2020版高中数学 第一章组合的综合应用

2020版高中数学 第一章组合的综合应用

第2课时　组合的综合应用 学习目标　1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．‎ 知识点　组合的特点 ‎(1)组合的特点是只取不排 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．‎ ‎(2)组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．‎ ‎(3)相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．‎ 类型一　有限制条件的组合问题 例1　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？‎ ‎(1)至少有一名队长当选；‎ ‎(2)至多有两名女生当选；‎ ‎(3)既要有队长，又要有女生当选．‎ 11‎ 考点　组合的应用 题点　有限制条件的组合问题 解　(1)C－C＝825(种)‎ ‎(2)至多有2名女生当选含有三类：‎ 有2名女生；只有1名女生；没有女生，‎ 所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法．‎ ‎(3)分两类：‎ 第一类女队长当选，有C＝495(种)选法，‎ 第二类女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法，‎ 所以共有495＋295＝790(种)选法．‎ 反思与感悟　有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：‎ 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；‎ 二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．‎ 跟踪训练1　某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有(　　)‎ A．210种 B．420种 C．56种 D．22种 考点　组合的应用 题点　有限制条件的组合问题 答案　A 解析　由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有CC＋CC＝210(种)．‎ 类型二　与几何有关的组合应用题 例2　如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.‎ ‎(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？‎ ‎(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？‎ 考点　组合的应用 题点　与几何有关的组合问题 11‎ 解　(1)方法一　可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(个)．‎ 方法二　可作三角形C－C＝116(个)，‎ 其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．‎ ‎(2)可作出四边形C＋C·C＋C·C＝360(个)．‎ 反思与感悟　(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．‎ ‎(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．‎ 跟踪训练2　空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为(　　)‎ A．205 B．‎110 C．204 D．200‎ 考点　组合的应用 题点　与几何有关的组合问题 答案　A 解析　方法一　可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为CC＋CC＋CC＋CC＝205.‎ 方法二　从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205.‎ 类型三　分组、分配问题 例3　6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？‎ ‎(1)每组2本(平均分组)；‎ ‎(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；‎ ‎(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．‎ 考点　排列组合综合问题 题点　分组分配问题 解　(1)每组2本，均分为3组的方法数为＝＝15.‎ ‎(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为CCC＝20×3＝60.‎ ‎(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为＝＝15.‎ 反思与感悟　一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组元素数目相等，那么分组方法数是.‎ 跟踪训练3　6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？‎ ‎(1)甲2本，乙2本，丙2本；‎ 11‎ ‎(2)甲1本，乙2本，丙3本；‎ ‎(3)甲4本，乙、丙每人1本；‎ ‎(4)每人2本；‎ ‎(5)一人1本，一人2本，一人3本；‎ ‎(6)一人4本，其余两人每人1本．‎ 考点　排列组合综合问题 题点　分组分配问题 解　(1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得：‎ ‎(1)共有CCC＝90(种)不同的分配方法；‎ ‎(2)共有CCC＝60(种)不同的分配方法；‎ ‎(3)共有CCC＝30(种)不同的分配方法．‎ ‎(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A即可．因此，(4)共有CCC÷A×A＝90(种)不同的分配方法；‎ ‎(5)共有CCC×A＝360(种)不同的分配方法；‎ ‎(6)共有CCC÷A×A＝90(种)不同的分配方法．‎ 例4　将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，‎ 求下列方法的种数．‎ ‎(1)每个盒子都不空；‎ ‎(2)恰有一个空盒子；‎ ‎(3)恰有两个空盒子．‎ 考点　排列组合综合问题 题点　分组分配问题 解　(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C＝10(种)．‎ ‎(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C种插法，故共有C·C＝40(种)．‎ ‎(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．‎ 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．‎ ‎①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，‎ 如||00||0000|，有C种插法．‎ 11‎ ‎②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C种插法．‎ 故共有C·(C＋C)＝30(种)．‎ 反思与感悟　相同元素分配问题的处理策略 ‎(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．‎ ‎(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．‎ 跟踪训练4　某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)‎ A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 考点　排列组合综合问题 题点　分组分配问题 答案　B 解析　由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析．又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取．‎ 第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册．即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C种分法．‎ 第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C种分法．‎ 因此，满足题意的赠送方法共有C＋C＝4＋6＝10(种)．‎ ‎1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有(　　)‎ A．26种 B．84种 C．35种 D．21种 考点　组合的应用 题点　有限制条件的组合问题 答案　C 11‎ 解析　从7名队员中选出3人有C＝＝35(种)选法．‎ ‎2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是(　　)‎ A．5 040 B．‎36 C．18 D．20‎ 考点　组合的应用 题点　有限制条件的组合问题 答案　D 解析　最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C＝20(种)．‎ ‎3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有(　　)‎ A．25个 B．36个 C．100个 D．225个 考点　组合的应用 题点　与几何有关的组合问题 答案　D 解析　从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C×C＝15×15＝225.‎ ‎4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)‎ 考点　排列组合综合问题 题点　分组分配问题 答案　140‎ 解析　安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C种方法．