2017-2018学年江西省吉安市高二下学期期末考试数学(文)试题-解析版

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2017-2018学年江西省吉安市高二下学期期末考试数学(文)试题-解析版

绝密★启用前 江西省吉安市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1.已知集合,集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:求出集合,,即可得到.‎ 详解: ‎ ‎ ‎ 故选A.‎ 点睛:本题考查交集的运算,属基础题.‎ ‎2.已知复数,则“”是“为纯虚数”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】分析:根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可.‎ 详解:若 则 ,故是纯虚数,是充分条件, 反之,若是纯虚数, 则一定是,是必要条件, 故选:C.‎ 点睛:本题考查了充分必要条件,考查纯虚数的定义,是一道基础题.‎ ‎3.命题“,”的否定为( )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:根据含有量词的命题的否定为:将任意改为存在,结论否定,即可写出命题的否定.‎ 详解:由命题“,”,其否定为:, .‎ 故选C.‎ 点睛:本题的考点是命题的否定,主要考查含量词的命题的否定形式:将任意与存在互换,结论否定即可.‎ ‎4.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为,则判断框内的条件可以为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:分析程序,可知该程序的作用是输出满足条件时的值,填出最后一次循环时判断框中的条件即可.‎ 详解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是输出满足条件时的值, , 故最后一次进行循环时的值为6, 故判断框中的条件应为. 故选:B.‎ 点睛:本题考查了程序框图的应用问题,是基础题目.‎ ‎5.正弦函数是奇函数,是正弦函数,因此是奇函数,以上推理( )‎ A. 结论正确 B. 大前提不正确 C. 小前提不正确 D. 大前提、小前提、结论都不正确 ‎【答案】C ‎【解析】分析:根据题意,分析所给推理的三段论,找出大前提,小前提,结论,再判断正误即可得到答案.‎ 详解:根据题意,该推理的大前提:正弦函数是奇函数,正确;‎ 小前提是:是正弦函数,因为该函数不是正弦函数,故错误;‎ 结论:是奇函数,,故错误.‎ 故选:C.‎ 点睛:本题考查演绎推理的基本方法,关键是理解演绎推理的定义以及三段论的形式.‎ ‎6.若,,,则,,的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:根据指数函数与对数函数的运算性质,即可判断,,的大小关系.‎ 详解:由题 , ‎ 故. .‎ 选D.‎ 点睛:本题考查了指数函数与对数函数的运算性质应用问题,是基础题.‎ ‎7.某射手射击一次命中的概率为,连续两次射击均命中的概率是,已知该射击手某次射中,则随后一次射中的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:某次射中,设随后一次射中的概率为,利用相互独立事件概率乘法公式能求出的值.‎ 详解:某次射中,设随后一次射中的概率为 , ∵某射击手射击一次命中的概率为0.8,连续两次均射中的概率是0.5, 解得 ‎ 故选:A.‎ 点睛:本题考查概率的求法,涉及到相互独立事件概率乘法公式的合理运用,考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力,考查化归与转化思想,是基础题.‎ ‎8.若函数的定义域为,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:由题意知在上恒成立,因二次项的系数是参数,所以分 和两种情况,再利用二次函数的性质即开口方向和判别式的符号,列出式子求解,最后求并集即可.‎ 详解:∵函数的定义域为, ∴在上恒成立, ①当时,有 在上恒成立,故符合条件; ②当时,由 ,解得, 综上,实数的取值范围是. 故选B.‎ 点睛:本题的考点是对数函数的定义域,考查了含有参数的不等式恒成立问题,由于含有参数需要进行分类讨论,易漏二次项系数为零这种情况,当二次项系数不为零时利用二次函数的性质列出等价条件求解.‎ ‎9.曲线作线性变换后得到的回归方程为,则函数的单调递增区间为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:令,对函数进行二次拟合得出a,b的值,代入计算即可.‎ 详解:令 ‎,解得,‎ ‎ ,开口向上,‎ ‎ 的单调递增区间为.‎ 故选:D.‎ 点睛:本题考查了非线性相关的二次拟合问题,选择对数变换是关键.‎ ‎10.函数的零点所在的大致区间是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:显然该函数在定义域内是减函数,所以至多有一个零点,利用零点存在性定理判断即可.‎ 详解:显然函数在定义域内单调递减,故该函数至多有一个零点. 因为 ‎ 故.故零点所在的大致区间为.‎ 故选A.‎ 点睛:本题考查了利用函数的单调性研究函数零点个数问题.要注意估算在本题中的应用.‎ ‎11.定义在上的函数满足,当时,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:根据题意,可得,得是最小正周期为4‎ 的周期函数.