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文档介绍
【数学】2018届一轮复习北师大版第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第三节平面向量的数量积与平面向量的应用举例教案
第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用举例 ☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆ 考纲要求 真题举例 命题角度 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题； 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。 2016，全国卷Ⅰ，13,5分(向量的几何意义) 2016，全国卷Ⅱ，3,5分(向量数量积的坐标运算) 2016，全国卷Ⅲ，3,5分(向量夹角问题) 2016，天津卷，7,5分(向量的数量积和线性运算) 2015，全国卷Ⅰ，15,5分(向量的数量积运算) 高考对本节内容的考查以向量的长度、夹角及数量积为主，以向量数量积的运算为载体，综合三角函数、解析几何等知识进行考查，是一种新的趋势，复习时应予以关注。以客观题为主，有时出现在解答题中。分值5～12分。 微知识 小题练 自|主|排|查 1．平面向量的数量积 (1)向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角。 ②范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°。 ③共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向共线；若θ＝180°，则a与b反向共线；若θ＝90°，则a与b垂直。 (2)平面向量的数量积 ①定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0。 ②几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角。 ①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2。 ②模：|a|＝＝。 ③夹角：cosθ＝＝。 ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0。 ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·。 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)。 (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)。 (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)。 微点提醒 1．a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别。 2．对于两个非零向量a与b，由于当θ＝0°时，a·b>0，所以a·b>0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；a·b＝0也不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b。 3．在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|；若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c。但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|；若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c不一定成立，原因是a·b＝|a||b|cosθ，当cosθ＝0时，b与c不一定相等。 4．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线。 小|题|快|练 一 、走进教材 1．(必修4P107例6改编)已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝4，则a与b的夹角θ＝________。 【解析】 因为a·b＝|a||b|·cosθ， 所以cosθ＝＝＝， 又因为0°≤θ≤180°，故θ＝30°。 【答案】 30° 2．(必修4P105例4改编)已知a＝(1,2)，b＝(3,4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k＝________。 【解析】 由已知a＝(1,2)，b＝(3,4)， 若互相垂直，则(a＋kb)·(a－kb)＝0， 即a2－k2b2＝0， 即5－25k2＝0，即k2＝， 所以k＝±。 【答案】 ± 二、双基查验 1．下列四个命题中真命题的个数为( ) ①若a·b＝0，则a⊥b； ②若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c； ③(a·b)·c＝a·(b·c)； ④(a·b)2＝a2·b2。 A．4个 B．2个 C．0个 D．3个 【解析】 a·b＝0时，a⊥b，或a＝0，或b＝0。故①命题错。 ∵a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0。 又∵b≠0，∴a＝c，或b⊥(a－c)。故②命题错误。 ∵a·b与b·c都是实数，故(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量， ∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等。故③命题不正确。 ∵(a·b)2＝(|a||b|cosθ)2＝|a|2|b|2cos2θ≤|a|2·|b|2＝a2·b2。故④命题不正确。故选C。 【答案】 C 2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·＝( ) A．－ B．－ C. D. 【解析】 在△ABC中， cos∠BAC＝＝＝， ∴·＝||||cos∠BAC＝3×2×＝。故选D。 【答案】 D 3．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 【解析】 λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)。 ∵λa＋b与a垂直， ∴(λa＋b)·a＝10λ＋10＝0。∴λ＝－1。故选A。 【答案】 A 4．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________。 【解析】 ∵|a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2) ＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×＋4＝9 ∴|a|＝3。 【答案】 3 5．