河北省唐山市2012届高三数学下学期第二次模拟考试试题 文 新人教A版

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河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试 数学（文）试题 说明：‎ ‎ 一、本试卷共4页，包括三道大题，24道小题，共150分，其中1．～(21)小题为必做题，(22)～(24)小题为选做题．‎ ‎ 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．‎ ‎ 三、做选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案，‎ ‎ 四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回，‎ 参考公式：‎ 样本数据的标准差；‎ 为样本平均数；‎ 柱体体积公式：、h为高；‎ 锥体体积公式：为高；‎ ‎ 球的表面积、体积公式：其中R为球的半径。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．‎ ‎1．已知=2+i，则复数z的共轭复数为 ‎ A．3+i B．3-i C．-3-i D．-3+i ‎2．己知集合A={l，2，3），集合B=（2，3，4），则A=‎ ‎ A．{l} B．f0,1} C．{1,2,3} D．（2,3,4）‎ ‎3．己知命题p：“a>b”是“‎2a>2b”的充要条件；q：∈R，lx+l l≤x，则 ‎ A．pq为真命题 B．pq为真命题 ‎ C．pq为真命题 D．pq为假命题 ‎4．已知是第三象限的角，且tan=2，则sin（+）=‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为 ‎ A． B．‎2 ‎ C．4 D．6‎ ‎6．把函数y=sin（2x-）的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为 ‎ A．x=0 B．x= C．x= D．x=—‎ ‎7．执行如图所示的算法，若输出的结果y≥2，则输入的x满足 ‎ A．x≥4 B．x≤-l ‎ C．-1≤x≤4 D．x≤一l或x≥4‎ ‎8．已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为 ‎ A．2 B．l C． D．‎ ‎9．曲线y=在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为 ‎ A．1 B．－ C． D．‎ ‎10．奇函数f（x）、偶函数g（x）的图象分别如图1、2所示，方程f（g(x）)=0、g（f(x））=0 的实根个数分别为a、b，则a+b=‎ ‎ A．3 B．‎7 ‎ C．10 D．14‎ ‎11．直线l与双曲线C：交于A、B两点，M是线段AB的中 ‎ 点，若l与OM （O是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为 ‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎12．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为‎20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为 ‎ A．l0cm B．‎10 cm ‎ ‎ C．10cm D．‎‎30cm 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．函数y=的定义域为 。‎ ‎14．向圆(x一2）2+（y—=4内随机掷一点，则该点落在x轴下方的概率为 。‎ ‎15．过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若|AF| =2|B|=6，则p= 。‎ ‎16．在△ABC中，（则角A的最大值为 。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知数列满足：.‎ ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎ （II）设，求 ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：‎ ‎ （I）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小：‎ ‎ （II）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB= 2AD ‎ =2CD =2．E是PB的中点．‎ ‎ （I）求证：平面EAC⊥平面PBC;‎ ‎ （ II）若PC=，求三棱锥C-ABE高的大小．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，．记点P的轨迹为曲线E．‎ ‎ （I）求曲线E的方程；‎ ‎ （ II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，当点M在曲线E上时，求四边形OAMB的面积．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知.‎ ‎ （I）求函数f（x）的最小值；‎ ‎ （ II）当x> ‎2a,证明：‎ ‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 ‎ 如图，在△ABC中，BC边上的点D满足BD=2DC，以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A，过点B作BE⊥CA于点E，BE交圆D于点F．‎ ‎ （I）求∠ABC的度数：‎ ‎ （ II）求证：BD=4EF．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 ‎ 极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆C1的极坐标方程为p=4（cos+sin，P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足OQ=OP，点Q的轨迹为C2。‎ ‎ （I）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；‎ ‎ （ II）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤<），l与曲线C2有且只有一个公共点，求的值．‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 ‎ 设f（x）=|x|+2|x-a|（a>0）．‎ ‎ （I）当a=l时，解不等式f（x）≤4；‎ ‎ （ II）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围 唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试 文科数学参考答案 一、 选择题：‎ A卷：AABCB CDDCC BB B卷：CADAB BACBC DB 二、填空题：‎ ‎（13）(lg2，＋∞) （14）－ （15）4 （16） 三、解答题：‎ ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）＝(32－1)＝3， …1分 当n≥2时，‎ ＝(＋＋…＋)－(＋＋…＋)‎ ‎＝(32n－1)－(32n－2－1)＝32n－1， …5分 当n＝1，＝32n－1也成立，‎ 所以an＝． …6分 ‎（Ⅱ）bn＝log3＝－(2n－1)， …7分 ‎∵＝＝(－)，‎ ‎∴＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)] …10分 ‎＝(1－)＝． …12分 ‎（18）解：‎ ‎（Ⅰ）甲＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，‎ 乙＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，‎ s＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，‎ s＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．