2018-2019学年湖北省荆州中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年湖北省荆州中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省荆州中学高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若，则x+y是的( )‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】在第一象限中，画出和的范围，根据两者的包含关系判断充分、必要条件.‎ ‎【详解】‎ 在第一象限中，画出和的范围如下图所示，由图可知前者的范围包含后者的范围，故前者是后者的必要不充分条件条件.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查利用图像表示不等式，属于中档题.‎ ‎2．向量＝, ＝，若＝, 且 ，则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用的模求得的值，利用得到，求得的值，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，解得.由于，所以，故，所以选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间向量模的运算，考查两个空间向量垂直的坐标表示，属于基础题.‎ ‎3．若两直线3x+4y+3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据两条直线平行列方程，求得的值，再根据两条平行线的距离公式求得两直线间的距离.‎ ‎【详解】‎ 由于两条直线平行，故，解得，即，也即，由两条平行线间的距离公式得.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两条直线平行的表示，考查两条平行线间的距离公式，属于基础题.对于直线和直线，如果两条直线平行，则有，如果两条直线垂直，则有.再使用两条平行线距离公式时，要注意将两条直线的化为相同的数值.‎ ‎4．某中学高二(5)班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知3号，17号，45号同学在样本中，那么样本中另外一个同学的座号是( )‎ A．30 B．31 C．32 D．33‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：系统抽样抽取的数据构成等差数列，由抽中的号码3号，17号，45号可知样本中另外一个同学的座号是31‎ ‎【考点】系统抽样 ‎5．若直线和⊙O:没有交点,则过的直线与椭圆 的交点个数 (　 )‎ ‎ A.至多一个　　B．0个　　 C.1个　　 D．2个 ‎【答案】D.‎ ‎【解析】试题分析：因为直线和⊙O:没有交点,所以所以,所以点P（m,n）在内部，也在椭圆的内部，所以过的直线与椭圆相交，所以交点个数为2个.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，点与圆及点与椭圆的位置关系.‎ 点评：由于直线和⊙O:没有交点,所以可得 进而得到,判断出点P在圆内部，也在椭圆的内部,问题到此结论确定.‎ ‎6．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ）‎ A．720 B．520 C．600 D．264‎ ‎【答案】D ‎【解析】将问题分为甲参加乙不参加、甲不参加乙参加、甲乙同时参加三类，分别计算种类数，然后相加，求得所有的发言顺序的种数.‎ ‎【详解】‎ 当甲参加乙不参加时，方法数为种.当甲不参加乙参加时，方法数为种.当甲乙同时参加时，先在其余名学生中选人，方法数有种，将选出的两人排好，方法数有种，将甲、乙两人插入个空挡中，方法数有种，故方法数为种.所以总的方法数有种，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查排列组合，考查分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，属于中档题.解题的难点在于“甲乙两人至少有一人参加”，也就是要对情况进行分类讨论.在每种情况中，利用分步乘法计数原理计算出方法数，最后利用分类加法计数原理相加，求得总的方法数.‎ ‎7．圆与圆的公共弦长为（ ）‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在直线的方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0，0)到2x＋y－15＝0的距离，‎ 因此，公共弦长为.选C ‎8．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】运行程序，通过计算循环结构，当时，退出循环结构，由此确定空白处所填写的条件.‎ ‎【详解】‎ 运行程序，，判断是，，判断是，，判断是，，判断是，，判断是，，判断是，‎ ‎，判断是，，判断是，，判断是，，此时 ，需要退出程序，输出的值.故填“”，所以本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查程序框图，考查根据程序框图的输出值填写循环结构的条件，考查裂项求和法，属于基础题.‎ ‎9．函数的图象向左平移个单位后为偶函数，设数列的通项公式为，则数列的前2019项之和为（ ）‎ A．0 B．1 C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】求得函数向左平移个单位后的函数，利用诱导公式求得的值，进而求得的表达式，通过周期性求得的前项和.‎ ‎【详解】‎ 函数向左平移个单位后得，为偶函数，根据诱导公式可知.故.所以，根据三角函数的周期性可知是周期为的周期数列，即每项和为零，故 ‎.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查三角函数图像变换，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数诱导公式，考查利用周期性求解数列的前项和.对于函数，当时，为偶函数，当时，为奇函数，这个是利用诱导公式得到的.关于年份的问题，往往是有周期性的.‎ ‎10．