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文档介绍
【数学】2019届高考一轮复习北师大版理10-4随机事件与古典概型学案
第4讲 随机事件与古典概型 1．概率与频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 2．事件的关系与运算 定 义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 A＝B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅ 且A∪B＝Ω 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1． (2)必然事件的概率：P(A)＝1． (3)不可能事件的概率：P(A)＝0． (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件． P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)． 4．古典概型 (1)基本事件的特点 ①任何两个基本事件是互斥的； ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． (2)特点 ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． (3)概率公式 P(A)＝． 5．对古典概型的理解 (1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决概率问题的关键． (2)古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( ) (2)随机事件和随机试验是一回事．( ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( ) (4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( ) (5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.( ) (6)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× (2016·高考天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( ) A. B. C. D. 解析：选A.由题意得，甲不输的概率为＋＝. (教材习题改编)若A，B为对立事件，则( ) A．P(A＋B)≤1 B．P(AB)＝1 C．P(AB)＝0 D．P(A)＋P(B)≤1 解析：选C.由对立事件的定义可知：P(A＋B)＝1，P(A)＋P(B)＝1，P(AB)＝0.因此C选项正确． 在集合中任取一个元素，则所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是________． 解析：基本事件总数为10，满足方程cos x＝的基本事件数为2，故所求概率为P＝＝. 答案： 掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为________． 解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝，显然A与B互斥，从而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 答案： 随机事件的频率与概率 [典例引领] (2017·高考全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高 气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 【解】 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， 若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900； 若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100. 所以，Y的所有可能值为900，300，－100. Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8. [通关练习] 1．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表： 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题意，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200＋2 100＝3 300，由古典概型概率公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为＝. 2．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数(辆) 500 130 100 150 120 (1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率． 解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得 P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12. 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27. (2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24. 互斥事件、对立事件的概率 [典例引领] 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)1张奖券的中奖概率； (2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 【解】 (1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，依题意，P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝，因为A，B，C两两互斥， 所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝＝， 故1张奖券的中奖概率为. (2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. [提醒] 间接法体现了“正难则反”的思想方法． [通关练习] 1．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( ) A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.5 解析：选C.因为“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，所以所求概率P＝1－P(A)＝0.35. 2．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多2人排队等候的概率； (2)至少3人排队等候的概率． 解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥． (1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44. 古典概型的概率(高频考点) 古典概型是高考考查的热点，考查角度较灵活，常与一些知识交汇考查，其难度较小．高考对本部分内容的考查主要有以下五个命题角度： (1)简单的古典概型的概率； (2)古典概型与平面向量的交汇； (3)古典概型与函数(方程)的交汇； (4)古典概型与解析几何的交汇； (5)古典概型与统计的交汇(下章讲解)． [典例引领] 角度一 简单的古典概型的概率 (2017·高考山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A. B. C. D. 【解析】 所求概率为P＝＝. 【答案】 C 角度二 古典概型与平面向量的交汇 从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( ) A. B. C. D. 【解析】 由题意可知m＝(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况． 因为m⊥n，即m·n＝0， 所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b， 满足条件的有(3，3)，(5，5)共2个， 故所求的概率为. 【答案】 A 角度三 古典概型与函数(方程)的交汇 已知|p|≤3，|q|≤3，当p，q∈Z，则方程x2＋2px－q2 ＋1＝0有两个相异实数根的概率是________． 【解析】 由方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根，可得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)>0，即p2＋q2>1. 当p，q∈Z时，设点M(p，q)，如图，直线p＝－3，－2，－1，0，1，2，3和直线q＝－3，－2，－1，0，1，2，3的交点，即为点M，共有49个，其中在圆上和圆内的点共有5个(图中黑点)．当点M(p，q)落在圆p2＋q2＝1外时，方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根，所以方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根的概率P＝＝. 【答案】 角度四 古典概型与解析几何的交汇 将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】 对于a与b各有6种情形，故总数为36种． 