数学文卷·2018届湖北省荆州中学高三第十三次双周考（2018

数学文卷·2018届湖北省荆州中学高三第十三次双周考（2018

荆州中学2018届高三年级双周考试卷（13）‎ 文科数学 一、选择题：‎ ‎1．设全集，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．某学校为了了解高一、二、三这个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 ‎ ‎ A．抽签法 B．系统抽样法 ‎ C．分层抽样法 D．随机抽样法 ‎3．若为实数，且，则= ‎ ‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎4．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．若双曲线的一条渐近线与圆有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ‎ ‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎6．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 ‎ ‎ A．4cm3 ‎ B．5 cm3 ‎ C．6 cm3 ‎ D．7 cm3 ‎ ‎7．若实数x，y满足，则目标函数的最小值为 ‎ ‎ A．2 B．0 C．5 D．‎ ‎8．函数的图像如图所示，则 的值等于 ‎ ‎ A． B．‎ C． D．1‎ ‎9．已知函数，则其单调增区间是 ‎ A．（0，1] B．[0，1] C．（0，+∞） D．（1，+∞）‎ ‎10．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3…，24‎ 这24个整数中等可能随机产生．则按程序框图正确编程运行时输 出y的值为3的概率为 ‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．在△ABC中，角A，B，C的边分别为a，b，c，已知，‎ ‎△ABC的面积为9，且，则边长a的值为 ‎ ‎ A．3 B．6 C．4 D．2‎ ‎12．已知直线交椭圆于A，B两点，若C，D为椭圆M上的两点，四边形ACBD的对角线CD⊥AB，则四边形ACBD的面积的最大值为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：‎ ‎13．已知向量，且，的夹角为，则在方向上的投影为 ▲ ．‎ ‎14．已知l为曲线在A（1，2）处的切线，若l与二次曲线也相切，则 ▲ ．‎ ‎15．函数的图象向左平移个单位得出函数，则 ▲ ．‎ ‎16．已知A，B，C是球O球面上的三点，且AB=AC=3，，D为球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，当三棱锥D-ABC体积最大时，其高为 ▲ ．‎ 三、解答题 ‎17．已知数列的前n项和（n为正整数）．‎ ‎ （Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，，求．‎ ‎18．如图1，已知直角梯形ABCD中，，AB//DC，AB⊥AD，E为CD的中点，沿AE把△DAE折起到△PAE的位置（D折后变为P），使得PB=2，如图2．‎ 图1 图2‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面PAE⊥平面ABCE；‎ ‎（Ⅱ）求点B到平面PCE的距离．‎ ‎19. 如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．‎ ‎（Ⅰ）求3月1日到14日空气质量指数的中位数；‎ ‎（Ⅱ）求此人到达当日空气重度污染的概率；‎ ‎（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）‎ ‎20．如图，抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．‎ ‎ （Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求；‎ ‎（Ⅱ）若，求圆C的半径．‎ ‎21．已知函数，．‎ ‎ （Ⅰ）求的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：曲线与曲线有唯一公共点．‎ ‎22．【选修4—4 坐标系与参数方程】‎ ‎ 已知动点P、Q都在曲线上，对应参数分别为与（），M为PQ的中点．‎ ‎(Ⅰ) 求M的轨迹的参数方程；‎ ‎ (Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎23．