【数学】2020届数学(理)一轮复习人教版:第八章第三节 直线与圆、圆与圆的位置关系作业

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【数学】2020届数学(理)一轮复习人教版:第八章第三节 直线与圆、圆与圆的位置关系作业

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)‎ A级 基础夯实练 ‎1.(2018·安徽江南十校联考)直线l:x-y+m=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共点,则m的取值范围是(  )‎ A.[-,]        B.[-2,2]‎ C.[--1,-1] D.[-2-1,2-1]‎ 解析:选D.圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(2,1),半径为2,圆心到直线的距离d==,若直线l与圆C恒有公共点,则≤2,解得-2-1≤m≤2-1,故选D.‎ ‎2.若直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:x2+4x+y2-2y+3=0相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是(  )‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析:选A.因为圆C的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=2,所以其圆心坐标为(-2,1),半径为,‎ 因为直线l与圆C相切.‎ 所以=,解得k=±1,‎ 因为k<0,所以k=-1,‎ 所以直线l的方程为x+y-1=0.圆心D(2,0)到直线l的距离d==<,所以直线l与圆D相交.‎ ‎3.已知圆O1的方程为x2+y2=4,圆O2的方程为(x-a)2+y2‎ ‎=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是(  )‎ A.{1,-1} B.{3,-3}‎ C.{1,-1,3,-3} D.{5,-5,3,-3}‎ 解析:选C.因为两圆有且只有一个公共点,所以两个圆内切或外切,内切时,|a|=1,外切时,|a|=3,所以实数a的取值集合是{1,-1,3,-3}.‎ ‎4.圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+4=0的公切线有(  )‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析:选D.圆C1:(x+1)2+(y+1)2=4,‎ 所以圆心C1(-1,-1),半径长r1=2;‎ 圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1,‎ 所以圆心C2(2,1),半径长r2=1.‎ 所以d==,r1+r2=3,‎ 所以d>r1+r2,所以两圆外离,所以两圆有4条公切线.‎ ‎5.(2018·兰州市诊断考试)已知圆C:(x-)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0),(t>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则当t取得最大值时,点P的坐标是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.设P(a,b)为圆上一点,由题意知,·=0,即(a+t ‎)(a-t)+b2=0,a2-t2+b2=0,所以t2=a2+b2=|OP|2,|OP|max=2+1=3,即t的最大值为3,此时kOP=,OP所在直线的倾斜角为30°,所以点P的纵坐标为,横坐标为3×=,即P.‎ ‎6.(2018·四川外国语学校月考)曲线x2+(y-1)2=1(x≤0)上的点到直线x-y-1=0的距离的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是(  )‎ A. B.2‎ C.+1 D.-1‎ 解析:选C.因为圆心(0,1)到直线x-y-1=0的距离为=>1,所以半圆x2+(y-1)2=1(x≤0)到直线x-y-1=0的距离的最大值为+1,最小值为点(0,0)到直线x-y-1=0的距离为,所以a-b=+1-=+1,故选C.‎ ‎7.已知直线l:x+my-3=0与圆C:x2+y2=4相切,则m=________.‎ 解析:因为圆C:x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,直线l:x+my-3=0与圆C:x2+y2=4相切,‎ 所以2=,‎ 解得m=±.‎ 答案:± ‎8.已知A是射线x+y=0(x≤0)上的动点,B是x轴正半轴的动点,若直线AB与圆x2+y2=1相切,则|AB|的最小值是________.‎ 解析:设A(-a,a),B(b,0)(a,b>0),则直线AB的方程是ax+(a+b)y-ab=0.‎ 因为直线AB与圆x2+y2=1相切,所以 d==1,化简得‎2a2+b2+2ab=a2b2,‎ 利用基本不等式得a2b2=‎2a2+b2+2ab≥2ab+2ab,即ab≥2+2,‎ 从而得|AB|==ab≥2+2,‎ 当b=a,即a=,b=时,|AB|的最小值是2+2.‎ 答案:2+2 ‎9.圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心坐标为(2,1).‎ ‎(1)若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程;‎ ‎(2)若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|=2,求圆O2的方程.‎ 解:(1)因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,‎ 所以圆心O1(0,-1),半径r1=2.‎ 设圆O2的半径为r2,由两圆外切知|O1O2|=r1+r2.‎ 又|O1O2|==2,‎ 所以r2=|O1O2|-r1=2-2.‎ 所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=12-8.‎ ‎(2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r,①‎ 又圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,②‎ ‎①-②得AB所在的直线方程为4x+4y+r-8=0.