(2016·大连模拟)若a，b满足|a|＝，a·(a＋b)＝1，|b|＝1，则a，b的夹角为________。 【解析】 因为|a|＝， 所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝2＋a·b＝1， 即a·b＝－1。 设a，b的夹角为θ， 则cosθ＝＝＝－。 因为θ∈[0，π]， 所以θ＝π。 【答案】 π 第一课时 平面向量的数量积 微考点 大课堂 考点一 平面向量数量积运算 【典例1】 (1)已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为( ) A. B. C. D. (2)(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( ) A．－ B. C. D. 【解析】 (1)|a|cosθ＝＝＝＝。故选C。 (2)如图，设＝m，＝n。根据已知得，＝m，所以＝＋＝m＋n，＝m－n， ·＝·(m－n)＝m2－n2－m·n＝－－＝。故选B。 【答案】 (1)C (2)B 反思归纳 1.当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosθ。 2．当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2。 【变式训练】 (1)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4。若点M，N满足＝3 eq o(MC,sup10(→))，＝2，则·＝( ) A．20 B．15 C．9 D．6 (2)(2016·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点。·的最大值为________。 【解析】 (1)在平行四边形ABCD内，易得， ＝＋，＝－， 所以·＝· ＝· ＝＝×36－×16＝12－3＝9。故选C。 (2)如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系， 设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，＝(t，－1)，＝(1,0)，所以·＝t≤1。 【答案】 (1)C (2)1 考点二 平面向量的模与夹角问题 【典例2】 (1)(2017·长沙模拟)已知向量a＝(1,2)，a·b＝5，|a－b|＝2，则|b|等于( ) A. B．2 C．5 D．25 (2)(2016·东北三校联考)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于( ) A．150° B．90° C．60° D．30° 【解析】 (1)由a＝(1,2)，可得a2＝|a|2＝12＋22＝5。 因为|a－b|＝2， 所以a2－2a·b＋b2＝20， 所以5－2×5＋b2＝20， 所以b2＝25，所以|b|＝5。故选C。 (2)解法一：由于a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a||b|cos60°＝4＋2×2×＝6，|a＋2b|＝＝＝＝2，所以cos〈a，a＋2b〉＝＝＝，所以〈a，a＋2b〉＝30°。故选D。 解法二：∵|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12， ∴|a＋2b|＝2， ∴a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cosθ ＝2×2cosθ＝4cosθ。 又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6， ∴4cosθ＝6，cosθ＝，θ∈[0°，180°]， ∴θ＝30°。故选D。 【答案】 (1)C (2)D 反思归纳 1.平面向量夹角的求法 若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cosθ＝(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题。 2．平面向量的模的解题方法 (1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|＝。 (2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解。 【变式训练】 (1)(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( ) A．30° B．45° C．60° D．120° (2)(2016·衡水中学二调)已知单位向量a，b，若a·b＝0，且|c－a|＋|c－2b|＝，则|c＋2a|的取值范围是( ) A．[1,3] B．[2，3] C. D. 【解析】 (1)由两向量的夹角公式，可得cos∠ABC＝＝＝，则∠ABC＝30°。故选A。 (2)不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，所以c－a＝(x－1，y)，c－2b＝(x，y－2)，所以＋＝，即(x，y)到A(1,0)和B(0,2)的距离和为，即表示点(1,0)和 (0,2)之间的线段，|c＋2a|＝，表示(－2，0)到线段AB上点的距离，最小值是点(－2，0)到直线2x＋y－2＝0的距离，|c＋2a|min＝＝，最大值为(－2,0)到(1,0)的距离是3，所以|c＋2a|的取值范围是。故选D。 【答案】 (1)A (2)D 考点三 平面向量的垂直问题 【典例3】 (1)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( ) A．－ B．0 C．3 D. (2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2。若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________。 【解析】 (1)因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3。故选C。 (2)＝－，由于⊥， 所以·＝0， 即(λ＋)·(－) ＝－λ2＋2＋(λ－1)· ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，λ＝。 【答案】 (1)C (2) 【变式训练】 △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( ) A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥ 【解析】 因为＝－＝(2a＋b)－2a＝b， 所以|b|＝2，故A错误； 由于·＝2a·(2a＋b)＝4|a|2＋2a·b＝2×2×＝2， 所以2a·b＝2－4|a|2＝－2， 所以a·b＝－1，故B，C错误； 又因为(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×1×2×＋4＝0， 所以(4a＋b)⊥。故选D。 【答案】 D 微考场 新提升 1．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( ) A．－8 B．