上海市浦东新区2013届高三下学期4月高考预测数学文试题

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上海市浦东新区2013届高三下学期4月高考预测数学文试题

上海市浦东新区2013届高三下学期4月高考预测 数学文试题 注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.‎ ‎ 2. 本试卷共有23道试题,满分150分,考试时间120分钟.‎ 一、填空题(本大题满分56分,每小题4分);本大题共有14小题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.‎ ‎1.已知复数满足(其中i为虚数单位),则= . ‎ ‎2.已知集合A=,B=,且,则实数a的值是 .‎ ‎3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 名学生.‎ ‎4.函数与的图像关于直线对称,则 .‎ ‎5.把三阶行列式中第1行第3列元素的代数余子式记为,则关于 的不等式的解集为 . ‎ ‎6.若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的标准方程是 .‎ ‎7.若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是 .‎ ‎8.记直线:()与坐标轴所围成的直角三角形的面积为,则 .‎ ‎9.在中,角A、B、C所对的边分别为、、,若,则 .‎ ‎10.已知实数满足约束条件,则不等式所围成的区域面积为 .‎ ‎11.方程在区间上解的个数为 .‎ ‎12.某人从分别标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张,并按如下约定记录抽取结果:如果出现两个偶数或两个奇数,就将两数相加的和记录下来;如果出现一奇一偶,则记下它们的差的绝对值,则出现记录结果不大于3的概率为 .‎ ‎13.如果是函数图像上的点,是函数图像上的点,且两点之间的距离能取到最小值,那么将称为函数与之间的距离.按这个定义,函数和之间的距离是 .‎ ‎14.数列满足().‎ ‎①存在可以生成的数列是常数数列;‎ ‎②“数列中存在某一项”是“数列为有穷数列”的充要条件;‎ ‎③若为单调递增数列,则的取值范围是;‎ ‎④只要,其中,则一定存在;‎ 其中正确命题的序号为 .‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分); 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得 5分,否则一律得零分.‎ ‎15.“a=‎1”‎是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的 ( )‎ 充分不必要条件 必要不充分条件 ‎ 充分必要条件 既不充分也不必要条件 ‎16.已知则与的夹角为 ( )‎ ‎ ‎ ‎17.已知以为周期的函数其中,若方程恰有5个实数解,则的取值范围为 ( )‎ ‎ .‎ ‎18.从集合中任取3个元素组成一个集合,记中所有元素之和被3除余数为的概率为,则的大小关系为 ( ) ‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分74分);解答下列各题必须写出必要的步骤.‎ ‎19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分6分.‎ 如图,已知正四棱柱的底面边长是,体积是,分别是棱、的中点.‎ ‎(1)求异面直线与所成角的大小(结果用反三角表示);‎ ‎(2)求过的平面与该正四棱柱所截得的多面体的体积.‎ ‎20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分9分.‎ 已知向量向量与向量的夹角为,且.‎ ‎(1)求向量 ; ‎ ‎(2)若向量与共线,向量,其中、为的内角,且、、依次成等差数列,求的取值范围.‎ ‎21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分.‎ 设函数 ‎(1)当,画出函数的图像,并求出函数的零点;‎ ‎(2)设,且对任意,恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.‎ 已知直角的三边长,满足 ‎(1)在之间插入2011个数,使这2013个数构成以为首项的等差数列,且它们的和为,求的最小值.‎ ‎(2)已知均为正整数,且成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列,求().‎ ‎(3)已知成等比数列,若数列满足,证明:数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.‎ ‎23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.‎ ‎(1)设椭圆:与双曲线:有相同的焦点,是椭圆与双曲线的公共点,且的周长为,求椭圆的方程; ‎ x y o ‎3‎ 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.‎ ‎(2)如图,已知“盾圆”的方程为.设“盾圆”上的任意一点到的距离为,到直线的距离为,求证:为定值; ‎ ‎(3)由抛物线弧:()与第(1)小题椭圆弧:()所合成的封闭曲线为“盾圆”.设“盾圆”上的两点关于轴对称,为坐标原点,试求面积的最大值. ‎ 浦东新区2013年高考预测 数学试卷答案 一、填空题(本大题满分56分,每小题4分);本大题共有14小题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.‎ ‎1.; 2.1; 3.20; 4.4; 5.; 6.; 7.;‎ ‎8.; 9.4; 10.(文); 11.4; 12.(文);‎ ‎13.