两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，故概率为P1＝＝，两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行与重合(a＝1，b＝2)即可，所以P2＝＝， 因为点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部， 所以＋＜， 解得－＜m＜，故选D. 【答案】 D (1)求古典概型的概率的步骤 第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A； 第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m； 第三步，利用公式P(A)＝，求出事件A的概率． (2)求解古典概型与其他知识交汇问题的思路 解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解． [通关练习] 1．(2017·高考全国卷Ⅱ)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A. B. C. D. 解析：选D.依题意，记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a>b的数组共有10个，分别为(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，因此所求的概率为＝，选D. 2．(2018·湖北省七市(州)联考)从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为( ) A. B. C. D. 解析：选A.从5个数字中任意抽取3个数字组成一个三位数，并且允许有重复的数字，这样构成的数字有53＝125个，但要使各位数字之和等于12且没有重复数字时，则该数只能含有3，4，5三个数字，它们有A＝6种，若三位数的各位数字均重复，则该数为444；若三位数中有2个数字重复，则该数为552，525，255，有3种．因此，所求概率为P＝＝，故选A. 3．设a∈{2，4}，b∈{1，3}，函数f(x)＝ax2＋bx＋1. (1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率； (2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率． 解：(1)由题意－≥－1，即b≤a. 而(a，b)共有C·C＝4种，满足b≤a的有3种，故概率为. (2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法． 因为函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b， 所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率为. 对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 对较复杂的古典概型，其基本事件的个数常涉及排列数、组合数的计算，计算时要首先判断事件是否与顺序有关，以确定是按排列处理，还是按组合处理． 易错防范 (1)易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数． (2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． 1．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为( ) A．两个任意事件 B．互斥事件 C．非互斥事件 D．对立事件 解析：选B.因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．故选B. 2．(2018·安徽“江南十校”联考)从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( ) A. B. C. D. 解析：选D.令选取的a，b组成实数对(a，b)，则有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3) 共15种情况，其中b>a的有(1，2)，(1，3)，(2，3) 3种情况，所以b>a的概率为＝.故选D. 3．(2018·沈阳市教学质量检测(一))将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是( ) A. B. C. D. 解析：选B.A，B，C，D 4名同学排成一排有A＝24种排法．当A，C之间是B时，有2×2＝4种排法，当A，C之间是D时，有2种排法．所以所求概率为＝，故选B. 4．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的概率为( ) A. B. C. D. 解析：选D.满足条件的方程共有4×4＝16个，即基本事件共有16个． 若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时共组成四个不同的方程，且都有实数解；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．所以(a，b)的个数为4＋9＝13.因此，所求的概率为. 5．(2018·福建省普通高中质量检查)某食品厂制作了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”“和谐福”“友善福”，每袋食品中随机装入一张卡片．若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为( ) A. B. C. D. 解析：选B.将3种不同的精美卡片随机放进4个食品袋中，根据分步乘法计数原理可知共有34＝81种不同放法，4个食品袋中3种不同的卡片都有的放法共有3×C×A＝36种，根据古典概型概率公式得，能获奖的概率为＝，故选B. 6．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个． 解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n个，则＝，故n＝15. 答案：15 7．已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示命中靶心，4，5，6，7，8，9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数： 321 421 191 925 271 932 800 478 589 663 531 297 396 021 546 388 230 113 507 965 据此估计，小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为________． 解析：由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421，191，271，932，800，531，共6组随机数，所以所求概率为＝0.30. 答案：0.30 8．如下的三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________． 解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C＝＝84种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C·C·C＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－＝. 答案： 9．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据，如表所示． 一次购物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件 及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)求x，y的值； (2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率． 解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20. (2)记A：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟． A1：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟． A2：该顾客一次购物的结算时间为3分钟． 将频率视为概率可得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝0.3， 所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为0.3. 10．(2017·高考山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游． (1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率； (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率． 解：(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有： {A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个． 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个． 则所求事件的概率为：P＝＝. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有： {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个． 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个， 则所求事件的概率为：P＝. 1．从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是( ) A. B. C. D. 解析：选A.不妨设取出的三个数为x，y，z(x查看更多