2011年高考数学真题分类汇编E
大纲理数3.E1[2011·全国卷] 下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
大纲理数3.E1[2011·全国卷] A 【解析】 对A项，若a>b＋1，则a－b>1，则a>b；若a>b，不能得到a>b＋1.
对B项，若a>b－1，不能得到a>b；对C项，若a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能得到a>b；对D项，若a3>b3，则a>b，反之，若a>b，则a3>b3，a3>b3是a>b成立的充分必要条件，故选A.
大纲文数5.E1[2011·全国卷] 下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
大纲文数5.E1[2011·全国卷] A 【解析】 对A项，若a>b＋1，则a－b>1，则a>b；若a>b，不能得到a>b＋1.
对B项，若a>b－1，不能得到a>b；对C项，若a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能得到a>b；对D项，若a3>b3，则a>b，反之，若a>b，则a3>b3，a3>b3是a>b成立的充分必要条件，故选A.
课标文数6.E1[2011·浙江卷] 若a，b为实数，则“0
；反过来b<，当a<0时，则有ab>1，∴“01}，故选D.
课标文数6.E3[2011·福建卷] 若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(－2，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
课标文数6.E3[2011·福建卷] C 【解析】 由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，得
Δ＝m2－4>0，解得m<－2或m>2，故选C.
课标文数5.E3[2011·广东卷] 不等式2x2－x－1＞0的解集是( )
A.
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D.∪(1，＋∞)
课标文数5.E3[2011·广东卷] D 【解析】 不等式2x2－x－1>0化为(x－1)(2x＋1)>0，解得x<－或x>1，故选D.
课标文数1.E3[2011·山东卷] 设集合M＝{x|(x＋3)(x－2)<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( )
A．[1，2) B．[1，2]
C．(2，3] D．[2，3]
课标文数1.E3[2011·山东卷] A 【解析】 由解不等式知识知M＝{x|－3＜x＜2}，又N＝{x|1≤x≤3}，
所以M∩N＝{x|1≤x＜2}．
课标文数6.E5[2011·安徽卷] 设变量x，y满足则x＋2y的最大值和最小值分别为( )
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
课标文数6.E5[2011·安徽卷] B 【解析】 画出可行域(如图所示阴影部分)．可知当直线u＝x＋2y经过A(0，1)，C(0，－1)时分别对应u的最大值和最小值．故umax＝2，umin＝－2.
课标理数4.E5[2011·安徽卷] 设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为( )
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
课标理数4.E5[2011·安徽卷] B 【解析】 法一：特殊值验证：当y＝1，x＝0时，x＋2y＝2，故排除A，C；当y＝－1，x＝0时，x＋2y＝－2，故排除D，答案为B.
法二：直接求解：如图，先画出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域，平移目标函数线易知当直线x＋2y＝u分别经过点B，D时对应u的最小值和最大值，所以umin＝－2，umax＝2.
大纲文数4.E5[2011·全国卷] 若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为( )
A．17 B．14 C．5 D．3
大纲文数4.E5[2011·全国卷] C 【解析】 通过约束条件画出可行域，可知z的最小值为5，故选C.
课标理数8.E5，F3[2011·福建卷] 已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( )
A．[－1，0] B．[0，1]
C．[0，2] D．[－1，2]
课标理数8.E5，F3[2011·福建卷] C 【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)，
又·＝－x＋y，取目标函数z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率为1的一组平行线，
图1－2
当它经过点C(1，1)时，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0；
当它经过点B(0，2)时，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2.
∴ z的取值范围是[0，2]，即·的取值范围是[0，2]，故选C.
课标文数21.E5，C9[2011·福建卷] 设函数f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.
(1)若点P的坐标为，求f(θ)的值；
(2)若点P(x，y)为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．
课标文数21.E5，C9[2011·福建卷] 【解答】 (1)由点P的坐标和三角函数的定义可得
于是f(θ)＝sinθ＋cosθ＝×＋＝2.
(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)如图1－7所示，其中A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)．
图1－7
于是0≤θ≤.