(文); 14.①④。‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分); 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得 5分,否则一律得零分.‎ ‎15. ; 16. ; 17. ,(文); 18. 。 ‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分74分);解答下列各题必须写出必要的步骤.‎ ‎19. 解:(1)连结,,‎ 直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角.‎ 连结,连结,‎ 是直线与平面所成的角.……………………………2分 中,,…………………………………………4分 ‎.‎ 直线与平面所成的角等于.……………………6分 ‎(2)正四棱柱的底面边长是,体积是,‎ ‎.………………………………………………………………………8分 ‎;‎ ‎,……………………11分 多面体的体积为.……………………………………12分 ‎(文)(1)连结,,‎ 就是异面直线与所成角.…………………………………2分 在,………………………………4分 ‎,.‎ 所以异面直线与所成角为. …………………………6分 ‎20. 解:(1)设.由,得 ①………………………2分 又向量与向量的夹角为,得 ②……………………………4分 由①、②解得或,或.………………5分 ‎(2)向量与共线知;……………………………………………6分 由知.………………………7分 ‎, ……………………………8分 ‎…………………………9分 ‎.………11分 ‎,…………12分 得,即,…………………………13分 ‎.…………………………………………………………14分 ‎21.解:(1),………………………………………2分 画图正确.…………………………………………………………………………4分 当时,由,得,此时无实根;‎ 当时,由,得,得.‎ 所以函数的零点为.………………………………………………………6分 ‎(2)由<0得,.‎ 当时,取任意实数,不等式恒成立.…………………………………8分 当时,.令,则在上单调递增,‎ ‎∴;……………………………………………………10分 当时,,令, ‎ 则在上单调递减,所以在上单调递减.‎ ‎∴ .…………………………………………………12分 ‎ 综合 .……………………………………………………………………14分 ‎(文)(2)当时,取任意实数,不等式恒成立;………………………8分 当时,,令,则在上单调递增,‎ ‎∴;……………………………………………………10分 当时,,令, ‎ 则在上单调递减,单调递增;‎ ‎∴.……………………………………………12分 综合 .……………………………………………………………………14分 ‎22.解:(1)是等差数列,∴,即.………2分 所以,的最小值为;……………………………4分 ‎(2)设的公差为,则……5分 设三角形的三边长为,面积,,‎ ‎.………………………………7分 由得, ‎ 当时,,‎ 经检验当时,,当时,.………9分 综上所述,满足不等式的所有的值为2、3、4.……………10分 ‎(3)证明:因为成等比数列,.‎ 由于为直角三角形的三边长,知,,………11分 又,得,‎ 于是 ‎.…………12分 ‎,则有.‎ 故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.……………14分 因为 ,‎ ‎,……………………………………………………15分 由,同理可得,‎ 故对于任意的都有是正整数.………………………………………16分 ‎(文)(2)设的公差为,则, .…5分 设三角形的三边长为,‎ 面积,,………………………………7分 当为偶数时,‎ ‎;‎ 当为奇数时,;……9分 综上,.……………………………………………………10分 ‎(3)证明:因为成等比数列,.………………………………………11分 由于为直角三角形的三边长,知,,………12分 又,得.……13分 于是 ‎.……………14分 ‎, 则有.……………………15分 故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.……………16分 ‎23. 解:(1)由的周长为得,‎ 椭圆与双曲线:有相同的焦点,所以,‎ 即,,椭圆的方程;…………………4分 ‎(2)证明:设“盾圆”上的任意一点的坐标为,.………5分 当时,,,‎ 即;…………………………7分 当时,,,‎ 即;…………………………9分 所以为定值;…………………………………………………………10分 ‎(3)显然“盾圆”由两部分合成,所以按在抛物线弧或椭圆弧上加以分类,由“盾圆”的对称性,不妨设在轴上方(或轴上):‎ x y o 当时,,此时,;……………………11分 当时,在椭圆弧上, ‎ 由题设知代入得,‎ ‎,‎ 整理得,‎ 解得或(舍去). …12分 当时在抛物线弧上, ‎ 由方程或定义均可得到,于是,‎ 综上,()或();‎ 相应地,,…………………………………………14分 当时在抛物线弧上,在椭圆弧上,‎ ‎;……………………15分 当时在椭圆弧上,在抛物线弧上,‎ ‎;……………………16分 当时、在椭圆弧上,‎ ‎;…………………………17分 综上的取值范围是.…………………………………………………18分 ‎(文)(3)因为“盾圆”关于轴对称,设于是,‎ 所以面积,………………………………………………………11分 按点位置分2种情况:‎ ①当在抛物线弧()上时,‎ 设所在的直线方程(),‎ 联立,得,同理, ‎ 面积,所以;………………14分 ②当在椭圆弧上时, ‎ 于是联立,得;‎ 即,由,‎ 当且仅当等号成立,所以,…………………………………17分 综上等腰面积的最大值为.…………………………………………18分
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