江苏省诚贤中学2013届高三12月第二次质量检测数学试卷

江苏省诚贤中学2013届高三12月第二次质量检测数学试卷

‎ 江苏省诚贤中学2013届高三第二次质量检测2012.12.23‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1．若复数为纯虚数，则实数的值为 ．‎ ‎2．集合,,则 ．‎ ‎3．在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P(x，y)，则| x |+| y | ≤ 2的概率为 ． ‎ ‎4．已知且，则 ．‎ ‎5．已知定义域为的函数是奇函数，则 ．‎ ‎6．右图是一个算法的流程图，则输出S的值是 ．‎ ‎7．在中，已知，，则＝ ．‎ ‎8．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第 一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的 面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量 为1600，则中间一组（即第五组）的频数为 ．‎ ‎9．已知为双曲线的左准线与x轴的交点，点，若满足的点在双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．‎ ‎10．已知变量，则的最小值为 ．‎ ‎11．已知等比数列为递增数列,且,则数列的通项公式 ．‎ ‎12．将一个长宽分别是的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是 ． ‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的焦点为F． 设M是抛物线上的动点，则 的最大值为 ．‎ ‎14．设等差数列的前项和为，若对任意的等差数列及任意的正整数都有不等式成立，则实数的最大值为 ．‎ ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知函数 ‎（1）求函数的最小值和最小正周期；‎ ‎（2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若 ‎，求，的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 第16题 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面是直角梯形，其中，，，是上一点．‎ ‎(1)若，试确定点的位置； ‎ ‎ (2)求证:． ‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ B N A O C 东 北 第17题 如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中,在距离地（为正数）公里北偏东角的处住有一位医学专家，其中,现有110指挥部紧急征调离地正东公里的处的救护车赶往处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在处相遇，经测算当两车行驶的路线与围成的三角形面积最小时，抢救最及时.‎ ‎ （1）求关于的函数关系；‎ ‎（2）当为何值时，抢救最及时.‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 已知双曲线的左右焦点为、，P是右支上一点，，于H，‎ ‎（1）当时，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）求双曲线的离心率的取值范围；‎ ‎（3）当离心率最大时，过、，P的圆截轴线段长为8，求该圆的方程．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知数列和满足：，其中为实数，为正整数．‎ ‎（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；‎ ‎（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎（3）设，为数列的前项和．是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)设,其中为的导函数.证明:对任意.‎ 数学Ⅱ（理科附加题）‎ ‎21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA＝AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C．‎ 求证：∠ACB＝∠OAC．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵，向量．求向量，使得．‎ C．选修4—3：坐标系与参数方程 已知椭圆的极坐标方程为，焦距为2，求实数a的值．‎ D．选修4—4：不等式选讲 已知函数（为实数）的最小值为，若，求的最小值．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，已知点，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA．‎ ‎ (1)求点P的轨迹C的方程；‎ ‎ (2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎23．已知展开式的各项依次记为．‎ 设．‎ ‎（1）若的系数依次成等差数列，求的值；‎ ‎（2）求证：对任意，恒有.‎ 答案 ‎1．-1； 2．； 3．； 4．； 5．2； 6．7500；7．4； 8．360；‎ ‎9．； 10．9； 11．；12．； 13． 14．‎ ‎15． 解：（1），…………3分 ‎ 则的最小值是－2， …………5分 ‎ 最小正周期是； …………7分 ‎（2），则，‎ ‎ ，‎ ‎，， …………10分 ‎，由正弦定理，得，① …………11分 由余弦定理，得，即， ②‎ 由①②解得． …………14分 ‎16．（1） …………7分 ‎（2）……14分 ‎17．解：（1）以为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，……… 2分 则 .设，有,‎ B N A O C 东 北 ‎ , .又，∴直线的方程为：.……… 6分 ‎ 由得的纵坐标，‎ ‎∴.……… 10分 ‎（2）由（1）得,令 ‎ ∴，‎ ‎∴当且仅当即,此时时，上式取等号，……… 13分 ‎∴当公里时，抢救最及时. ……… 14分 ‎18． （1）（2）（3）‎ ‎19．解（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a‎1a3，即 矛盾．‎ 所以｛an｝不是等比数列．‎ ‎(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)‎ ‎=(-1)n·（an-3n+21）=-bn 又b1x-(λ+18)，所以 当λ＝－18，bn=0(n∈N+)，此时｛bn｝不是等比数列：‎ 当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0，由上可知bn≠0，∴(n∈N+)．‎ 故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列．‎ ‎(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18，bn=0，Sn=0，不满足题目要求．‎ ‎∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得 Sn=-‎ 要使a‎3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a0,恒成立. ‎ 另证1:设函数,则, ‎ 则当时, ‎ 于是当时,要证, ‎ 只需证即可, ‎ 设,, ‎ 令解得, ‎ 当时;当时, ‎ 则当时, ‎ 于是可知当时成立 ‎ 综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立. ‎ 另证2:根据重要不等式当时,即, ‎ 于是不等式, ‎ 设,, ‎ 令解得, ‎ 当时;当时, ‎ 则当时, ‎ 于是可知当时成立. ‎ 数学Ⅱ（理科附加题）答案 A．证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F． ‎ ‎∵DE是圆的一条切线，E是切点，∴OE⊥DC．‎ 又∵BC⊥DE，∴OE∥AF∥BC．∴∠CAF＝∠ACB，∠FAE＝∠AEO．‎ ‎∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO． ∴∠EAO＝∠FAE． 5分 又∵点A是OB的中点，∴点F是EC的中点．∴AE＝AC．‎ ‎∴∠CAF＝∠FAE．∴∠EAO＝∠FAE＝∠CAF，即∠ACB＝∠OAC． 10分 B．， ………………4分 ‎ 设，则= …………8分 ‎ ，． ………………10分 C．椭圆的普通方程为 ………………5分 由，得a=12 ………………10分 D．因为 ‎，………………………………2分 所以时，取最小值，即，……5分 因为，由柯西不等式得 ‎，……………………8分 所以，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最小值为． …………………………………………………………10分 ‎22． 解：（1）设点为所求轨迹上的任意一点，则由得，‎ ‎，整理得轨迹的方程为（且）． 3分 ‎（2）设 由可知直线，则，‎ 故，即， …………5分 直线OP方程为： ①；‎ 直线QA的斜率为：，‎ ‎∴直线QA方程为：，‎ 即 ② ‎ 联立①②，得，∴点M的横坐标为定值． …………8分 由，得到，因为，所以，‎ 由，得，∴的坐标为．‎ ‎∴存在点P满足，的坐标为． 10分 ‎23．解：（1）依题意，，‎ 的系数依次为，，，‎ 所以，解得； ………4分 ‎（2）‎ 设，‎ 则 考虑到，将以上两式相加得：‎ 所以 又当时，恒成立，从而是上的单调递增函数，‎ 所以对任意，．‎ ‎ ………10‎