又f(θ)＝sinθ＋cosθ＝2sin，
且≤θ＋≤，
故当θ＋＝，即θ＝时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；
当θ＋＝，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1.
课标理数5.E5[2011·广东卷] 已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为( )
A．4 B．3 C．4 D．3
课标理数5.E5
图1－1
[2011·广东卷] C 【解析】 z＝·＝(x，y)·(，1)＝x＋y，画出不等式组表示的区域(如图1－1)，显然当z＝x＋y经过B(，2)时，z取最大值，
即zmax＝2＋2＝4.
课标文数6.E5[2011·广东卷] 已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为( )
A．3 B．4 C．3 D．4
课标文数6.E5
图1－1
[2011·广东卷] B 【解析】 z＝·＝(x，y)·(，1)＝x＋y，画出不等式组表示的区域(如图1－1)，显然当z＝x＋y经过B(，2)时，z取最大值，
即zmax＝2＋2＝4.
课标理数8.E5[2011·湖北卷] 已知向量a＝(x＋z，3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为( )
A．[－2，2] B．[－2，3]
C．[－3，2] D．[－3，3]
课标理数8.E5[2011·湖北卷] D 【解析】 因为a＝，b＝，且a⊥b，所以a·b＝2＋3＝0，即2x＋3y－z＝0.又＋≤1表示的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)．
图1－1
所以当2x＋3y－z＝0过点B时，zmin＝－3；当2x＋3y－z＝0过点A时，zmax＝3.所以z∈.
课标文数8.E5[2011·湖北卷] 直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
课标文数8.E5[2011·湖北卷] B 【解析】 画出不等式组 表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)．
图1－1
因为直线2x＋y－10＝0过点A，且其斜率为－2，小于直线4x＋3y＝20的斜率－，故只有一个公共点.
课标理数7.E5[2011·湖南卷] 设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为( )
A．(1，1＋) B．(1＋，＋∞)
C．(1，3) D．(3，＋∞)
课标理数7.E5[2011·湖南卷] A 【解析】 先画出约束条件表示的可行域，如图1－1.
图1－1
直线x＋y＝1与y＝mx的交点为.由图可知，当x＝，y＝时，目标函数z＝x＋my有最大值小于2，则有＋m×<2，得1－1，故m的取值范围为11，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．
课标文数14.E5[2011·湖南卷] 3 【解析】 先画出约束条件表示的可行域：如右图1－3：
图1－3
直线x＋y＝1与y＝mx的交点为，得到当x＝，y＝时目标函数z＝x＋5y有最大值4，则有＋5×＝4，得m＝3.
课标理数13.E5[2011·课标全国卷] 若变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为________．
课标理数13.E5[2011·课标全国卷] －6 【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，
由 解得A(4，－5)．
当直线z＝x＋2y过A点时z取最小值，将A(4，－5)代入，
得z＝4＋2×(－5)＝－6.
图1－6
课标文数14.E5[2011·课标全国卷] 若变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为________________________________________________________________________．
课标文数14.E5[2011·课标全国卷] －6 【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，
由 解得A(4，－5)．
当直线z＝x＋2y过A点时z取最小值，将A(4，－5)代入，
得z＝4＋2×(－5)＝－6.
图1－6
课标文数7.E5[2011·山东卷] 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为( )
A．11 B．10 C．9 D．8.5
课标文数7.E5[2011·山东卷] B 【解析】 画出x，y的可行域，如图1－1阴影部分，直线x＋2y－5＝0与直线x－y－2＝0交于点A(3，1)，当z＝2x＋3y＋1过A点时，使得z＝2x＋3y＋1取得最大值，zmax＝2×3＋3＋1＝10.
图1－1
图1－6
课标文数12.E5[2011·陕西卷] 如图1－6所示，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．
课标文数12.E5[2011·陕西卷] 1 【解析】 由图象知
函数在点A(1，1)时，2x－y＝1；在点B(，)时，2x－y＝2－>1；在点C(，1)时，2x－y＝2－1＞1；在点D(1，0)时，2x－y＝2－0＝2>1，故最小值为1.
