【数学】2019届高考一轮复习北师大版理2-6对数与对数函数学案
第6讲 对数与对数函数
1．对数
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1)
运算
法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底
公式
logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2.对数函数的图象与性质
a>1
0
1时，y>0
当x>1时，y<0
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( )
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．( )
(3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．( )
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(5)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
函数y＝ln(1－x)的定义域为( )
A．(0，1) B．[0，1)
C．(0，1] D．[0，1]
解析：选B.因为y＝ln(1－x)，所以解得0≤x<1.
函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
解析：选D.设t＝x2－4，因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．
lg＋2lg 2－＝________．
解析：lg＋2lg 2－＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2
＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.
答案：－1
(教材习题改编)函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．
解析：当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.
所以函数的图象恒过点(3，1)．
答案：(3，1)
对数式的化简与求值
[典例引领]
计算下列各式：
(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；
(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
【解】 (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52
＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
(2)原式＝
＝＝·＝.
[提醒] 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．
[通关练习]
1．(2018·湖北省仙桃中学月考)计算2log63＋log64的结果是( )
A．log62 B．2
C．log63 D．3
解析：选B.2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.故选B.
2．若xlog23＝1，则3x＋3－x＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为xlog23＝1，
所以log23x＝1，
所以3x＝2，3－x＝，
所以3x＋3－x＝2＋＝.故选B.
3．化简lg－lg＋lg＝__________．
解析：lg－lg＋lg
＝×(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(lg 5＋2lg 7)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 5＋lg 7
＝lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝.
答案：
4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
解析：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，所以m＝.
答案：
对数函数的图象及应用
[典例引领]
(1)(2018·沈阳市教学质量检测(一))函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
(2)(数形结合思想)当01时不满足条件，当0，所以a的取值范围为(，1)．
【答案】 (1)A (2)B
1.若本例(2)变为：方程4x＝logax在上有解，求实数a的取值范围．
解：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当01时，显然不成立；
当00，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1
B．a>1，01
D．00时是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知00且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则logba＝________．
解析：f(x)的图象过两点(－1，0)和(0，1)．
则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0且f(0)＝loga(0＋b)＝1，
所以即所以logba＝1.
答案：1
3．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.
答案：(1，＋∞)
对数函数的性质及应用(高频考点)
对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．高考对对数函数性质的考查主要有以下三个命题角度：
(1)比较对数值的大小；
(2)解简单的对数不等式或方程；
(3)对数型函数的综合问题．
[典例引领]
角度一 比较对数值的大小
(2018·福州市综合质量检测)已知a＝ln 8，b＝ln 5，c＝ln －ln ，则( )
A．a0且a≠1，故必有a2＋1>2a，
又loga(a2＋1)1，所以a>.综上，a∈.
【答案】 C
角度三 对数型函数的综合问题
已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0，且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围．
【解】 (1)因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
所以解得－11时，f(x)在定义域{x|－10，得>1，解得0logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．
(3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
[通关练习]
1．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：选D.由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.
2．若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，则g(lg x)>g(1)时，x的取值范围是________．
解析：当g(lg x)>g(1)时，f(|lg x|)>f(1)，由f(x)为增函数得|lg x|>1，从而lg x<－1或lg x>1，解得010.
答案：∪(10，＋∞)
3．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，
由f(x)>1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)>1，
解之得11恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)>1，
即8－2a<0，所以a>4，又01时，对数函数的图象呈上升趋势；
当00，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．
(3)在直线x＝1的右侧，当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当01两种情况讨论．
(2)在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数)．
1．函数y＝的定义域是( )
A．[1，2] B．[1，2)
C. D.
解析：选D.要使该函数有意义，需解得：0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B．
C．logx D．2x－2
解析：选A.由题意知f(x)＝logax，因为f(2)＝1，所以loga2＝1.所以a＝2.所以f(x)＝log2x.
3．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|00，且a≠1)的值域为{y|01，b＝log0.40.5∈(0，1)，c＝log80.4<0，所以a>b>c.故选B.
5．(2018·河南平顶山模拟)函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0，a≠1)，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，则( )
A．f(x)在(－∞，0)上是减函数
B．f(x)在(－∞，－1)上是减函数
C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
D．f(x)在(－∞，－1)上是增函数
解析：选D.由题意，函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0且a≠1)，则说明函数f(x)关于直线x＝－1对称，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，即|x＋1|∈(0，1)，f(x)>0，则00，a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则f(log23)＝________．
解析：由题意得A(2，0)，因此f(2)＝4＋b＝0，b＝－4，从而f(log23)＝3－4＝－1.
答案：－1
7．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为________．
解析：由2x＝3，log4＝y得x＝log23，y＝log4＝log2，所以x＋2y＝log23＋log2＝log28＝3.
答案：3
8．若函数f(x)＝loga2－1(2x＋1)在上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．
解析：因为x∈，
所以2x＋1∈(0，1)，且loga2－1(2x＋1)>0，
所以00，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.
由得－10且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的单调性．
解：(1)由ax－1>0，得ax>1，当a>1时，x>0；
当01时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当01时，设01时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
类似地，当00，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(，＋∞)
解析：选A.令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝－，因此M的单调递增区间为.又x2＋x>0，所以x>0或x<－.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
2．函数f(x)＝|log2x|，若01＋＝5，
所以a＋2b的取值范围为(5，＋∞)，故选D.
3．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．
解析：令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2)．
答案：[1，2)
4．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．
解析：显然x>0，所以f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·log2(4x2)＝log2x·(log24＋2log2x)＝log2x＋(log2x)2＝－≥－.
当且仅当x＝时，有f(x)min＝－.
答案：－
5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－1.
解：(1)由f(x)＝1，得lg x＝±1，
所以x＝10或.
(2)证明：结合函数图象，由f(a)＝f(b)可判断a∈(0，1)，b∈
(1，＋∞)，
从而－lg a＝lg b，从而ab＝1.
又＝，
令φ(b)＝＋b(b∈(1，＋∞))，任取1φ(1)＝2.所以>1.