‎ 甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分 ‎（Ⅱ）题设所述的6个场次乙得分为：‎ ‎7，8，10，15，17，19． …7分 从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：‎ ‎(7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，‎ ‎(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，‎ ‎(10，15)，(10，17)，(10，19)，‎ ‎(15，17)，(15，19)，‎ ‎(17，19)，‎ 共15种可能， …9分 其中恰好有1场得分在10分以下的情形是：‎ ‎(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，‎ ‎(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，‎ 共8种可能，‎ 所求概率P＝． …12分 ‎（19）解：‎ ‎（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，ACÌ平面ABCD，∴AC⊥PC，‎ ‎∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝，‎ ‎∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，‎ 又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，‎ ‎∵ACÌ平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． …5分 D A C E P B ‎（Ⅱ）由PC＝，知△PBC为等腰直角三角形，则S△BCE＝S△PBC＝，‎ 由（Ⅰ），AC为三棱锥A—BCE高． …7分 Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB，PA＝PB＝AB＝2，则S△ABE＝S△PAB＝，‎ 设三棱锥C—ABE的高为h，则 S△ABE·h＝S△BCE·AC，×h＝××，h＝，‎ 故三棱锥C—ABE的高等于． …12分 ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)．‎ 由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，‎ ‎∴得 …2分 由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，‎ ‎∴(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，‎ 整理，得曲线E的方程为x2＋＝1． …5分 ‎（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．‎ 设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得 ‎(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝－， …7分 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，‎ 由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，‎ 即＋＝1，解得k2＝2． …9分 这时|AB|＝|x1－x2|＝＝，‎ 原点到直线l的距离d＝＝，‎ 平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝． …12分 ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）f¢(x)＝x－＝． …1分 当x∈(0，a)时，f¢(x)＜0，f(x)单调递减；‎ 当x∈(a，＋∞)时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增．‎ 当x＝a时，f(x)取得极小值也是最小值f(a)＝a2－a2lna． …5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），f(x)在(‎2a，＋∞)单调递增，‎ 则所证不等式等价于f(x)－f(‎2a)－a(x－‎2a)＞0． …7分 设g(x)＝f(x)－f(‎2a)－a(x－‎2a)，‎ 则当x＞‎2a时，‎ g¢(x)＝f¢(x)－a＝x－－a＝＞0， …9分 所以g(x)在[‎2a，＋∞)上单调递增，‎ 当x＞‎2a时，g(x)＞g(‎2a)＝0，即f(x)－f(‎2a)－a(x－‎2a)＞0，‎ 故＞a． …12分 ‎（22）解：‎ ‎（Ⅰ）连结OA、AD．‎ ‎∵AC是圆O的切线，OA＝OB，‎ ‎∴OA⊥AC，∠OAB＝∠OBA＝∠DAC， …2分 又AD是Rt△OAC斜边上的中线，‎ C A B E D O F ‎∴AD＝OD＝DC＝OA，‎ ‎∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，‎ 故∠ABC＝∠AOD＝30°． …5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，‎ 在Rt△AEB中，∠EAB＝∠ADB＝60°，‎ ‎∴EA＝AB＝×BD＝BD，‎ EB＝AB＝×BD＝BD， …7分 由切割线定理，得EA2＝EF×EB，‎ ‎∴BD2＝EF×BD，‎ ‎∴BD＝4EF． …10分 ‎（23）解：‎ ‎（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为(ρ0，θ)、(ρ，θ)，则 ρ＝ρ0＝·4(cosθ＋sinθ)＝2(cosθ＋sinθ)，‎ 点Q轨迹C2的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)， …3分 两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，‎ C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2． …5分 ‎（Ⅱ）将l的代入曲线C2的直角坐标方程，得 ‎(tcosφ＋1)2＋(tsinφ－1)2＝2，即t2＋2(cosφ－sinφ)t＝0， …7分 t1＝0，t2＝sinφ－cosφ，‎ 由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，得sinφ－cosφ＝0，‎ 因为0≤φ＜p，所以φ＝． …10分 ‎（24）解：‎ ‎（Ⅰ）f(x)＝|x|＋2|x－1|＝ …2分 当x＜0时，由2－3x≤4，得－≤x＜0；‎ 当0≤x≤1时，1≤2－x≤2；‎ 当x＞1时，由3x－2≤4，得1＜x≤2．‎ 综上，不等式f(x)≤4的解集为[－，2]． …5分 ‎（Ⅱ）f(x)＝|x|＋2|x－a|＝ …7分 可见，f(x)在(－∞，a]单调递减，在(a，＋∞)单调递增．‎ 当x＝a时，f(x)取最小值a．‎ 所以，a取值范围为[4，＋∞)． …10分 ‎ ‎