天津市西青区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

天津市西青区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

数学试卷 一、选择题： 1.若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数运算法则求解即可. 【详解】 ．故选 D． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想 解题． 2.“ ”是“ ”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 与 互相推出的结果判断出 是 的何种条件. 【详解】因为 时， ，所以 不一定成立， 又因为 时， ，所以 一定成立， 所以 是 的必要非充分条件. 故选 B. 【点睛】根据若 则 的形式，如果 ，则 是 的充分条件，反之则是非充分条件； 如果 ，则则 是 的必要条件，反之则是非必要条件. 3.已知空间向量 1， ， ，且 ，则 　　 A. B. C. 1 D. 2 (1 i) 2iz + = z = 1 i− − 1+i− 1 i− 1+i ( ) ( 2i 2i 1 i 1 i1 i 1 i 1 i)( )z −= = = ++ + − 2a < 2 2 0a a− < 2a < 2 2 0a a− < 2a < 2 2 0a a− < 2a < 2 2 0 0 2a a a− < ⇔ < < 2 2 0a a− < 2 2 0a a− < 0 2a< < 2a < 2a < 2 2 0a a− < p q p q⇒ p q q p⇒ p q (3,a = 0) ( ), 3,1b x= − a b⊥  (x = ) 3− 1− 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于 x 的方程，即可求解 x 的值． 【详解】由题意知，空间向量 1， ， ，且 ， 所以 ，所以 ，即 ，解得 . 故选 C． 【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记 向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力， 属于基础题. 4.设等差数列 的前 项之和为 已知 ，则 （ ） A. 12 B. 20 C. 40 D. 100 【答案】B 【解析】 分析：由等差数列的通项公式可得 ，由 可得 ，从 而可得结果. 详解：由等差数列的前 项和的公式得： ， 即 ， 从而 ，故选 B. 点睛：本题主要考查数列的通项公式与求和公式，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基 础题. 5.抛物线 的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 a (3, = 0) ( )b x, 3,1= − a b⊥  a b 0⋅ = 3 1 ( 3) 0 1 0x + × − + × = 3x 3 0− = x 1= { }na n ,nS 10 100S = 4 7a a+ = 4 7a a+ 12 9a d= + 10 100S = 12 9 20a d+ = n 10 1 10 910 1002S a d ×= + = 12 9 20a d+ = 4 7 1 1 13 6 2 9 20a a a d a d a d+ = + + + = + = 2y x= 1(0, )2 1(0, )4 1( ,0)2 1( ,0)4 焦点坐标是 ,选 B. 6.数列 的前 项和为 ，若 ，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将数列 的通项公式化简变形,结合裂项法即可求得 . 【详解】数列 的前 项和为 ,若 则 所以 故选:C 【点睛】本题考查了裂项求和法的应用,属于基础题. 7.设 .若 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等比中项定义,可得 等量关系.结合基本不等式中“1”的代换,即可求得 的最小值. 2x y= 10, 4      { }na n nS 1 ( 1)na n n = + 2019S 2018 2019 2017 2019 2019 2020 2018 2020 { }na 2019S { }na n nS 1 ( 1)na n n = + 1 1 1na n n = − + 2019 1 2 3 2018 2019S a a a a a= + + +⋅⋅⋅ + 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 2018 2019 2019 2020 = − + − + − ⋅⋅⋅+ − + − 1 20191 2020 2020 = − = 0, 0a b> > 2 2a 4b 1 1 a b + 3 2 2+ 3 6 2 5 2 ,a b 1 1 a b + 【详解】根据等比中项定义,可知 化简可得 所以 因为 . 则 当且仅当 时取等号,即 故选:A 【点睛】本题考查了等比中项定义简单应用,基本不等式求最值,属于中档题. 8.已知双曲线 ，双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，双曲线 、 的离心率相同.