈R，且f(x＋3)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求k的值；
(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1.
求证：a＋2b＋3c≥9.
[解] (1)因为f(x)＝k－|x－3|，
所以f(x＋3)≥0等价于|x|≤k，
由|x|≤k有解，得k≥0，且解集为[－k，k]．
因为f(x＋3)≥0的解集为[－1,1]．
因此k＝1.
(2)证明：由(1)知＋＋＝1，因为a，b，c为正实数．
所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝2b＝3c时等号成立．
因此a＋2b＋3c≥9.
6．(2018·福州质检)已知函数f(x)＝|x＋1|.
(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；
(2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b).
【导学号：79140401】
[解] (1)①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1＜－2x－2，解得x＜－1；
②当－1＜x＜－时，原不等式可化为x＋1＜－2x－2，解得x＜－1，此时原不等式无解；
③当x≥－时，原不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1.
综上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．
(2)证明：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，
所以，要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|＞|a＋b|，
即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，
即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，
即证a2b2－a2－b2＋1＞0，即证(a2－1)(b2－1)＞0.
因为a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1，所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，
所以原不等式成立．
