江苏省苏州市相城区陆慕高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题

江苏省苏州市相城区陆慕高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题

www.ks5u.com 数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知角的终边过点，那么 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用任意角的三角函数的定义，求出tanθ．‎ ‎【详解】解：∵角θ的终边过点P（5，），那么tanθ，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．‎ ‎2.的弧度数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据1°弧度可得结果.‎ ‎【详解】解：根据1°弧度，‎ ‎252°＝252弧度．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查角度化弧度，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎3.函数在区间上最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 明确函数的单调性，从而得到结果.‎ ‎【详解】∵在区间上单调递增，‎ ‎∴函数在区间上的最大值为，‎ 故选D ‎【点睛】本题考查函数的最值、函数的单调性，考查常熟分离的方法，属于简单题目.‎ ‎4.函数的图象是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由偶函数排除B、D,排除C.故选A.‎ 考点：函数的图象与性质．‎ ‎5. 设扇形的周长为6，面积为2，则扇形中心角的弧度数是 A. 1 B. 4 C. D. 1或4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：因为设扇形的周长为6=l+2r，面积为2=1/2lr，l=r,则可知扇形中心角的弧度数是1或4,选D ‎6.已知，那么的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，即可得到的定义域.‎ ‎【详解】∵，又，‎ ‎∴的定义域为，‎ 故选C ‎【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查正弦函数的性质，是一道基础题．‎ ‎7.已知函数的图象恒过定点，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出m，n得出的解析式，由单调性得到实数b的不等式组，从而得到结果 ‎【详解】∵函数的图象恒过定点 ，‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 又在区间上单调递减，‎ ‎∴ ‎ ‎∴，‎ 故选B ‎【点睛】本题考查了复合函数的单调性“同增异减”的运用能力，考查指数型函数过定点问题，属于基础题．‎ ‎8.已知是定义在上的单调递增函数，当时，.若，则的值为（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题设条件，利用列举法一一验证，能够求出f（5）的值．‎ ‎【详解】解：若f（1）＝1，则f（f（1））＝f（1）＝1，与条件f（f（n））＝3n矛盾，故不成立；‎ 若f（1）＝3，则f（f（1））＝f（3）＝3，进而f（f（3））＝f（3）＝9，与前式矛盾，故不成立；‎ 若f（1）＝n（n＞3），则f（f（1））＝f（n）＝3，与f（x）单调递增矛盾．‎ 所以只剩f（1）＝2．验证之：‎ f（f（1））＝f（2）＝3，‎ 进而f（f（2））＝f（3）＝6，‎ 进而f（f（3））＝f（6）＝9，‎ 由单调性，f（4）＝7，f（5）＝8，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，函数性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的合理运用．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.已知集合中有且仅有一个元素，那么的值为（ ）‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若A中有且仅有一个元素，分a＝0，和a≠0且△＝0两种情况，分别求出满足条件a的值，从而可得结果．‎ ‎【详解】解：∵集合A＝{x|x∈R|（a2﹣1）x2+（a+1）x+1＝0}中有且仅有一个元素，‎ ‎∴方程（a2﹣1）x2+（a+1）x+1＝0有且只有一个实数根；‎ ‎∴①当a2﹣1＝0，a+1≠0时，a＝1；‎ ‎②当a2﹣1≠0，‎ ‎（a+1）2﹣4×（a2﹣1）＝0‎ 解得，a＝﹣1（舍去）或a；‎ ‎∴a＝1或．‎ 故选BC ‎【点睛】本题考查一元二次方程根的分布，考查分类讨论思想，属于常考题型.‎ ‎10.对于函数，选取的一组值去计算和，所得出的正确结果可能是（ ）‎ A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在函数解析中分别取x＝1和x＝﹣1，两式相加后得到2c＝f（1）+f（﹣1），由c为整数可得f（1）+f（﹣1）为偶数，由此可得答案．‎ ‎【详解】解：∵‎ ‎∴，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴为偶数，‎ 故选ABD ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是由已知得到f（1）+f（﹣1）为偶数．‎ ‎11.关于函数有下述四个结论，其中正确的结论是（ ）‎ A. f(x)是偶函数 B. f(x)在区间（,）单调递增 C. f(x)在有4个零点 D. f(x)的最大值为2‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据绝对值的意义，结合三角函数的图象和性质逐一进行判断即可．‎ ‎【详解】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，‎ 故A正确；‎ 当x∈（，π）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，‎ 则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故B错误；‎ 当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx，‎ 由f（x）＝0得2sinx＝0得x＝0或x＝π，‎ 由f（x）是偶函数，得在[﹣π，0）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故C错误；‎ 当sin|x|＝1，|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故D正确，‎ 故选AD ‎【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的意义以及利用三角函数的性质是解决本题的关键．