高中数学选修2-2教案第三章 习题课
习题课 导数的应用
明目标、知重点
会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．
1．若函数 y＝x2－2bx＋6 在(2,8)内是增函数，则( )
A．b≤2 B．b<2
C．b≥2 D．b>2
答案 A
2．已知 y＝asin x＋1
3sin 3x 在 x＝π
3
处有极值，则( )
A．a＝－2 B．a＝2
C．a＝2 3
3 D．a＝0
答案 B
3．设函数 g(x)＝x(x2－1)，则 g(x)在区间[0,1]上的最小值为( )
A．－1 B．0 C．－2 3
9 D. 3
3
答案 C
解析 g(x)＝x3－x，由 g′(x)＝3x2－1＝0，
解得 x1＝ 3
3
，x2＝－ 3
3 (舍去)．
当 x 变化时，g′(x)与 g(x)的变化情况如下表：
x 0 0， 3
3
3
3
3
3
，1 1
g′(x) － 0 ＋
g(x) 0 极小值 0
所以当 x＝ 3
3
时，
g(x)有最小值 g
3
3 ＝－2 3
9 .
4.设函数 f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数 y＝f′(x)
的图像可能为( )
答案 D
解析 应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图像．
5 ． 若 f(x) 在 (a ， b) 内 存 在 导 数 ， 则 “f′(x)<0” 是 “f(x) 在 (a ， b) 内 单 调 递 减 ” 的
________________条件．
答案 充分不必要
解析 对于导数存在的函数 f(x)，
若 f′(x)<0，则 f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数 f(x)在(a，b)内单调递减，不一
定恒有 f′(x)<0，
如 f(x)＝－x3 在 R 上是单调递减的，但 f′(x)≤0.
题型一 函数与其导函数之间的关系
例1 对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{ an
n＋1
}
的前 n 项和的公式是________．
答案 2n＋1－2
解析 由 k＝y′|x＝2＝－2n－1(n＋2)，
得切线方程为 y＋2n＝－2n－1(n＋2)(x－2)，
令 x＝0，求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0＝(n＋1)2n，所以 an
n＋1
＝2n，
则数列{ an
n＋1
}的前 n 项和 Sn＝21－2n
1－2
＝2n＋1－2.
反思与感悟 找切点，求斜率是求切线方程的关键．
跟踪训练 1
如图，曲线 y＝f(x)上任一点 P 的切线 PQ 交 x 轴于 Q，过 P 作 PT 垂
直于 x 轴于 T，若△PTQ 的面积为1
2
，则 y 与 y′的关系满足( )
A．y＝y′
B．y＝－y′
C．y＝y′2
D．y2＝y′
答案 D
解析 ∵S△PTQ＝1
2
×y×|QT|＝1
2
，
∴|QT|＝1
y
，Q(x－1
y
，0)，根据导数的几何意义，
kPQ＝ y－0
x－x－1
y
＝y′，∴y2＝y′.故选 D.
题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值
例 2 已知函数 f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b 的图像关于原点成中心对称．
(1)求 a，b 的值；
(2)求 f(x)的单调区间及极值；
(3)当 x∈[1,5]时，求函数的最值．
解 (1)∵函数 f(x)的图像关于原点成中心对称，
则 f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
得－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，
于是 2(a－1)x2＋2b＝0 恒成立，
∴ a－1＝0
b＝0
，解得 a＝1，b＝0.
(2)由(1)得 f(x)＝x3－48x，
∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，
令 f′(x)＝0，得 x1＝－4，x2＝4，令 f′(x)<0，
得－4
0，得 x<－4 或 x>4.
∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，
∴f(x)极大值＝f(－4)＝128，f(x)极小值＝f(4)＝－128.
(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，对 f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)
＝－115，所以函数的最大值为－47，最小值为－128.
反思与感悟 (1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解 f′(x)>0 得增
区间，解 f′(x)<0 得减区间．
(2)求极值时一般需确定 f′(x)＝0 的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得
极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．
(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要
直接与端点的函数值比较即可获得．
跟踪训练 2 已知函数 y＝ax3＋bx2，当 x＝1 时，有极大值 3.
(1)求 a，b 的值；
(2)求函数的极小值；
(3)求函数在[－1,1]的最值．
解 (1)y′＝3ax2＋2bx，
当 x＝1 时，y′|x＝1＝3a＋2b＝0，
y|x＝1＝a＋b＝3，
即 3a＋2b＝0
a＋b＝3
，解得 a＝－6，b＝9.
(2)y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，
令 y′＝0，得 x＝0，或 x＝1，
∴y 极小值＝y|x＝0＝0.
(3)由(1)知，函数 y＝f(x)＝－6x3＋9x2，又 f(－1)＝15，f(0)＝0，f(1)＝3，所以函数的最大值
为 15，最小值为 0.
题型三 导数的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝x3－ax－1.
