【数学】2018届一轮复习人教A版三角篇学案

【数学】2018届一轮复习人教A版三角篇学案

高考考纲对于解三角形的要求为：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度 量问题. 综合近两年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点．不仅 选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视． 【3 年高考试题回顾】 1.【2015 新课标 1】已知 , ,a b c 分别是 ABC 内角 , ,A B C 的对边， 2sin 2sin sinB A C . （I）若 a b ，求 cos ;B | | |X|X| （II）若 90B   ，且 2,a  求 ABC 的面积. 【答案】（I） 1 4 （II）1 【考点定位】正弦定理；余弦定理；运算求解能力 【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角 关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形 和计算三角形面积，是基础题. 2.【2015 新课标 2】△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分  BAC,BD=2DC. （I）求 sin sin B C   ； （II）若 60BAC   ,求 B . 【答案】（I） 1 2 ；30 . 试题解析：（I）由正弦定理得 , ,sin sin sin sin AD BD AD DC B BAD C CAD      因为 AD 平分  BAC,BD=2DC,所以 sin 1 .sin 2 B DC C BD    . （II）因为  180 , 60 ,C BAC B BAC         所以   3 1sin sin cos sin .2 2C BAC B B B         由（I）知 2sin sinB C   , 所以 3tan , 30 .3B B     【考点定位】本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运 算能力. 【 名 师 点 睛 】 三 角 形 中 的 三 角 变 换 常 用 到 诱 导 公 式,    sin sin ,cos cos ,A B C A B C      tan tanA B C   ，就是常用的结论,另 外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角 化边.” 【3 年高考试题分析】 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1．边和角的计算． 2．面积的计算． 【必备基础知识融合】 1．正弦定理和余弦定理 2.三角形中的常用公式及变式 (1)三角形面积公式 S＝1 2bcsin A＝1 2acsin B＝1 2absin C=abc 4R =1 2(a＋b＋c)r．其中 R，r 分别 为三角形外接圆、内切圆半径． (2)A＋B＋C＝π，则 A＝π－(B＋C)，A 2 ＝π 2 －B＋C 2 ，从而 sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B ＋C)，tanA＝－tan(B＋C)；sinA 2 ＝cosB＋C 2 ，cosA 2 ＝sinB＋C 2 ，tanA 2 ＝ 1 tanB＋C 2 .tanA＋tanB＋tanC ＝tanAtanBtanC. (3)若三角形三边 a，b，c 成等差数列，则 2b＝a＋c ⇔2sinB＝sinA＋sinC ⇔2sinB 2 ＝ cosA－C 2 ⇔2cosA＋C 2 ＝cosA－C 2 ⇔tanA 2tanC 2 ＝1 3. (4)在△ABC 中，a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝acosB＋bcosA.(此定理称作“射 影定理”，亦称第一余弦定理) 【解题方法规律技巧】 典例 1：在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且cosB cosC ＝－ b 2a＋c . (1)求 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积． 解：(1)由余弦定理知，cosB＝a2＋c2－b2 2ac ，cosC＝a2＋b2－c2 2ab ，将上式代入cosB cosC ＝－ b 2a＋c 得 a2＋c2－b2 2ac · 2ab a2＋b2－c2 ＝－ b 2a＋c ， 整理得 a2＋c2－b2＝－ac. ∴cosB＝a2＋c2－b2 2ac ＝－ac 2ac ＝－1 2. ∵B 为三角形的内角，∴B＝2 3π. (2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝2 3π代入 b2＝a2＋c2－2accosB，得 13＝42－2ac－2accos2 3π，解得 ac＝3. ∴S△ABC＝1 2acsinB＝3 3 4 . 【规律总结】 在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化 为角的关系(注意应用 A＋B＋C＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变 形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式， 否则有可能漏掉一种形状．同时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．如： (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)在 △ ABC 中，A，B，C 成等差数列的充要条件是 B＝60°. 典例 2：在 △ ABC 中，A、B、C 是三角形的三个内角，a、b、c 是三个内角对应的三边，已知 b2＋c2＝a2＋bc. ①求角 A 的大小； ②若 sinBsinC＝3 4 ，试判断 △ ABC 的形状，并说明理由． 由 sinBsinC＝3 4 ，得 sinBsin(2π 3 －B)＝3 4 . 即 sinB(sin2π 3 cosB－cos2π 3 sinB)＝3 4 . 3 2 sinBcosB＋1 2sin2B＝3 4 ， 3 4 sin2B＋1 4(1－cos2B)＝3 4 ， 3 2 sin2B－1 2 cos2B＝1，∴sin(2B－π 6 )＝1. 又∵－π 6 <2B－π 6 <7π 6 ，∴2B－π 6 ＝π 2 ，即 B＝π 3 . ∴C＝π 3 ，也就是 △ ABC 为等边三角形． 【规律总结】应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一 个解斜三角形的模型； (3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数 模型的解； (4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际，从而得出实际问题的解． 