2021版高考数学一轮复习核心素养测评六十五古典概型新人教B版

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核心素养测评六十五 古典概型 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1.从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数,则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数的基本事件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),‎ ‎(2,4,5),(3,4,5),共10个,取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),共3个,故所求概率P=.‎ ‎2.已知a∈{-2,0,1,2,3},b∈{3,5},则函数f(x)=(a2-2)ex+b为减函数的概率 是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选C.函数f(x)=(a2-2)ex+b为减函数,则 a2-2<0,又a∈{-2,0,1,2,3},故只有a=0,a=1满足题意,又b∈{3,5},所以函数f(x)=(a2-2)ex+b为减函数的概率P==.‎ ‎3.在集合中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α=,从这些向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,从所作平行四边形中随机抽取一个,则它的面积不超过2的概率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.由已知可得向量,,,,这4个向量组成的平行四边形的面积为4,2,2,10,6,8,所以这个平行四边形的面积不超过2的概率为=.‎ 7‎ ‎4.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马, 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率 为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.将齐王的三匹马分别记为a1,a2,a3,田忌的三匹马分别记为b1,b2,b3,齐王与田忌赛马,其情况有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3)共9种,其中田忌的马获胜的有(a2,b1),(a3,b1),(a3,b2)共3种,所以田忌获胜的概率为=.‎ ‎5.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.由古典概型的概率公式,得 P===.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.记a,b分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为________. ‎ ‎【解析】由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a,b,则基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),…,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),‎ ‎(6,5),(6,6),共有36个.而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b>0,满足此条件的基本事件有:(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共有9个,故所求概率为=.‎ 答案:‎ 7‎ ‎7.记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数,从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为________.  ‎ ‎【解析】根据题意,个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因此所求的概率为.‎ 答案:‎ ‎8.在某项大型活动中,甲、乙等五名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.‎ 则甲、乙两人同时在A岗位服务的概率是________; ‎ 甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率是________. ‎ ‎【解析】记“甲、乙两人同时在A岗位服务”为事件EA,‎ 那么P(EA)==,‎ 即甲、乙两人同时在A岗位服务的概率是.‎ 记“甲、乙两人同时在同一个岗位服务”为事件E,‎ 那么P(E)==,‎ 所以甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率是P()=1-P(E)=.‎ 答案:　‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5张标签,随机地选取两张标签,根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率:‎ ‎(1)标签的选取是无放回地.‎ 7‎ ‎(2)标签的选取是有放回地.‎ ‎【解析】(1)从5张标签中无放回地选取两张标签,‎ 其结果共有:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},‎ ‎{3,5},{4,5},10种不同结果,‎ 其中数字为相邻整数的有{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},4种结果,‎ 故其概率为P==.‎ ‎(2)标签的选取是有放回的,其结果共有5×5=25种,‎ 其数字为相邻整数的有{1,2},{2,1},{2,3},{3,2},{3,4},{4,3},{4,5},‎ ‎{5,4},8种结果,‎ 故其概率为:P=.‎ ‎10.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.‎ ‎(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;‎ ‎(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,求参赛女生人数不少于2人的概率.‎ ‎【解析】(1)由题意,参加集训的男生、女生各有6名.‎ 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为=,‎ 因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=.‎ ‎(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A,“参赛女生有2人”为事件B,“参赛女生有3人”为事件C.‎ 则P(B)==,P(C)==.‎ 由互斥事件的概率加法公式,得 7‎ P(A)=P(B)+P(C)=+=,‎ 故参赛女生人数不少于2人的概率为.‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)如图所示方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是1,2,3,4中的任何一个,允许重复.则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为(　　)‎ A B A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.只考虑A,B两个方格的排法.不考虑大小,A,B两个方格有4×4=16(种)排法.要使填入A方格的数字大于B方格的数字,则从1,2,3,4中选2个数字,大的放入A格,小的放入B格,有(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1),共6种,故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为=.‎ ‎2.(5分)有两张卡片,一张的正反面分别写着数字0与1,另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选C.将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数有12,13,20,21,30,31,共6个,两位数为奇数的有13,21,31,共3个,故所组成的两位数为奇数的概率为=.‎ ‎3.(5分)在一项来自“一带一路”沿线20国青年参与的评选中,“高铁”“支付宝”“共享单车”和“网购”被称作中国“新四大发明”,曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国,正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念.某班假期分为四个社会实践活动小组,分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查,于开学进行交流报告,四个小组随机排序,则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为 (　　)‎ 7‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.记“支付宝”小组和“网购”小组相邻的事件为A,则P()=1-P(A)=1-=.‎ ‎4.(10分)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,-3). ‎ ‎(1)求事件“a⊥b”发生的概率.‎ ‎(2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率.‎ ‎【解析】(1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},故(m,n)所有可能的取法共36种.因为a⊥b,所以m-3n=0,即m=3n,有(3,1),(6,2),共2种,‎ 所以事件a⊥b发生的概率为=.‎ ‎(2)由|a|≤|b|,得m2+n2≤10,‎ 有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种,其概率为=.‎ ‎5.(10分)某校社团活动开展得有声有色,极大地推动了学生的全面发展,深受学生欢迎,每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加心理社,现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同).‎ ‎(1)在该班随机选取1名同学,求该同学参加心理社团的概率.‎ ‎(2)求从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率.‎ ‎【解析】(1)依题意,该班60名同学中共有6名同学参加心理社,‎ 所以在该班随机选取1名同学,该同学参加心理社的概率为=.‎ ‎(2)设A,B,C,D表示参加心理社的男同学,a,b表示参加心理社的女同学, ‎ 则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果:‎ AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,‎ 其中至少有1名女同学的结果有9种:Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,ab,‎ 7‎ 根据古典概型计算公式,从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率为P==.‎ 7‎