专题14 定积分求值问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题14 定积分求值问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等.‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 利用微积分基本定理求定积分 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；‎ 第二步 求方程的根；‎ 第三步 判断在方程的根的左、右两侧值的符号；‎ 第四步 利用结论写出极值.‎ 例1 的值为（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】D ‎【变式演练1】下列计算错误的是 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：A选项，，所以A正确；B选项，，所以B正确；C选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C正确；D选项错误。‎ 考点：定积分的计算。‎ ‎【变式演练2】若则的大小关系为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：定积分运算 ‎【变式演练3】（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：定积分的应用.‎ ‎【变式演练4】若，则的值是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由，得，所以．‎ 考点：定积分的运算．‎ ‎【变式演练5】_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得．‎ 考点：定积分的计算．‎ ‎【变式演练6】设若，则 ．‎ ‎【答案】1‎ 考点：1．函数的表示；2．定积分运算． ‎ ‎【变式演练7】如图，阴影部分的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：面积为．‎ 考点：定积分．‎ 类型二 利用定积分的几何意义求定积分 使用情景：被积函数的原函数不易求出 解题模板：第一步 画出被积函数的图像；‎ 第二步 作出直线计算函数所围成的图形；‎ 第三步 求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.‎ 例2 计算定积分.‎ ‎【答案】.‎ 考点：定积分的计算．‎ ‎【变式演练8】设，则的值为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：,故选A．‎ 考点：定积分．‎ ‎【变式演练9】定积分的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：令,则,则 ‎,故应选C．‎ 考点：定积分及运算．‎ ‎【变式演练10】______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，， 等于以原点为圆心，以为半径的圆的面积的四分之一，即为，所以，故答案为.‎ 考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义. ‎ ‎【变式演练11】已知，展开式的常数项为15，则___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由的展开式的通项公式为，‎ 令，求得r=2，故常数项为，可得a=1，‎ 因此原式为 考点：二项式定理；微积分基本定理 ‎【变式演练12】已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ 考点：等差数列性质及定积分．‎ 类型三 导数与定积分的综合应用 例3 如图所示，抛物线与轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在轴上.已知工业用地每单位面积价值为元，其它的三个边角地块每单位面积价值元.‎ ‎（1）求等待开垦土地的面积；‎ ‎（2）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大.‎ ‎【答案】（1）；（2）点C的坐标为.‎ ‎ ‎ 考点：1.定积分；2.函数的最值.‎ ‎【变式演练13】给定可导函数，如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“平均值点”.‎ ‎(1)函数在区间上的平均值点为；‎ ‎(2)如果函数在区间上有两个“平均值点”，则实数的取值范围是.‎ ‎【答案】(1)1；(2)‎ ‎ ‎ 结合图像不难得到.‎ 考点：新定义、定积分的运用、直线与圆的位置关系 ‎【变式演练14】已知函数,函数 ‎（1）当时,求函数的表达式;‎ ‎（2）若,函数在上的最小值是2 ,求的值;‎ ‎（3）在（2）的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎（2）∵由（1）知当时,,‎ ‎∴当时, 当且仅当时取等号.‎ ‎∴函数在上的最小值是,‎ ‎∴依题意得∴. ‎ ‎（3）由解得 ‎∴直线与函数的图象所围成图形的面积 ‎= ‎ 考点：导数及函数单调性、定积分的应用. ‎ ‎【变式演练15】如下图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线 与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）．‎ ‎(1) 求、及数列的通项公式；(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：N.‎ ‎【答案】(1) ，，；(2) ；(3)见解析.‎ ‎ ‎ 证法1：（数学归纳法）‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设时，成立，则当时，，‎ 而，‎ ‎，，‎ 时，也成立，由①②知不等式对一切都成立. ‎ 证法2：‎ ‎.‎ 所以不等式对一切都成立. ‎ 证法3:令,则,‎ 当时, ,‎ ‎∴函数在上单调递增. ∴当时, .‎ ‎∵N, ∴, 即.∴.‎ ‎∴不等式对一切N都成立. ‎ 考点：1、利用导数求切线方程；2、数列的运算；3、定积分计算图形面积.‎ ‎【高考再现】‎ ‎1.【2015高考湖南，理11】 .‎ ‎【答案】.‎ ‎2．【2015高考天津，理11】曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组得两曲线的交点坐标为，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积 ‎.‎ ‎【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.‎ ‎3.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积是．‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．【安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三上学期第二次模拟数学（理）试题】若，，，则的大小关系（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎2．【2018届江西省高三年级阶段性检测考试（二）理科数学】（ ）‎ A. 7 B. C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】.‎ 故选：C ‎3．【西藏自治区林芝市2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题】如图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线， 所围成的阴影部分的面积为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ，选D.‎ ‎4．【贵州省铜仁市第四中学2017年高三适应性测试（理）数学试题】已知等比数列，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由定积分的几何意义，表示圆 在第一象限的部分与坐标轴所围成的扇形的面积，即=4 ，所以 .又因为为等比数列，所以 .故选D.‎ ‎5．【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考（一）数学理试题】曲线，直线和轴所围成的区域的面积是____________‎ ‎【答案】2e﹣1．‎ ‎ 6．【2018届江西省高三年级阶段性检测考试（二）理科数学】由曲线所围成图形的面积是，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由，得图象的交点坐标为，‎ 所以曲线所围成图形的面积是 ‎，所以 故答案为：1‎ 点睛：用定积分处理面积问题的方法：牛顿-莱布尼茨定理，几何意义，奇偶性.‎ ‎7．【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）试题】已知函数，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意结合定积分的法则可得：‎ ‎.‎ ‎8．【2017—2018学年河北省石家庄二中八月高三模拟数学（理科）】__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 9．【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试理科数学试题】如图所示，由直线， 及轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即．类比之，若对，不等式 恒成立，则实数等于__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎ ‎