【选修4—5 不等式选讲】‎ 已知函数，其中.‎ ‎(Ⅰ)当时，求不等式的解集；‎ ‎(Ⅱ)已知关于的不等式的解集为，求的值．‎ 高三数学（文科）参考答案及评分标准（13）‎ 一、选择题：1—5 DCBDC 6—10 ADCDC 11—12 AB 二、填空题：13． 14．4 15． 16．‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：（Ⅰ）在中，令，可得，‎ ‎ 即……………………………………………………………………1分 ‎ 当时，‎ ‎ ∴……………………………………2分 ‎ ∴，即 ‎ ∵，∴，即当时，‎ ‎ 又，∴数列是首项和公差均为1的等差数列…………4分 ‎ 于是，∴……………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得……………………………………7分 ‎ ∴ ①‎ ‎ 由①－②得 ‎ ……………………9分 ‎ ‎ ‎ ∴…………………………………………………………12分 ‎18．解：（Ⅰ）如图，取AE的中点O，连接PO，OB，BE．‎ ‎ 由于在平面图形中，如题图1，连接BD，BE，易知四边形ABED为正方形，‎ ‎ ∴在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，‎ ‎ ∴PO⊥AE，OB⊥AE，PO=OB=，‎ ‎ ∵PB=2，∴，‎ ‎ ∴PO⊥OB………………………………………………………………3分 ‎ 又，∴平面PO⊥平面ABCE，‎ ‎ ∵PO平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABCD……………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PO⊥AE，OB⊥AE，，故AE⊥平面POB．‎ ‎ ∵PB平面POB，∴AE⊥PB，又BC//AE，∴BC⊥PB．‎ ‎ 在Rt△PBC中，‎ ‎ 在△PEC中，PE=CE=2，‎ ‎∴………………………………9分 设点B到平面PCE的距离为d，由，‎ 得…………………………12分 ‎19．解：（Ⅰ）由题意知，中位数为103.5………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i=1，2，…，13）．‎ ‎ 根据题意，，且．‎ ‎ 设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则．‎ ‎ ∴………………………………8分 ‎（Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大……………………12分 ‎20．解：（Ⅰ）抛物线的准线l的方程为………………………………1分 ‎ 由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为（1，2）…………………………2分 ‎ ∴点C到准线l的距离d=2，又，‎ ‎ ∴……………………………………5分 ‎ （Ⅱ）设，则圆C的方程为………6分 ‎ 即．‎ ‎ 由，得．‎ ‎ 设，则 ‎ ，‎ ‎ 由，得……………………………………9分 ‎ ∴，解得，此时． 圆心C的坐标为，‎ 从而， 即圆C的半径为……………12分 ‎21．解：（Ⅰ）的反函数为，设所求切线的斜率为k．‎ ‎ ∵，∴，‎ ‎ 于是在点（1，0）处的切线方程为…………………………4分 ‎ （Ⅱ）证法一：曲线与曲线公共点的个数等于函数零点的个数……………………………………6分 ‎ ∵，∴存在零点………………………………7分 ‎ 又，令，则．‎ ‎ 当时，，∴在上单调递减；‎ ‎ 当时，，∴在上单调递增，‎ ‎ ∴在处有唯一的极小值……………………10分 ‎ 即在上的最小值为．‎ ‎ ∴（当且仅当时等号成立），‎ ‎ ∴在上是单调递增的，∴在上有唯一的零点，‎ ‎ 故曲线与曲线有唯一公共点………………12分 ‎ 证法二：∵，，‎ ‎ ∴曲线与曲线公共点的个数等于曲线与的公共点的个数………………………6分 ‎ 设，则，即当时，两曲线有公共点．‎ ‎ 又（当且仅当时等号成立），∴在上单调递减，∴与有唯一的公共点，‎ ‎ 故曲线与曲线有唯一公共点…………………12分 ‎22．解：(Ⅰ) 依题意有…………………………2分 ‎ 因此………………………………………3分 ‎ M的轨迹的参数方程为（为参数，）5分 ‎(Ⅱ) M点到坐标原点的距离…………7分 ‎ 当时，，故M的轨迹过坐标原点…………………………10分 ‎23．解：(Ⅰ)当时，………………………………1分 ‎ 的解集为…………………………5分 ‎ (Ⅱ)记，则 ‎ ………………………………………………7分 ‎ 由，解得……………………………………9分 ‎ 又已知的解集为，‎ ‎ ∴，于是………………………………………………10分