由此可求的值.‎ 详解:可得是最小正周期为4的周期函数.则,‎ ‎ ‎ 故选C.‎ 点睛:本题给出函数满足的条件,求特殊自变量对应的函数值.着重考查了函数的周期性及其证明、对数的运算法则和函数性质的理解等知识,属于中档题.‎ ‎12.设,,若对任意的,存在,使得,则实数的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:函数在上单调递增,所以的值域为,‎ 对分类讨论,求出在的值域,根据题意得出两值域的包含关系,从而解出a的范围.‎ 详解:函数在上单调递增,所以的值域为,‎ 当 时,为增函数,在]上的值域为,由题意可得 ‎ 当 时,为减函数,在]上的值域为,由题意可得 ‎ 当时,为常数函数,值域为 ,不符合题意;‎ 综上,实数的取值范围为.‎ 故选D.‎ 点睛:本题考查了分段函数的值域计算,集合的包含关系,属于中档题.‎ 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13.若复数满足,则的虚部为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.‎ 详解:复数满足,则 故的虚部为.‎ 点睛:题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎14.在极坐标系中,点到圆的圆心的距离为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:先根据圆的极坐标方程转化成直角坐标系方程,求得圆心坐标,把点转化成直角坐标,最后利用两点间的距离公式求得答案.‎ 详解: ,‎ ‎,‎ ‎,即,‎ 圆心为,点的直角坐标为,‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ 点睛:求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用;‎ ‎(2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解.‎ 使用后一种方法时,应注意若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.‎ ‎15.若点在曲线(为参数,)上,则的最小值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:由(为参数,)可得:.因此可以看作与圆:上的点的连线的直线的斜率的取值范围.利用点到直线的距离公式即可得出.‎ 详解:由(为参数,)可得:.因此可以看作与圆:上的点的连线的直线的斜率的取值范围. 设过点的直线方程为:,化为, ‎ 解得 . 解得 . ∴的最小值是. 故答案为:.‎ 点睛:本题考查了圆的参数方程、斜率计算公式、直线与圆的位置关系,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎16.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上纹起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,,……,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则__________.‎ ‎【答案】9999‎ ‎【解析】分析:观察所告诉的式子,找到其中的规律,问题得以解决.‎ 详解:,,,,‎ 按照以上规律,可得.‎ 故答案为:9999.‎ 点睛:常见的归纳推理类型及相应方法 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:‎ ‎(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.‎ ‎(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17.已知集合,,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)或.‎ ‎【解析】分析:(1)分别求出与中不等式的解集,确定出与,求出A与的交集即可;‎ ‎(2)分,以及三种情况,分别求出集合中不等式的解集,根据为与交集的子集判断即可确定出的范围.‎ 详解:‎ ‎(1)∵,,∴.‎ ‎(2)①当时,,符合,‎ ‎②当时,,∵,∴,解得,‎ ‎③当时,,此时,不成立.‎ 综上,或.‎ 点睛:此题考查了交集及其运算,以及集合的包含关系及应用,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.‎ ‎18.为了巩固全国文明城市创建成果,今年吉安市开展了拆除违章搭建铁皮棚专项整治行为.为了了解市民对此项工作的“支持”与“反对”态度,随机从存在违章搭建的户主中抽取了男性、女性共名进行调查,调查结果如下:‎ 支持 反对 合计 男性 女性 合计 ‎(1)根据以上数据,判断是否有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与“性别”有关;‎ ‎(2)现从参与调查的女户主中按分层抽样的方法抽取人进行调查,分别求出所抽取的人中持“支持”和“反对”态度的人数;‎ ‎(3)现从(2)中所抽取的人中,再随机抽取人赠送小礼品,求恰好抽到人持“支持”态度的概率?‎ 参考公式:,其中.‎ 参考数据:‎ ‎【答案】(1)没有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与性别有关;(2)持 “支持”态度的有3人,“反对”态度的有2人;(3).