(1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增，求 a 的取值范围；
(2)是否存在实数 a，使 f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，
请说明理由．
解 (1)f′(x)＝3x2－a，
因为 f(x)在 R 上是增函数，所以 f′(x)≥0 在 R 上恒成立．
即 3x2－a≥0 在 R 上恒成立．
即 a≤3x2，而 3x2≥0，所以 a≤0.
当 a＝0 时，f(x)＝x3－1 在 R 上单调递增，符合题意．
所以 a 的取值范围是(－∞，0]．
(2)假设存在实数 a，使 f(x)在(－1,1)上单调递减，
则 f′(x)≤0 在(－1,1)上恒成立．
即 3x2－a≤0 在(－1,1)上恒成立，即 a≥3x2，
又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以 a≥3.
当 a＝3 时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，
所以 f(x)在(－1,1)上单调递减，即 a＝3 符合题意，
所以存在实数 a，使 f(x)在(－1,1)上单调递减，且 a 的取值范围是[3，＋∞)．
反思与感悟 在已知函数 f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令 f′(x)≥0(或
f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取
值能否使 f′(x)恒等于 0，若不能恒等于 0，则参数的这个值应舍去；若 f′(x)能恒等于 0，
则由 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定．
跟踪训练 3 (1)若函数 f(x)＝4x3－ax＋3 的单调递减区间是 －1
2
，1
2 ，则实数 a 的值是多少？
(2)若函数 f(x)＝4x3－ax＋3 在 －1
2
，1
2 上是单调函数，则实数 a 的取值范围为多少？
解 (1)f′(x)＝12x2－a，
∵f(x)的单调递减区间为 －1
2
，1
2 ，
∴x＝±1
2
为 f′(x)＝0 的两个根，∴a＝3.
(2)若 f(x)在 －1
2
，1
2 上为单调增函数，则 f′(x)≥0 在 －1
2
，1
2 上恒成立，
即 12x2－a≥0 在 －1
2
，1
2 上恒成立，
∴a≤12x2 在 －1
2
，1
2 上恒成立，
∴a≤(12x2)min＝0.
当 a＝0 时，f′(x)＝12x2≥0 恒成立(只有 x＝0 时 f′(x)＝0)．
∴a＝0 符合题意．
若 f(x)在 －1
2
，1
2 上为单调减函数，
则 f′(x)≤0 在 －1
2
，1
2 上恒成立，
即 12x2－a≤0 在 －1
2
，1
2 上恒成立，
∴a≥12x2 在 －1
2
，1
2 上恒成立，
∴a≥(12x2)max＝3.
当 a＝3 时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0 恒成立(且只有 x＝±1
2
时 f′(x)＝0)．
因此，a 的取值范围为 a≤0 或 a≥3.
1．若函数 y＝x3＋x2＋mx＋1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是( )
A.
1
3
，＋∞
B.
－∞，1
3
C.
1
3
，＋∞
D.
－∞，1
3
答案 C
解析 若函数 y＝x3＋x2＋mx＋1 是 R 上的单调函数，只需 y′＝3x2＋2x＋m≥0 恒成立，即
Δ＝4－12m≤0，
∴m≥1
3.
2．设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，将 y＝f(x)和 y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不
可能正确的是( )
答案 D
解析 若函数在给定区间上是增函数，则 y＝f′(x)≥0，若函数在给定区间上是减函数，则
y＝f′(x)≤0.
3．设 f(x)、g(x)是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数，且 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当 af(b)g(b) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x) D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
答案 C
解析 由条件，得
fx
gx ′＝f′xgx－fxg′x
[gx]2 <0.
∴fx
gx
在(a，b)上是减函数．
∴fb
gbf(b)g(x)．
4．函数 f(x)＝x3－1
2x2－2x＋5，若对于任意 x∈[－1,2]，都有 f(x)7.
[呈重点、现规律]
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值
等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进
一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方
法．
一、基础过关
1．函数 f(x)＝xcos x 的导函数 f′(x)在区间[－π，π]上的图像大致是( )
答案 A
解析 ∵f(x)＝xcos x，
∴f′(x)＝cos x－xsin x.
∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数，
∴函数图像关于 y 轴对称，排除 C 选项．
由 f′(0)＝1 可排除 D 选项．
而 f′(1)＝cos 1－sin 1<0，
从而观察图像即可得到答案为 A.
2．函数 y＝xcos x－sin x 在下面哪个区间内是增函数( )
A.
π
2
，3π
2 B．(π，2π)
C.
3π
2
，5π
2 D．(2π，3π)
答案 B
解析 y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，若 y＝f(x)在某区间内是增函数，只需在此区间
内 y′恒大于或等于 0 即可．
∴只有选项 B 符合题意，当 x∈(π，2π)时，y′≥0 恒成立．
3．已知函数 f(x)＝ x＋ln x，则有( )
A．f(2)0 在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(2)0，函数 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上单调递增，则 a 的最大值为________．
答案 3
解析 由题意知，f′(x)＝3x2－a≥0(x≥1)，
∴a≤3x2，∴a≤3.