－6 C．6 D．8 解析 由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，得(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故选D。 答案 D 2．(2017·衡水模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|4a－b|＝( ) A．2 B．6 C．2 D．12 解析 |4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝12。∴|4a－b|＝2。故选C。 答案 C 3．(2016·成都模拟)△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满足＝＝2，若||＝2，||＝3，∠BAC＝90°，则·的值为( ) A．1 B．－ C. D．－ 解析 由题知＝－，＝－＝－，＝＋＝＋＝＋， ·＝·(－)＝·－2＋2－·＝－＋2＝－。故选B。 答案 B 4．(2016·合肥联考)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a方向上的投影为________。 解析 ∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2×＝7，∴|a＋b|＝，cos〈a＋b，a〉＝＝＝。∴a＋b在a方向上的投影为|a＋b|·cos〈a＋b，a〉＝× ＝2。 答案 2 5．在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是________。 解析 设D(x，y)，则(x－3)2＋y2＝1，＋＋＝(x－1，y＋)，故|＋＋|＝，|＋＋|的最大值即为圆(x－3)2＋y2＝1上的点到点(1，－)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心到点(1，－)的距离加上圆的半径，即＋1＝＋1，最小值为－1＝－1，故取值范围为[－1，＋1]。 答案 [－1，＋1] 第二课时 平面向量的应用 微考点 大课堂 考点一 平面向量在函数、不等式中的应用 【典例1】 已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a，b的夹角的大小为________。 【解析】 由题意得|a＋xb|≥|a＋b|⇔a2＋2xa·b＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2⇔x2＋2a·bx－1－2a·b≥0， 所以Δ＝4(a·b)2－4(－1－2a·b)≤0⇒(a·b＋1)2≤0，所以a·b＝－1，cos〈a，b〉＝＝－，即a与b的夹角为。 【答案】 π 反思归纳 平面向量沟通了几何与代数、函数、不等式的相关知识如：函数单调性、奇偶性、不等式的解法、不等式的证明、不等式的恒成立等问题必然会与平面向量相关联，以考查学生分析和解决问题的能力。 【变式训练】 (1)已知单位向量a，b，满足a⊥b，则函数f(x)＝(xa＋2b)2(x∈R)( ) A．既是奇函数又是偶函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．是偶函数 D．是奇函数 (2)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝be1－2e2(a>0，b>0)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】 (1)因为单位向量a，b，满足a⊥b，所以a·b＝0，所以f(x)＝(xa＋2b)2＝x2＋4xa·b＋4＝x2＋4。又f(－x)＝(－x)2＋4＝x2＋4＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数。故选C。 (2)因为A，B，C三点共线，所以(a－1)×(－2)＝1×b，所以2a＋b＝2。因为a>0，b>0，所以＋＝·＝2＋＋≥2＋2 ＝4(当且仅当＝，即a＝，b＝1时取等号)。故选B。 【答案】 (1)C (2)B 考点二 平面向量在平面几何中的应用……母题发散 【典例2】 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( ) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【解析】 由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心。故选C。 【答案】 C 【母题变式】 在本典例中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC的________。 【解析】 由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示与，同向的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心。 【答案】 内心 反思归纳 解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系。 【拓展变式】 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，其内切圆切AC边于D点，O为圆心。若||＝2||＝2，则·＝________。 【解析】 以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(分别以射线CA、CB的方向为x轴、y轴的正方向)，则C(0,0)，O(1,1)，A(3,0)。 设直角三角形的内切圆与AB边切于点E，与CB边切于点F，则由圆的切线长定理可得BE＝BF，AD＝AE＝2，设BE＝BF＝x，在Rt△ABC中，有CB2＋CA2＝AB2，即(x＋1)2＋9＝(x＋2)2，解得x＝3，故B(0,4)。 ∴·＝(1，－3)·(－3,0)＝－3。 【答案】 －3 考点三 平面向量在三角函数中的应用……多维探究 角度一：平面向量在三角函数图象与性质中的应用 【典例3】 已知函数f(x)＝sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若 eq o(OA,sup10(→))·＝0，则函数f(x＋1)是( ) A．周期为4的奇函数 B．周期为4的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 【解析】 由题图可得A，B，由·＝0得－3＝0，又ω>0，∴ω＝， ∴f(x)＝sinx， ∴f(x＋1)＝sin＝cosx，它是周期为4的偶函数。故选B。 【答案】 B 角度二：平面向量在解三角形中的应用 【典例4】 (2016·山西四校联考)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C。 (1)求角C的大小； (2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且·(－)＝18，求c边的长。 【解析】 (1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)， 对于△ABC，A＋B＝π－C,0查看更多