大纲文数10.E5[2011·四川卷] 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝( )
A．4650元 B．4700元
C．4900元 D．5000元
大纲文数10.E5[2011·四川卷] C 【解析】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件得x，y满足的约束条件为目标函数z＝450x＋350y－z.作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y－z＝0知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点(7，5)时，目标函数取得最大值，即z＝450×7＋350×5＝4900.
大纲理数9.E5[2011·四川卷] 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝( )
A．4650元 B．4700元
C．4900元 D．5000元
大纲理数9.E5[2011·四川卷] C 【解析】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件得x，y满足的约束条件为目标函数z＝
450x＋350y.作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y－z＝0知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点(7，5)时，目标函数取得最大值，即z＝450×7＋350×5＝4900.
课标文数2.E5[2011·天津卷] 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为( )
A．－4 B．0 C. D．4
课标文数2.E5[2011·天津卷] D 【解析】 作出可行域，如图1－1所示．联立 解得 当目标函数z＝3x－y移至(2，2)时，z＝3x－y有最大值4.
图1－1
课标理数5.E5[2011·浙江卷] 设实数x，y满足不等式组若x，y为整数，则3x＋4y的最小值是( )
A．14 B．16 C．17 D．19
课标理数5.E5[2011·浙江卷] B 【解析】 可行域如图所示：
图1－3
联立解之得又∵边界线为虚线，且目标函数线的斜率为－，∴当z＝3x＋4y过点(4，1)时，有最小值16.
课标文数3.E5[2011·浙江卷] 若实数x，y满足不等式组则3x＋4y的最小值是( )
A．13 B．15 C．20 D．28
课标文数3.E5[2011·浙江卷] A 【解析】 可行域如图阴影部分所示．
联立解之得∴当z＝3x＋4y过点(3，1)时，有最小值13.
课标文数7.B10，E6[2011·北京卷] 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
课标文数7.B10，E6[2011·北京卷] B 【解析】 记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝＝＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80件(x>0)时，取最小值，故选B.
课标文数10.B12，E6[2011·福建卷] 若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
课标文数10.B12，E6[2011·福建卷] D 【解析】 f′(x)＝12x2－2ax－2b，
∵f(x)在x＝1处有极值，
∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，化简得 a＋b＝6，
∵a>0，b>0，
∴ab≤＝9，当且仅当a＝b＝3时，ab有最大值，最大值为9，故选D.
课标理数10.N4，E6[2011·湖南卷] 设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________．
课标理数10.N4，E6[2011·湖南卷] 9 【解析】 方法一：＝1＋4x2y2＋＋4≥5＋2＝9，当且仅当4x2y2＝时，“＝”成立．
方法二：利用柯西不等式：≥＝9，当且仅当4x2y2＝时，等号成立．
课标文数3.E6[2011·陕西卷] 设02)在x＝a处取最小值，则a＝( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
大纲文数7.E6[2011·重庆卷] C 【解析】 ∵x＞2，
∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．
大纲文数15.E6[2011·重庆卷] 若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b，2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c
，则c的最大值是________________________________________________________________________．
大纲文数15.E6[2011·重庆卷] 2－log23 【解析】 2a＋b＝2a＋2b≥2，当且仅当a＝b时，2a＋b≥4取“＝”．
由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，
∴2c＝＝1＋≤1＋＝，
故c≤log2＝2－log23.
课标文数20.D5，E7[2011·广东卷]
设b＞0，数列{an}满足a1＝b，an＝(n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：对于一切正整数n，2an≤bn＋1＋1.
课标文数20.D5，E7[2011·广东卷] 【解答】 (1)由a1＝b>0，知an＝>0，
＝＋·.
令An＝，A1＝，
当n≥2时，An＝＋An－1
＝＋…＋＋A1
＝＋…＋＋.
①当b≠1时，An＝＝，
②当b＝1时，An＝n.