6．若函数 y＝x3＋3
2x2＋m 在[－2,1]上的最大值为9
2
，则 m＝________.
答案 2
解析 y′＝ x3＋3
2x2＋m ′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)．
由 y′＝0，得 x＝0 或 x＝－1.
∴f(0)＝m，f(－1)＝m＋1
2.
又∵f(1)＝m＋5
2
，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，
∴f(1)＝m＋5
2
最大．∴m＋5
2
＝9
2.∴m＝2.
7．已知函数 f(x)＝x3－ax2＋3x＋6，若 x＝3 是 f(x)的一个极值点，求 f(x)在[0，a]上的最值．
解 f′(x)＝3x2－2ax＋3，由已知得 f′(3)＝0，
∴3×9－6a＋3＝0.∴a＝5，
∴f(x)＝x3－5x2＋3x＋6.
令 f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，得 x1＝1
3
，x2＝3.
则当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x 0 0，1
3
1
3
1
3
，3 3 (3,5) 5
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 6 递增 613
27
递减 －3 递增 21
∴f(x)在[0,5]上的最大值为 f(5)＝21，
最小值为 f(3)＝－3.
二、能力提升
8．已知函数 f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且 f′(x)0 时，有 f′(x)>0，g′(x)>0，
则当 x<0 时，有( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
答案 B
解析 由已知得 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
∵x>0 时，f′(x)>0，g′(x)>0，
∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．
∴x<0 时，f(x)递增，g(x)递减．
∴x<0 时，f′(x)>0，g′(x)<0.
10．已知函数 f(x)＝x3－3
2ax2＋b(a，b 为实数，且 a>1)在区间[－1,1]上的最大值为 1，最小值
为－2，则 f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝x3－2x2＋1
11．设函数 f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲线 y＝f(x)过 P(1,0)，且在 P 点处的切线斜率为 2.
(1)求 a，b 的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.
(1)解 f′(x)＝1＋2ax＋b
x.
由已知条件得 f1＝0，
f′1＝2，
即 1＋a＝0，
1＋2a＋b＝2.
解得 a＝－1，
b＝3.
(2)证明 因为 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知 f(x)＝x－x2＋3ln x.
设 g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x，
则 g′(x)＝－1－2x＋3
x
＝－x－12x＋3
x
.
当 00，当 x>1 时，g′(x)<0.
所以 g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．
而 g(1)＝0，故当 x>0 时，g(x)≤0，即 f(x)≤2x－2.
12．已知 a∈R，函数 f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．
(1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的单调区间；
(2)若函数 f(x)在(－1,1)上单调递增，求 a 的取值范围．
解 (1)当 a＝2 时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
f′(x)＝(－x2＋2)ex.
当 f′(x)>0 时，(－x2＋2)ex>0，注意到 ex>0，
所以－x2＋2>0，解得－ 20，
因此－x2＋(a－2)x＋a≥0 在(－1,1)上恒成立，
也就是 a≥x2＋2x
x＋1
＝x＋1－ 1
x＋1
在(－1,1)上恒成立．
设 y＝x＋1－ 1
x＋1
，则 y′＝1＋ 1
x＋12>0，
即 y＝x＋1－ 1
x＋1
在(－1,1)上单调递增，
则 y<1＋1－ 1
1＋1
＝3
2
，故 a≥3
2.
三、探究与拓展
13．已知函数 f(x)＝x2＋2x＋aln x (a∈R)．
(1)当 a＝－4 时，求 f(x)的最小值；
(2)若函数 f(x)在区间(0,1)上为单调函数，求实数 a 的取值范围；
(3)当 t≥1 时，不等式 f(2t－1)≥2f(t)－3 恒成立，求实数 a 的取值范围．
解 (1)f(x)＝x2＋2x－4ln x (x>0)，
f′(x)＝2x＋2－4
x
＝2x＋2x－1
x
，
当 x>1 时，f′(x)>0，当 01 时，t2－(2t－1)＝t2－2t＋1＝(t－1)2>0⇐t2>2t－1⇒ln t2>ln(2t－1)⇒a≤ 2[2t－1－t2]
ln2t－1－ln t2.
在 t>1 时恒成立，
令 u＝ 2[2t－1－t2]
ln2t－1－ln t2
，即求 u 的最小值．
设 A(t2，ln t2)，B(2t－1，ln(2t－1))，
kAB＝ln2t－1－ln t2
2t－1－t2
，
且 A、B 两点在 y＝ln x 的图像上，
又∵t2>1,2t－1>1，故 02，故 a≤2.
即实数 a 的取值范围为(－∞，2]．