‎ ‎12.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用对数的运算性质化简即可得答案．‎ ‎【详解】解：∵a＝log0.20.3，b＝log20.3<0，‎ ‎∴,‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∵，，‎ ‎∴ab＜a+b＜0．‎ 故选BCD ‎【点睛】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，考查了计算能力，是中档题．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知函数为偶函数，其中.若此函数的最小正周期为，那么____________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性与周期性得到，，从而得到正切值.‎ ‎【详解】∵函数为偶函数，‎ ‎∴，即，‎ 又 ‎∴，‎ 若此函数的最小正周期为，‎ 则，，‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查函数的奇偶性、周期性、诱导公式，属于基础题.‎ ‎14.十九世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，函数被称为狄利克雷函数.狄利克雷函数是无法画出图象的，但它的图象却客观存在，若点在其图象上，则____________．‎ ‎【答案】0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据狄利克雷的法则即可得到结果.‎ ‎【详解】∵，又，‎ ‎∴，‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，考查对应法则的理解，属于简单题目.‎ ‎15.设，若函数在上单调递增，则的取值范围是____________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（k∈Z），进一步解得：，（k∈Z），再利用函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）区间上单调递增，所以建立不等式组，即可得到结果.‎ ‎【详解】令（k∈Z），‎ 解得：，（k∈Z），‎ 当时，，‎ 由题意可得：，即，‎ 当时，，‎ 由题意可得：，即，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：正弦型函数的单调区间的应用，不等式组的解法，属于基础题型．‎ ‎16.函数为奇函数，则____________．‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数定义可得对任意恒成立，得到方程组，解之即可.‎ ‎【详解】解：当时，，‎ ‎∴‎ 即对任意恒成立，‎ ‎∴ ‎ ‎∴，‎ 由可得恒成立，‎ ‎∴ ∴，‎ ‎∴，‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查恒成立的转化，属于中档题.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数 ‎（1）化简函数的解析式；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用诱导公式及商数关系化简表达式即可；‎ ‎（2）由（1）可知：，巧用“1”转化为齐次式，弦化切，代入求值即可.‎ ‎【详解】（1）. ‎ ‎（2）由题意，那么 ‎【点睛】本题考查三角函数的化简与求值，考查三角恒等变换知识，考查计算能力，属于简单题目.‎ ‎18.某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系：.‎ ‎（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；‎ ‎（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？‎ ‎【答案】（Ⅰ）4 ℃; （Ⅱ）10时至18时.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由，求得，结合正弦函数的图象求得的最大值与最小值，从而可得结果；（Ⅱ）由，可得, 结合正弦函数的图象求得的取值范围，从而可得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为f(t)＝10－2‎ 又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤≤1.‎ 当t＝2时，＝1；当t＝14时，＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.‎ 故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.‎ ‎（Ⅱ）依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．‎ 由(1)得f(t)＝10－2，故有10－2>11，‎ 即<－.又0≤t<24，因此0,即f（x1）>f（x2）‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，3）上单调递减 ‎∴在（﹣∞，3）上单调递减.‎ ‎（3）∵对一切恒成立，‎ ‎∴‎ 由 ，可得，又，‎ ‎∴，即；‎ 由，可得 又，‎ ‎∴，‎ 解得：，或 又 故a的取值范围为 ．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立，函数的定义域，函数的最值，函数的单调性，考查转化能力与计算能力，难度中档．‎ ‎22.已知函数是偶函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由偶函数得，根据对数运算法则化简得 的值；（2）化简方程得关于一元二次方程，先讨论时，是否满足条件，再根据实根分布讨论的取值范围．本题也可利用参变分离法，转化为讨论函数交点个数.‎ 试题解析：解：（1）∵（）是偶函数，‎ ‎∴对任意，恒成立 即：恒成立，∴‎ ‎（2）由于，所以定义域为，也就是满足 ‎∵函数与图象有且只有一个交点，‎ ‎∴方程在上只有一解 ‎ 即：方程在上只有一解 ‎ 令，则，因而等价于关于的方程（*）在上只有一解 当时，解得，不合题意；‎ 当时，记，其图象的对称轴 ‎∴函数在上递减，而 ‎∴方程（*）在无解 当时，记，其图象的对称轴 所以，只需，即，此恒成立 ‎∴此时的范围为 综上所述，所求的取值范围为 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎ ‎ ‎ ‎