若 是双曲线 一条渐近线上的点，且 （ 为原点），若 ，则双曲线 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据双曲线 可求得其离心率,两个双曲线的离心率相等可得双曲线 中 的关系;由双曲 ( )2 2 24a b⋅ = 22 2a b+ = 2 1a b+ = 0, 0a b> > 1 1 a b + ( )21 1 ba ab  = + ⋅  +   23 b a a b = + + 23 2 3 2 2b a a b ≥ + ⋅ = + 2b a a b = 22 1, 1 2a b= − = − 2 2 1 : 14 xC y− = 2 :C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1F 2F 1C 2C M 2C 2OM MF⊥ O 2 16OMFS∆ = 2C 22 136 9 x y− = 2 2 14 x y− = 22 116 4 x y− = 22 164 16 x y− = 1C 2C ,a c 线的渐近线方程,结合点到直线距离公式可求得 ,表示出 ,再根据 求得 的关系,结合双曲线中 解方程组即可求得 ,进而得双曲线 的方程. 【详解】双曲线 则其离心率为 设 ,双曲线 的一条渐近线方程为 ,即 则 由 可得 ,所以 又因为双曲线 、 的离心率相同 则 , 解方程组可得 所以双曲线 的方程为 故选:D 【点睛】本题考查了双曲线性质的简单应用,双曲线标准方程的求法,属于中档题. 二.填空题： 9.命题 ： . 则 为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据全称量词的否定,即可得解. 2MF OM 2 16OMFS∆ = ,a b 2 2 2c a b= + 2 2,a b 2C 2 2 1 : 14 xC y− = 1 4 1 5 4 2e += = ( )2 ,0F c 2C by xa = 0bx ay− = 2 2 2 bcMF b a b = = + 2 2OM c b a= − = 2 16OMFS∆ = 1 162 ab = 32ab = 1C 2C 2 2 2 2 5 2 32 ce a c a b ab  = =  = +  =  2 264, 16a b= = 2C 22 164 16 x y− = p 2(0, ), 2 1x x x∀ ∈ +∞ ≥ + p¬ 2(0, ), 2 1x x x∃ ∈ +∞ < + 【详解】命题 ： 由全称量词的否定可得命题 : 故答案为: 【点睛】本题考查了全称命题的否定形式,属于基础题. 10.已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线为 2x﹣y=0，则该双曲线的离心率 为 ． 【答案】 或 【解析】 试题分析：当双曲线焦点在 x 轴上时，可设标准方程为 （a＞0，b＞0），此时渐近 线方程是 ，与已知条件中的渐近线方程比较可得 b=2a，最后用平方关系可得 c= a， 用公式可得离心率 e= = ；当双曲线焦点在 y 轴上时，用类似的方法可得双曲线的离心率为 ．由此可得正确答案． 解：（1）当双曲线焦点 x 轴上时， 设它 标准方程为 （a＞0，b＞0） ∵双曲线的一条渐近线方程是 2x﹣y=0， ∴双曲线渐近线方程是 ，即 y=±2x ∴ ⇒b=2a ∵c2=a2+b2 ∴ = = a 所以双曲线的离心率为 e= = （2）当双曲线焦点在 y 轴上时， 设它的标准方程为 （a＞0，b＞0） 在 的 p 2(0, ), 2 1x x x∀ ∈ +∞ ≥ + p¬ 2(0, ), 2 1x x x∃ ∈ +∞ < + 2(0, ), 2 1x x x∃ ∈ +∞ < + 采用类似（1）的方法，可得 ⇒ ∴ = = 所以双曲线的离心率为 e= = 综上所述，该双曲线的离心率为 或 故答案为 或 考点：双曲线的简单性质． 11.已知等比数列 中， ，则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 先将式子通分化简，结合等比数列通项公式化简，可得关于 的一元二次方程.解得 的值，代 入 中检验 值是否符合要求，舍去不符合要求的解. 【详解】等比数列 中， ， 通分可得 ， 即 ， 所以由等比数列通项公式可知 ， 化简可得 ， 解得 或 ， 当 时 ，与 矛盾， 当 时， ，解得 ， 综上可知， ， { }na 2 1 2 3 2 1 1 9, 2Sa a a + = = q = 1 2 q q 2 9 2S = q { }na 1 2 3 2 1 1 a a a + = 2 3 3 2 2 3 2 3 1 1 1 31 21 2a a a a a a a a a a a a a a a + = 12 3 3 212a a a a a a+ = 2 3 2 2 2 1 1 12a q a q a q+ = 22 1 0q q+ − = 1 2q = 1q = − 1q = − 2 1 2 1 1 0S a a a a q= + = + = 2 9 2S = 1 2q = 2 1 2 1 1 94 2S a a a a= + = + = 1 3a = 1 2q = 故答案为: . 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用，注意检验所求的公比是否符合题意，属 于基础题. 12.以下五个命题中： ①若 ，则 的取值范围是 ； ②不等式 ，对一切 x 恒成立，则实数 的取值范围为 ； ③若椭圆 的两焦点为 、 ，且弦 过 点，则 的周长为 16； ④若常数 ， ， ， 成等差数列，则 ， ， 成等比数列； ⑤数列 的前 项和为 = +2 －1，则这个数列一定是等差数列. 