∴an＝
(2)证明：当b≠1时，欲证2an＝≤bn＋1＋1，只需证2nbn≤(bn＋1＋1).
∵(bn＋1＋1)＝b2n＋b2n－1＋…＋bn＋1＋bn－1＋bn－2＋…＋1
＝bn
>bn(2＋2＋…＋2)
＝2nbn，
∴2an＝<1＋bn＋1.
当b＝1时，2an＝2＝bn＋1＋1.
综上所述2an≤bn＋1＋1.
大纲理数22.B12，E8[2011·全国卷] (1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－，证明：当x>0时，f(x)>0；
(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：p<<.
大纲理数22.B12，E8[2011·全国卷] 【解答】 (1)f′(x)＝.
当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)为增函数，又f(0)＝0.因此当x>0时，f(x)>0.
(2)p＝.
又99×81<902，98×82<902，…，91×89<902，
所以p<.
由(1)知：当x>0时，ln(1＋x)>.
因此，ln(1＋x)>2.
在上式中，令x＝，则19ln>2，即>e2.
所以p<<.
课标文数22.B12，E8[2011·湖南卷] 设函数f(x)＝x－－alnx(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
课标文数22.B12，E8[2011·湖南卷] 【解答】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝1＋－＝.
令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4.
①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0.
在(0，＋∞)上，f′(x)>0.
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x1＝，x2＝.
当00；当x1x2时，f′(x)>0.
故f(x)分别在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．
(2)由(1)知，a>2.
因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(lnx1－lnx2)，所以，
k＝＝1＋－a·.
又由(1)知，x1x2＝1，于是
k＝2－a·.
若存在a，使得k＝2－a，则＝1.
即lnx1－lnx2＝x1－x2.
亦即x2－－2lnx2＝0(x2>1)．(*)
再由(1)知，函数h(t)＝t－－2lnt在(0，＋∞)上单调递增，而x2>1，所以x2－－2lnx2>1－－2ln1＝0.这与(*)式矛盾．
故不存在a，使得k＝2－a.
课标文数21.B12，E8[2011·陕西卷] 设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)讨论g(x)与g的大小关系；
(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)＜对任意x＞0成立．
课标文数21.B12，E8[2011·陕西卷] 【解答】 (1)由题设知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋.
∴g′(x)＝.令g′(x)＝0得x＝1，
当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，故(0，1)是g(x)的单调减区间．
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，
因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．
所以g(x)的最小值为g(1)＝1.
(2)g＝－lnx＋x.
设h(x)＝g(x)－g＝2lnx－x＋，
则h′(x)＝－.
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g，
当x∈(0，1)∪(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h′(1)＝0.
因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减，
当0＜x＜1时，h(x)＞h(1)＝0.
即g(x)＞g.
当x>1时，h(x)0成立⇔g(a)－1<，
即lna＜1，从而得0＜a＜e.
课标理数19.E9[2011·安徽卷]
(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy.
(2)10，f(x)在(0，1)内是增函数；
当x>1时，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)内是减函数．
故函数f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝0.
(2)证明：①由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，有f(x)≤f(1)＝0，即lnx≤x－1.
∵ak，bk>0，从而有lnak≤ak－1，得bklnak≤akbk－bk(k＝1，2，…，n)，
于是由①得…≤1，
即≤nb1＋b2＋…＋bn＝n，
∴bb11bb22…bbnn≥.
(ii)再证bb11bb22…bbnn≤b＋b＋…＋b，
记S＝，设ak＝(k＝1，2，…，n)，
则kbk＝，
于是由①得…≤1，
即bb11bb22…bbnn≤Sb1＋b2＋…＋bn＝S，
∴bb11bb22…bbnn≤b＋b＋…＋b.
综合(i)(ii)，②得证．
课标文数20.B12，E9[2011·湖北卷] 设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2，0)处有相同的切线l.
(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；
(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x10，即m>－.
又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)0，x1x2＝2－m>0，
故00，
则f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0，
又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，
所以函数f(x)＋g(x)－mx在x∈[x1，x2]的最大值为0.
于是当－
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