‎ 设线段AB的中点为H,‎ 因为r1=2,所以|O1H|==.‎ 又|O1H|==,所以=,解得r=4或r=20.‎ 所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.‎ ‎10.(2018·广东汕头模拟)已知圆C经过点(2,4),(1,3),圆心C在直线x-y+1=0上,过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M,N两点.‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)(ⅰ)请问·是否为定值,若是,请求出该定值,若不是,请说明理由;‎ ‎(ⅱ)若·=12(O为坐标原点),求直线l的方程.‎ 解:(1)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则依题意,得解得 ‎∴圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1.‎ ‎(2)(ⅰ)·为定值.‎ 过点A(0,1)作直线AT与圆C相切,切点为T,易得|AT|2=7,‎ ‎∴·=||·||cos 0°=|AT|2=7,‎ ‎∴·为定值,且定值为7.‎ ‎(ⅱ)依题意可知,直线l的方程为y=kx+1,设M(x1,y1),N(x2,y2),将y=kx+1代入(x-2)2+(y-3)2=1并整理,得(1+k2)x2‎ ‎-4(1+k)x+7=0,∴x1+x2=,x1x2=,‎ ‎∴·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8=12 ,即=4,解得k=1,又当k=1时Δ>0,∴直线l的方程为y=x+1.‎ B级 能力提升练 ‎11.在平面直角坐标系xOy中,设点P为圆C:(x-2)2+y2=5上的任意一点,点Q(‎2a,a+2),其中a∈R,则线段PQ长度的最小值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A.显然点Q(‎2a,a+2)是直线x-2y+4=0上的点,圆心C(2,0),半径为,圆心C到直线x-2y+4=0的距离为d==,所以PQ长度的最小值为-=.‎ ‎12.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(  )‎ A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 解析:选B.圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)可化为:x2+(y-a)2=a2,由题意,d=,所以有,a2=+2,解得a=2.所以圆M:x2+(y-2)2=22,圆心距为,半径和为3,半径差为1,所以二者相交.‎ ‎13.(2017·抚州一模)已知直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,则a+b+ab的最大值为(  )‎ A.1 B.-1‎ C.+ D.1+ 解析:选C.因为直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,所以=1,即a2+b2=1,‎ 令a=cos θ,b=sin θ(θ是参数),即 a+b+ab=cos θ+sin θ+cos θsin θ,令 cos θ+sin θ=t(-≤t≤),则 cos θsin θ=,即a+b+ab=,由二次函数的性质可知,当t=时,a+b+ab的最大值为+.‎ ‎14.过点C(3,4)作圆x2+y2=5的两条切线,切点分别为A,B,则点C到直线AB的距离为________.‎ 解析:以OC为直径的圆的方程为+(y-2)2=,AB为圆C与圆O:x2+y2=5的公共弦,所以AB的方程为x2+y2-=5-,化为3x+4y-5=0,C到AB的距离为d==4.‎ 答案:4‎ ‎15.过点P(-1,1)作圆C:(x-t)2+(y-t+2)2=1(t∈R)的切线,‎ 切点分别为A,B,则·的最小值为________.‎ 解析:圆C:(x-t)2+(y-t+2)2=1的圆心坐标为(t,t-2),半径为1,‎ 所以PC==≥,‎ PA=PB=,‎ cos∠APC=,所以cos∠APB=2-1=1-,‎ 所以·=(PC2-1)=-3+PC2+≥-3+8+=,‎ 所以·的最小值为.‎ 答案: C级 素养加强练 ‎16.已知△ABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为⊙H.‎ ‎(1)若直线l过点C,且被⊙H截得的弦长为2,求直线l的方程.‎ ‎(2)对于线段BH上的任意一点P,若在以点C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N,使得点M是线段PN的中点,求⊙C的半径r的取值范围.‎ 解:(1)线段AB的垂直平分线方程为x=0,线段BC的垂直平分线方程为x+y-3=0,所以外接圆圆心为H(0,3),半径为=,‎ ‎⊙H的方程为x2+(y-3)2=10.‎ 设圆心H到直线l的距离为d,‎ 因为直线l被⊙H截得的弦长为2,所以d==3.‎ 当直线l垂直于x轴时,显然符合题意,即x=3为所求;当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y-2=k(x-3),则=3,解得k=,直线l的方程为4x-3y-6=0.‎ 综上,直线l的方程为x=3或4x-3y-6=0.‎ ‎(2)直线BH的方程为3x+y-3=0,‎ 设P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y),‎ 因为点M是线段PN的中点,所以M,‎ 又M,N都在半径为r的⊙C上,‎ 所以 即 因为此方程组有解,‎ 即以(3,2)为圆心,r为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心,2r为半径的圆有公共点,‎ 所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2,又‎3m+n-3=0,‎ 所以r2≤‎10m2‎-‎12m+10≤9r2对∀m∈[0,1]成立.‎ 而f(m)=‎10m2‎-‎12m+10在[0,1]上的值域为,‎ 故r2≤且10≤9r2.‎ 又线段BH与圆C无公共点,‎ 所以(m-3)2+(3-‎3m-2)2>r2,对∀m∈[0,1]成立,即r2<.‎ 故⊙C的半径r的取值范围为.‎
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