典例 3：设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且有 2sinBcosA＝sinAcosC ＋cosAsinC. (1)求角 A 的大小； (2)若 b＝2，c＝1，D 为 BC 的中点，求 AD 的长． (2)方法一：因为 AD→ 2＝(AB→ ＋AC→ 2 )2＝1 4(AB→ 2＋AC→ 2＋2AB→ ·AC→ )＝1 4(1＋4＋2×1×2×cosπ 3 ) ＝7 4 ，所以|AD→ |＝ 7 2 ，从而 AD＝ 7 2 . 方法二：因为 a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×1 2 ＝3， 所以 a2＋c2＝b2，B＝π 2 . 因为 BD＝ 3 2 ，AB＝1，所以 AD＝ 1＋3 4 ＝ 7 2 . 【规律总结】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起， 从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积 等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方 法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、 等价转化思想及分类讨论思想． 典 例 4 ： 已 知 a ， b ， c 分 别 为 ABC 三 个 内 角 A ， B ， C 的 对 边 ， cos 3 sin 0a C a C b c    . （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）若 ABC 为锐角三角形，且 3a  ，求 2 2b c 的取值范围. （Ⅱ）由正弦定理： sin sin sin a b c A B C   ，  2 2 2 24 sin sinb c B C     2 2 cos2 cos2 4B C   22cos2 2cos2 3B B      4 cos2 3sin2B B   2sin 2 46B       又 0 2{ 20 3 2 B B         ，得 6 2B   ， 526 6 6B     ； 所以1 2sin 2 26B       ， 2 25 6b c   . 典例 5：在 ABC ， 3B  ， 2BC  （1）若 3AC  ，求 AB 的长 （2）若点 D 在边 AB 上， AD DC ， DE AC ， E 为垂足， 6 2ED  ，求角 A 的 值. 【规律总结】 （1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理. （2）如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理. （3）以上特征都不明显时,要考虑两个定理都有可能用到. （4）解题中一定要注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制. （5）遇见中点时要想到与向量的加法运算结合； （6）遇见角平分线时要想到角平分线定理. （7）在三角形中，大边对大角，正线大则边大，自然角就大. （8）解三角形的实际应用问题的求解关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中,然后利用 正、余弦定理求解. 典例 6：某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮 船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 n ile 的 A 处，并以 30 n ile/h 的航行速度沿正 东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以 v n ile/h 的航行速度匀速行驶，经过 t h 与轮船 相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 n ile/h，试设计航行方案(即确定航行方向和航 行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行 方向为正北方向． 设小艇与轮船在 C 处相遇． 在 Rt△OAC 中，OC＝20cos30°＝10 3，AC＝20sin30°＝10. 又 AC＝30t，OC＝vt， 此时，轮船航行时间 t＝10 30 ＝1 3 ，v＝10 3 1 3 ＝30 3. 即小艇以 30 3 n ile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． 于是，当θ＝30°时，t＝10＋10 3tanθ 30 取得最小值，且最小值为2 3. 【规律总结】 ①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数 问题， 根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形 的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理 中，有关向量的计算也常用到解三角形的方 法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什 么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出 帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简 便． 【归纳常用万能模板】 【引例】 (2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为3 3 2 ，求△ABC 的周长. 规范解答 (1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin A·cos B＋sin B·cos A)＝sin C， 1 分 得分点① 即 2cos C·sin(A＋B)＝sin C.3 分 得分点② 因为 A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)， 所以 sin(A＋B)＝sin C>0， 所以 2cos C＝1，cos C＝1 2.5 分 得分点③ 所以 C＝π 3 .6 分 得分点④ (2)由余弦定理及 C＝π 3 得 7＝a2＋b2－2ab·1 2 ，8 分 得分点⑤ 即(a＋b)2－3ab＝7， 又 S＝1 2ab·sin C＝ 3 4 ab＝3 3 2 ， 所以 ab＝6，10 分 得分点⑥ 所以(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5，11 分 得分点⑦ 所以△ABC 的周长为 a＋b＋c＝5＋ 7. 12 分 得分点⑧ : 【解答细节突破】 1.牢记公式，正确求解：在三角函数及解三角形类解答题中，通常涉及三角恒等变换公式、 诱导公式及正弦定理和余弦定理，这些公式和定理是解决问题的关键，因此要牢记公式和定 理.如本题第(2)问要应用到余弦定理及三角形的面积公式. 