故不同的安排方案共有CC＝×4＝140(种)．‎ ‎5．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．‎ 考点　组合的应用 题点　与几何有关的组合问题 答案　32‎ 解析　不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C－3＝32.‎ 11‎ ‎1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：‎ ‎(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．‎ ‎2．有限制条件的组合应用题：‎ ‎(1)“含”与“不含”问题：‎ 这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．‎ ‎(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．‎ ‎(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．‎ 一、选择题 ‎1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有(　　)‎ A．30种 B．33种 C．37种 D．40种 考点　组合的应用 题点　有限制条件的组合问题 答案　D 解析　从1,2,3，…，9这9个数中取出3个不同的数，使其和为奇数的情况包括：(1)取出的3个数都是奇数，取法有C＝10(种)；(2)取出的3个数中有2个偶数、1个奇数，取法有CC＝30(种)，根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有10＋30＝40(种)．‎ ‎2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　)‎ A．24种 B．14种 C．28种 D．48种 考点　组合的应用 题点　有限制条件的组合问题 答案　B 解析　方法一　分两类完成：‎ 11‎ 第1类，选派1名女生、3名男生，有C·C种选派方案；‎ 第2类，选派2名女生、2名男生，有C·C种选派方案．‎ 故共有C·C＋C·C＝14(种)不同的选派方案．‎ 方法二　6人中选派4人的组合数为C，其中都选男生的组合数为C，所以至少有1名女生的选派方案有C－C＝14(种)．‎ ‎3．直线a∥b，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为(　　)‎ A．CC＋CC B．(C＋C)(C＋C)‎ C．C－9 D．C－C 考点　组合的应用 题点　与几何有关的组合问题 答案　A 解析　可以分为两类：a上取两点，b上取一点，则可构成三角形个数为CC；a上取一点，b上取两点，则可构成三角形个数为CC，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为CC＋CC，故选A.‎ ‎4．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有(　　)‎ A．CC种 B．CA种 C．CACA种 D．AA种 考点　排列组合综合问题 题点　排列与组合的综合应用 答案　B 解析　先从5名男选手中任意选取2名，有C种选法，再从6名女选手中任意选择两名与选出的男选手打比赛，有CA，即A种．所以共有CA种．‎ ‎5．将标号为A，B，C，D，E，F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A，B的卡片放入同1个信封，则不同的放法共有(　　)‎ A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 考点　排列组合综合问题 题点　分组分配问题 答案　B 解析　由题意知，不同的放法共有CC＝3×＝18(种)．‎ ‎6．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是(　　)‎ 11‎ A．16 B．‎21 C．24 D．90‎ 考点　排列组合综合问题 题点　分组分配问题 答案　B 解析　分2类：‎ 第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C＝6(种)选取方法．‎ 第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C＝15(种)选取方法．‎ 由分类加法计数原理得，共有C＋C＝6＋15＝21(种)选取方法．‎ ‎7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(　　)‎ A．CCC B．CAA C. D．CCCA 考点　排列组合综合问题 题点　分组分配问题 答案　A 解析　首先从14人中选出12人共C种，然后将12人平均分为3组共种，然后这两步相乘，得.将三组分配下去共C·C·C种．故选A.‎ ‎8．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为(　　)‎ A．30 B．‎21 C．10 D．15‎ 考点　排列组合综合问题 题点　分组分配问题 答案　D 解析　用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C＝15(种)分配方法．‎ 二、填空题 ‎9．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有________种．‎ 考点　组合的应用 题点　有限制条件的组合问题 答案　10‎ 11‎ 解析　①在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有CC＝9(种)选法；‎ ‎②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C＝1(种)选法．‎ 共有选法9＋1＝10(种)．‎ ‎10.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B‎1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B‎1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有______种．‎ 考点　涂色问题 题点　涂色问题 答案　12‎ 解析　先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C×C×C×C＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．‎ ‎11．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)‎ 考点　排列组合综合问题 题点　排列与组合的综合应用 答案　60‎ 解析　一、二、三等奖，三个人获得，有A＝24(种)．‎ 一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有CA＝36(种)，共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况．‎ 三、解答题 ‎12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数．‎ 考点　组合的应用 题点　有限制条件的组合问题 解　若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C×C×C＝64(种)，‎ 若2张同色，则有C×C×C×C＝144(种)，‎ 若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C×C×C×C＝192(种)，‎ 剩余2张同色，则有C×C×C＝72(种)，‎ 11‎ 所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．‎ ‎13．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？‎ 考点　排列组合综合问题 题点　分组分配问题 解　可以分三类．‎ 第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有CC种选法；‎ 第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有CC种选法；‎ 第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有CC种选法．‎ 根据分类加法计数原理，一共有CC＋CC＋CC＝42(种)不同的选法．‎ 四、探究与拓展 ‎14．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．‎ 考点　排列组合综合问题 题点　分组分配问题 答案　120‎ 解析　先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内分别至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C＝120(种)方法．‎ ‎15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．‎ ‎(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？‎ ‎(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？‎ 考点　排列组合综合问题 题点　排列与组合的综合应用 解　(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有CA＝A(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法．‎ 所以共有不同测试方法A·A·A＝103 680(种)．‎ ‎(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法CCA＝576(种)．‎ 11‎