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段的垂直平分面与平面的交线得到结论.‎ ‎【详解】‎ 根据题意可知，则点符合“为底面内的一个动点，且满足”，设的中点为，根据题目条件可知，，点也符合“为底面内的一个动点，且满足”，‎ 故动点的轨迹肯定过点和点，可排除，‎ 而到点与到点的距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分面，‎ 线段的垂直平分面与平面的交线是一直线，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及公理二等有关知识，同时考查了空间想象能力，推理能力，属于难题.‎ ‎11．春节期间，5位同学各自随机从“三峡明珠，山水宜昌”、“荆楚门户，秀丽荆门”、“三国故里，风韵荆州”三个城市中选择一个旅游，则三个城市都有人选的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求得基本事件的总数为，个同学分成三组的方法有两种：或者，分别计算出每种情况下事件的方法数，再相加求得符合“三个城市都有人选”事件的总数，根据古典概型概率计算公式计算出概率.‎ ‎【详解】‎ 个同学，随机任选个城市，基本事件的总数为.个同学分成三组的方法有两种：或者.当按照进行分组并排到三个城市的方法数有种，当按照进行分组并排到三个城市的方法数有种.故“三个城市都有人选”的事件有种.所以三个城市都有人选的概率是，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用古典概型计算事件的概率，考查分类加法计算原理，属于中档题.‎ ‎12．椭圆的右焦点为，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等 ‎|FA|=‎ 二、填空题 ‎13．已知变量满足约束条件，则z=4x+y的最大值为____.‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=4x+y得y=−4x+z，平移直线y=−4x+z，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时z最大，解得B（3,2）代入得最大值为14‎ 故答案为14‎ ‎14．给下列三个结论：‎ ‎①命题“”的否定是“”；‎ ‎②若 ，则的逆命题为真；‎ ‎③命题“若，则”的否命题为：“若，则”；‎ 其中正确的结论序号是_______________（填上所有正确结论的序号）．‎ ‎【答案】①‎ ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识判断①是否正确；写出②的逆命题，然后利用特殊值判断②是否正确；根据否命题的知识判断③是否正确.由此得出正确的结论序号.‎ ‎【详解】‎ 对于①，根据特称命题的否定是全称命题，并且否定的形式正确，故①正确.对于②，原命题的逆命题为：若则，当时，上式不成立，故逆命题为假，故②错误.对于③，命题的否命题要同时否定条件和结论，故③错误.综上所述，正确的结论序号是①.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，考查逆命题和否命题，属于基础题.‎ ‎15．平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，则对角线的长度为___.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】利用，两边平方后，利用向量数量积计算公式，计算得.‎ ‎【详解】‎ 对两边平方并化简得 ,故.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间向量的加法和减法运算，考查空间向量数量积的表示，属于中档题.‎ ‎16．若椭圆和圆（c为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间时，椭圆和圆有四个不同的焦点，由此列不等式，解不等式求得椭圆离心率的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由于椭圆和圆有四个焦点，故圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间，即.由得，两边平方并化简得，即①.由得，两边平方并化简得，解得②.由①②得.故填.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆和圆的位置关系，考查椭圆离心率取值范围的求法，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知“，直线与椭圆有两个不同的公共点”；q：“，不等式成立”；若“且q”是假命题，“或q”是真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对于命题：直线过点，在椭圆内部时，可使直线和椭圆有两个公共点，将代入椭圆方程列不等式，由此求得的取值范围.对于命题：将原不等式分离常数后，转化为有实数根，然后利用配方法求得左边的最小值，由此求得的取值范围.由于“且”是假命题，“或”是真命题，所以一真一假，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 若为真，则直线过的定点必在椭圆内部，‎ 即 若为真，则有实数根，‎ 即；‎ 由且为假，或为真得：或 实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查含有简单逻辑连接词命题真假求参数，考查直线和椭圆的位置关系，考查存在性问题的求解策略，属于中档题.‎ ‎18．已知等差数列满足（）.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据数列的递推公式求出公差d，即可求出数列{an}的通项公式， （2）根据错位相减法即可求出前n项和．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设等差数列的公差为，由已知得 ‎ 即所以解得 ‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，①‎ ‎，② ……8分 得： ‎ 所以．‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎19．已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角所对的边分别是.‎ ‎（Ⅰ）若依次成等差数列，且公差为2．求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值 ‎【答案】（1）或.（2），‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得 a=c-4、b=c-2．又因∠MCN=π，,可得恒等变形得c2-9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sⅠnθ,BC=，△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,再由利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．‎ 试题解析：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c-4、b=c-2．‎ 又因∠MCN=π，,可得,‎ 恒等变形得c2-9c+14=0，解得c=7，或c=2．‎ 又∵c＞4，∴c=7．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得 ‎.‎ ‎∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=‎ ‎,‎ 又,‎ 当,即时，f（θ）取得最大值.‎ ‎【考点】1.余弦定理;2．正弦定理 ‎20．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点刚好是边长为的等边三角形的三个顶点. ‎ ‎（Ⅰ）第四次射击时，该运动员瞄准区域射击（不会打到外），则此次射击的着弹点距的距离都超过的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）‎ ‎(Ⅱ) 该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间内.现从这次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为和）进行技术分析.求事件“”的概率.‎ ‎【答案】(I)1-(II)‎ ‎【解析】（I）用三角形的面积减去三个扇形的面积，得到“着弹点距的距离都超过”的点的面积，用这个面积除以三角形的面积得到所求的概率.（II）利用列举法列出所有的基本事件，进而得到符合题意的事件，利用古典概型概率计算公式，求得所求的概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为着弹点若与的距离都超过cm，‎ 则着弹点就不能落在分别以为中心,半径为cm的三个扇形区域内，‎ 只能落在图中阴影部分内.‎ ‎ ‎ 因为 图中阴影部分的面积为，‎ 故所求概率为 ‎ ‎（Ⅱ）前三次射击成绩依次记为，后三次成绩依次记为，从这次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是： ‎ ‎ ，共个，其中可使发生的是后个基本事件.故.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查几何概型的计算，考查古典概型的计算，考查阅读与理解能力，属于基础题.‎ ‎21．如图三棱柱中，侧面为菱形，.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，，AB=BC，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由四边形是菱形可以得到，结合有平面，因此，根据是的中点得到．（2）由题设条件可证明，从而两两相互垂直，设为单位长，则建立如图所示空间直角坐标系，通过计算半平面的法向量的夹角来计算二面角的余弦值．‎ 解析：（1）连接，交于点，连接，因为侧面为菱形，所以，且为及的中点，又，，所以平面．由于平面，故．又，故 ．‎ ‎（2）因为，且为的中点，所以．又因为，所以，故，从而两两相互垂直，为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角坐标系．‎ 因为，所以为等边三角形，又，则，．，，设 是平面的法向量，则，即，所以可取，设是平面的法向量，则，同理可取，，所以二面角的余弦值为． ‎ ‎22．已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）斜率为2的直线与椭圆交于、两点，求直线的方程；‎ ‎（3）在轴上是否存在一点，使得过点的任一直线与椭圆若有两个交点、则都有为定值？若存在，求出点的坐标及相应的定值.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎【解析】（1）利用离心率和三角形的面积列方程，由此解得的值，进而求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，根据，斜率乘积为建立方程，解方程求得直线的方程.（3）设出过点的直线方程，联立直线方程和椭圆的方程，消去，化简后写出韦达定理，代入计算，根据为定值，求得点的坐标以及相应的定值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知，，又，解得，‎ ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎（2）设直线的方程为，则由可得，‎ 即 ‎∵∴‎ ‎∴直线的方程为即。‎ ‎（3）设、、，当直线不为轴时的方程为，‎ 联立椭圆方程得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴当且仅当即时（定值）‎ 即在轴上存在点使得为定值5‎ 点E的坐标为或。经检验，‎ 当直线为轴时上面求出的点也符合题意。‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查两直线垂直斜率的关系，考查直线和椭圆相交的有关定值问题.在研究直线和椭圆的位置关系时，要注意设出直线合适的方程，联立直线方程和椭圆方程，消去或者消去得到一元二次方程，进而可以写出韦达定理或者利用判别式解题.‎