2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接 用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解. 3.写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分， 无则不给分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示 出的过程(即得分点①)，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出则不得分，只有将面积转化 为得分点⑦才得分. 【解题程序展示】 第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式； 第二步：利用三角恒等变换化简关系式； 第三步：求 C 的余弦值，得角 C 的值. 第四步：利用三角形的面积为3 3 2 ，求出 ab 的值； 第五步：根据 c＝ 7，利用余弦定理列出 a，b 的关系式； 第六步：求(a＋b)2 的值，进而求△ABC 的周长. 【易错易混温馨提醒】 一、多解问题的取舍容易忽视： 易错 1：①如图 C 中，已知点 D 在 C 边上，且 D C 0    ， 2 2sin C 3   ， 3 2  ， D 3  ． （1）求 D 的长； （2）求 cosC ． 解析：（1）因为 D C   ，所以sin C sin D cos D2          ， 所以 2 2cos D 3   ． 在 D 中，由余弦定理可知， 2 2 2D D 2 D cos D         即 2D 8 D 15 0     ，解之得 D 5  或 D 3  ，由于 D   ，所以 D 3  ． （2）在 D 中，由正弦定理可知， D sin D sin D     ， 又由 2 2cos D 3   可知 1sin D 3   ，所以 sin D 6sin D D 3      因为 D D C C C2           ，即 6cosC 3  . ②在 中， ,点 在边 上， ，且 . （1）若 的面积为 ，求 ； （2）若 ，求 . 【答案】（1） （2） 或 . （2）在 中， ，可设 ，则 ，又 ，由正弦 定理，有 ，所以 .在 中， ，由正弦定理 得， ，即 ， 化简得 ，于是 ， 因为 ，所以 ， 所以 或 ， 解得 或 ，故 或 . 二、由 2 2sin cos 1(    为三角形内角)，知sin 求 cos 时的正负问题容易出错： 易错 2：如图，在 ABC 中， 3B   ， D 为边 BC 上的点， E 为 AD 上的点，且 8AE  ， 4 10AC  ， 4CED   ． （1）求CE 的长； （2）若 5CD  ，求 cos DAB 的值． 【答案】（1） 4 2CE  （2） 2 1 2 2 2 2 cosAC AE CE AE CE AEC     ， 所以 2160 64 8 2CE CE   ， 整理得 2 8 2 96 0CE CE   ， 解得： 4 2CE  ． 故CE 的长为 4 2 。 三、已知内角为锐时，易知转化为余弦值大于 0，但容易忽视小于 1，钝角亦是如此，余弦 应该是(-1,0). 在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、，已知 ，且 . （1）当 ， 时，求 、的值； （2）若角 为锐角，求 的取值范围 【答案】（1） （2） 四、注意求值平方后开方时取正负的问题： 在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 4 sin 7b A a . （1）求sin B 的值； （2）若 , ,a b c 成等差数列，且公差大于 0，求 cos cosA C 的值. 【答案】（1） 7sin 4B  ；（2） 7cos cos 2A C  . 【解析】 试题分析：本题主要考查解三角形中的正弦定理与数列的综合问题、利用正弦定理求三角函 数值、等差数列的性质、三角函数值问题等基础知识，同时考查运算转化能力和计算能力. 第 一问，根据正弦定理将边转换成角，即可得到 sin B ；第二问，利用等差中项的概念得 2b a c  ，再利用正弦定理将边转换成角，得到 7sin sin 2A C  ，设 cos cosA C x  ， 两式联立，利用平方关系和两角和的余弦公式，得到 cos( )A C ，再利用内角和与诱导公 式，将 A C 转化成 B  ，解方程求出 x 的值，即 cos cosA C 的值. 试题解析：（Ⅰ）由 4 sin 7b A a ，根据正弦定理得 4sin sin 7 sinB A A ， 所以 7sin 4B  ． 4 分 五、锐角三角形内角范围的考虑要全面，需满足三个内角均为锐角： 易 错 5 ： 在 ABC 中 ， 角 , ,A B C 所 对 的 边 分 别 为 , ,a b c ，， 且 22 2 2sin 2coscos A cos B AsinB C   . （1）求角 C 的值； （1）若 ABC 为锐角三角形，且 3c  ，求 a b 的取值范围. 【答案】（1） 3C  （2） 1,1 【解析】试题分析：（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得 c2=a2+b2-ab，利用余弦定理可求 cosC，结合 C 角为三角形的内角，可求 C 的值． （2）由（1）知 A+B＝ 2 3  ， 2 3B A  利用正弦定理可求 a=2sinA，b=2sinB，利用三角 函数恒等变换的应用可求 a-b= 2 3sin A     ，可求范围 A ,3 6 6         ，利用正弦函数 的性质即可得解 a-b 的范围． （2）由（1）知 2 2 3 3A B B A    ， 由 sin sin sin a b c A B C   得， 2 , 2a sinA b sinB  ， 22 2 2 2 ) 3 23 3a b sinA sinB sinA sin A sinA cosA sin A                    ， ∵ ABC 为锐角三角形， 0 2B   ，又∵ 2 3B A  ， ∴ ,6 2A      ， ∴ ,3 6 6A         ， ∴  2sin 1,13A       ，即 a b 的取值范围为 1,1 . 【新题好题提升能力】 1.2016·山西四校一联 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且(a2＋b2－c2)sin A ＝ab(sin C＋2sin B)，a＝1. (1)求角 A 的大小； (2)求△ABC 的周长的取值范围． 2. 在△ABC 中，AC＝2，BC＝1，cosC＝3 4. (1)求 AB 的值； (2)求 sin(2A＋C)的值． 答案 (1) 2 (2)3 7 8 解析 (1)由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝22＋12－2×2×1×3 4 ＝2.∴AB＝ 2. (2)由 cosC＝3 4 且 0

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