数学（理）卷·2017届湖南省衡阳市八中高三实验班第三次质检（2017

数学（理）卷·2017届湖南省衡阳市八中高三实验班第三次质检（2017

衡阳八中2017届高三年级第三次质检试卷 理科数学（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次质检试卷，分两卷。其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.已知集合M={x|log3x≤1}，N={x|x2+x﹣2≤0}，则M∩N等于（　　）‎ A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|1≤x≤3} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0＜x≤3}‎ ‎2.已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知等比数列{an}的前n项和Sn，且a1+a3=，a2+a4=，则=（　　）‎ A．4n﹣1 B．4n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1‎ ‎4.已知a=log23+log2，b=，c=log32则a，b，c的大小关系是( )‎ A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c ‎5.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（　　）‎ A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称 C．关于点（，0）对称 D．关于直线x=对称 ‎6.已知函数 ‎，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知数列{an}满足an+an﹣1=（﹣1）n，Sn是其前n项和，若 S2017=﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为（　　）‎ A．3﹣2 B．3 C．2 D．3+2‎ ‎9.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近于圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的（四舍五入精确到小数点后两位）的值为（　　）（参考数据：sin15°=0.2588，sin75°=0.1305）‎ ‎[来源]‎ A．3.10 B．3.11 C．3.12 D．3.13‎ ‎10.已知函数fM（x）的定义域为实数集R，满足（M是R的非空真子集），在R上有两个非空真子集A，B，且A∩B=∅，则的值域为（　　）‎ A． B．{1} C． D．‎ ‎11.设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分,过原点作的平行线交于点,若,则的离心率为（ ）‎ A． B． 3 C． D．‎ ‎12.设函数是的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数 都有对称中心，其中满足.已知函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为　 　．‎ ‎14.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为________.‎ ‎15.已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为　 　．‎ ‎16.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），F1（﹣c，0）是左焦点，圆x2+y2=c2与双曲线左支的一个交点是P，若直线PF1与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围是　 　．‎ 三.解答题（共8题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知数列{an}、{bn}满足：a1=，an+bn=1，bn+1=．‎ ‎（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4；‎ ‎（Ⅱ）设cn=，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，不等式4aSn＜bn恒成立时，求实数a的取值范围．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE．‎ ‎（I）求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎（I）求X的分布列；‎ ‎（II）若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；‎ ‎（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为A1（﹣2，0），A2（2，0）．过点D（1，0）的直线l与该椭圆相交于M、N两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线A1M与NA2的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，令，求在的最大值和最小值；‎ ‎（3）当时，函数图像上的点都在不等式组所表示的区域内，求实数a的取值范围.‎ 选做题：考生从22、23题中任选一题作答，共10分。‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点P，Q分别是线C1，C2的动点，求|PQ|的最小值．‎ ‎23.已知函数f（x）=|x|， g（x）=﹣|x﹣a|+m． ‎ ‎（1）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0； ‎ ‎（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．‎ 衡阳八中2017届高三年级第三次质检参考答案理科数学 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B D B D C B D B B A D ‎13.16‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.（，+∞）‎ ‎17.‎ ‎（Ⅰ），‎ ‎∵[lg（Sn﹣m）+lg（Sn+2﹣m）]=2lg（Sn+1﹣m），‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列{cn}是以﹣4为首项，﹣1为公差的等差数列．‎ ‎∴cn=﹣4+（n﹣1）•（﹣1）=﹣n﹣3．‎ ‎（Ⅲ）由于，‎ 所以，‎ 从而..…‎ ‎∴‎ ‎∴…‎ 由条件知（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0恒成立即可满足条件，‎ 设f（n）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，‎ 当a=1时，f（n）=﹣3n﹣8＜0恒成立 当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立，‎ 当a＜1时，对称轴，‎ f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．‎ f（1）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8=（a﹣1）+（3a﹣6）﹣8=4a﹣15＜0，‎ ‎∴，‎ ‎∴a＜1时4aSn＜bn恒成立 综上知：a≤1时，4aSn＜bn恒成立 ‎18.‎ ‎（I）证明：∵PC⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PC⊥AC．‎ ‎∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，‎ ‎∴AC⊥平面PBC，又AC⊂平面EAC，‎ ‎∴平面EAC⊥平面PBC．‎ ‎（II）解：取AB的中点F，两角CF，则CF⊥AB，以点C为原点，建立空间直角坐标系，‎ 可得：C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），‎ 设P（0，0，a）（a＞0），则E，‎ ‎=（1， 1，0），=（0，0，a），=，‎ 取=（1，﹣ 1，0），则=0，‎ ‎∴为平面PAC的法向量．‎ 设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，即，‎ 取=（a，﹣a，﹣4），‎ ‎∵二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，‎ ‎∴===，解得a=4，‎ ‎∴=（4，﹣4，﹣4），=（1，1，﹣4）．‎ 设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=||===，‎ ‎∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．‎ ‎19.‎ ‎（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04；‎ P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16；‎ P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24；‎ P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24；‎ P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2；‎ P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08；‎ P(X=22)=0.2×0.2=0.04.‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知P(X≤18)=0.44，P(X≤19)=0.68，故n的最小值为19.‎ ‎（Ⅲ）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.‎ 当n=19时，‎ EY=19×200×0.68+(19×200+500) ×0.2+(19×200+2×500) ×0.08+(19×200+3×500) ×0.04=4040.‎ 当n=20时，‎ EY=20×200×0.88+(20×200+500) ×0.08+(20×200+2×500) ×0.04=4080.‎ 可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选n=19.‎ ‎20.‎ ‎（Ⅰ）依题意可知a=2．‎ ‎∵，∴c=，得．‎ ‎∴椭圆C的方程为：；‎ ‎（Ⅱ）设直线A1M的方程为y=k1（x+2），直线NA2的方程为y=k2（x﹣2）．‎ 联立方程组，得．‎ 解得点M的坐标为（，），‎ 同理，可解得点N的坐标为（，）．‎ 由M，D，N三点共线，得=，化简有（4k1k2+1）（k2﹣3k1）=0．‎ ‎∵k1，k2同号，∴4k1k2+1＞0，则k2=3k1．‎ 故存在λ=3，使得结论成立．‎ ‎21.‎ ‎（1）递增区间是（0,2），递减区间是（2），=（3）‎ ‎22.‎ ‎（1）曲线C1的参数方程为为参数），‎ 可得：，sinα=y，‎ 则，‎ 故得C1直角坐标方程，‎ 曲线C2的极坐标方程为．‎ 则ρsinθ+ρcosθ=4‎ ‎∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，‎ ‎∴x+y=4．‎ 故得C2的直角坐标方程为：x+y﹣4=0．‎ ‎（2）设．‎ 即|PQ|的最小值为．‎ ‎23.‎ ‎（1）由g[f（x）]+2﹣m＞0得||x|﹣a|＜2， ‎ ‎∴﹣2＜|x|﹣a＜2，∴a﹣2＜|x|＜a+2 ‎ 故：当a≥2时，不等式的解集为{x|﹣a﹣2＜x＜﹣a+2或a﹣2＜x＜a+2} ‎ 当﹣2＜a＜2时，不等式的解集为{x|﹣a﹣2＜x＜a+2} ‎ 当a≤﹣2时，不等式的解集为空集． ‎ ‎（2）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方 ‎ ‎∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣a|+|x|恒成立 ‎ ‎∵|x﹣a|+|x|≥|（x﹣a）﹣x|=|a|． ‎ ‎∴m的取值范围为（﹣∞，|a|）． ‎