‎ ‎【解析】分析:(1)利用列联表,计算,对照数表得出概率结论; (2)利用分层抽样原理计算所抽取的6人中女户主持 “支持”态度和持反对态度的的人数; (3)利用组合知识计算基本事件数,求出对应的概率值.‎ 详解:‎ ‎(1),‎ ‎∴没有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与性别有关.‎ ‎(2)抽取的名女户主中,持 “支持”态度的有人,‎ 持反对态度的有人.‎ ‎(3).‎ 点睛:本题考查了独立性检验的应用问题,也考查了分层抽样方法的应用问题、求古典概型的概率问题,是中档题.‎ ‎19.证明下列不等式.‎ ‎(1)当时,求证:;‎ ‎(2)设,,若,求证:.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】分析:(1)利用分析法进行证明;‎ ‎(2)利用常数代换法应用基本不等式即可证明.‎ 详解:证明:(1)要证;即证,‎ 只要证,只要证,‎ 只要证,由于,只要证,‎ 最后一个不等式显然成立,所以; ‎ ‎(2)因为,,,所以,‎ ‎,‎ 当且仅当,即时,等号成立,所以.‎ 点睛:利用分析法证明时应注意的问题 ‎(1)分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.‎ ‎(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的,它的常用书面表达形式为“要证……只需证……”或用“⇐”.注意用分析法证明时,一定要严格按照格式书写.‎ ‎20.对于函数,若存在实数,使成立,则称为的不动点.‎ ‎(1)当,时,求的不动点;‎ ‎(2)若对于任何实数,函数恒有两相异的不动点,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】分析:(1)把的值代入方程解出即可;‎ ‎(2)由二次函数的性质,得不等式组,解出即可.‎ 详解:‎ ‎∵,‎ ‎(1)当,时,.‎ 设为其不动点,即.‎ 则.∴,,‎ ‎∴不动点是,.‎ ‎(2)由得:.由已知,此方程有两相异实根,恒成立,‎ 即.‎ 也即对任意恒成立.‎ ‎∴,即,整理得,‎ 解得:.‎ 点睛:本题考查了二次函数的性质,考查了新定义问题,考查了转化思想,是一道中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若对于一切,均有成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析:(1)直接解一元二次不等式即可;‎ ‎(2)将不等式转化为恒成立问题,分离参数,借助基本不等式得到的取值范围.‎ 详解:(1)∵,∴,∴,∴的解集为;‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴当时,恒成立,∴,‎ ‎∴对一切均有成立,‎ 又,‎ 当且仅当时,等号成立.‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ 点睛:本题考查了一元二次不等式的解法,以及将不等式转化为恒成立问题,分离参数,基本不等式的应用.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,直线的参数方程为:(为参数),以坐标原点 为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线交于,两点.‎ ‎(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若点的极坐标为,求的面积.‎ ‎【答案】(1)直线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为;(2).‎ ‎【解析】分析:(1)直线的参数方程为:(为参数),消去t即可;曲线的极坐标方程为,利用直角坐标与极坐标之间的互化公式即可;‎ ‎(2)转换成直角坐标去进行求解.‎ 详解:(1)因为直线的参数方程为,得,‎ 故直线的普通方程为,‎ 又曲线的极坐标方程为,即,‎ 因为,,∴,即,‎ 故曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)因为点的极坐标为,∴点的直角坐标为,∴点到直线的距离.‎ 将,代入中得,,,‎ ‎ ,‎ ‎∴的面积.‎ 点睛:求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用;‎ ‎(2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解.‎ 使用后一种方法时,应注意若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若的解集包含,求的范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析:(1)当时,将要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求;‎ ‎(2)由题意得当时,恒成立,化简可得,即,由此求得a的取值范围.‎ 详解:(1)当时,可化为:,‎ ‎①当时,不等式为:,解得:,故,‎ ‎②当时,不等式为:,解得:,故,‎ ‎③当时,不等式为:,解得:,故.‎ 综上,原不等式的解集为:.‎ ‎(2)∵的解集包含,∴在内恒成立,‎ ‎∴在内恒成立,‎ ‎∴在内恒成立,‎ ‎∴,解得,即的取值范围为.‎ 点睛:本题主要考查绝对值不等式的解法,绝对值三角不等式,函数的恒成立问题.‎
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