所有正确命题的序号是_____________. 【答案】④ 【解析】 【分析】 对于①由不等式性质可判断;对于②讨论当 和 两种情况,即可判断;对于③根据椭 圆方程求得 ,求得 的周长, 即可作出判断;对于④由等差中项与等比中项定义和性质, 即可判断;对于⑤根据数列中 ,结合首项即可判断数列 是否为等差数列. 【详解】对于①, ,则 ,所以 ,故①错误; 对于②,当 时,不等式变为 ,对一切 x 恒成立,所以 成立;当 时,由二 次函数的性质可知 ,解得 .综上可知 ,故②错误; 对于③,椭圆 .则 .弦 过 点,则 的周长为 ,故③错 1 2 3 2 4 π α β π< < < α β− 4 4 π πα β− < − < 2 2 1 0ax ax− + > R∈ a 0 1a< < 2 2 5 116 2 x y+ = 1F 2F AB 1F 2ABF∆ 0m > a b c am bm cm { }na n nS 2n n 0a = 0a ≠ a 2ABF∆ 1n n na S S −= − { }na 3 2 4 π α β π< < < 0 3 2 4 3 2 4 α β π α π π β π   − <  < <   < < 04 π α β− < − < 0a = 1 0> R∈ 0a = 0a ≠ 2 0 4 4 0 a a a > ∆ = − < 0 1a< < 0 1a≤ < 2 2 5 116 2 x y+ = 5a = AB 1F 2ABF∆ 4 4 5 20a = × = 误; 对于④, , , 成等差数列则 .常数 ,则 ,所 以 , , 成等比数列,故④正确; 对于⑤,数列 的前 项和为 ,当 时,代入解得 .当 时,由 可得 ,化简可得 .且 ,所数列 是从第二项开始的等差数列.故⑤错误. 综上可知,正确的为④. 故答案为: ④ 【点睛】本题考查了不等式性质的简单应用,一元二次不等式恒成立问题,椭圆中焦点三角形的 周长求法,等差中项与等比中项的简单应用,根据 求通项公式及等差数列的判断, 综合性强,属于中档题. 13.《张丘建算经》卷上第 题中 “女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快， 而且每天增加的数量相同.已知第一天织布 尺， 天共织布 尺，则该女子织布每天增加 ______________尺. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可知,该女子每天织布的量成等差数列,由等差数列的前 n 项和公式即可求得解. 【详解】由题意可知, 该女子每天织布的量成等差数列, 设该女子每天织布增加 尺. 由等差数列的前 n 项和公式 代入可得 解得 所以该女子织布每天增加 尺 a b c 2b a c= + 0m > ( )22a c a c b bm m m m m+⋅ = = = am bm cm { }na n 2 2 1nS n n= + − 1n = 1 2S = 2n ≥ 1n n na S S −= − ( ) ( ) ( )22 2 1 1 2 1 1na n n n n = + − − − + − −   2 1na n= + 1 1S a≠ { }na 1n n na S S −= − 22 5 30 390 16 29 d ( ) 1 1 2n n n dS na −= + 30 29390 30 5 2 d×= × + 16 29d = 16 29 故答案为: 【点睛】本题考查了等差数列前 n 项和公式的简单应用,属于基础题. 14.已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 和 ,若 是 、 的等比中项, 是 与 的等差中项,则椭圆的离心率是 ________. 【答案】 【解析】 【详解】因为椭圆 与双曲线 有相同的焦点， 所 以 ， ① ， ② ， ③ 将 代 入 得 ， 代 入 得 ，再代入 得 ，得 ，故答案 为 . 【 方法点睛】本题主要考查椭圆与双曲线简单性质及椭圆的离心率，属于难题.离心率的求解 在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ， 从而求出 ;②构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④ 根据圆锥曲线的统一定义求解．本题的解答，是利用方法①直接求出 ，进而求出离心率 的． 三、解答题： 15.已知递增的等比数列 满足 且 是 的等差中项． （1）求数列 的通项公式； （2）若 是数列 的前 项和，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 16 29 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2 2 1x y m n − = ( 0, 0)m n> > ( ,0)c− ( ,0)c c a m 2n 22m 2c 1 2 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2 2 1x y m n − = ( 0, 0)m n> > 2 2 2 2 2c a b m n= − = + 2c am= 2 2 22 2n m c= + 2 2 2 2 2c a b m n= − = + 2 2 22 2 3n m c= + = 2 2 22 3n m n= + 3n m∴ = 2 2 22 2 3n m c= + = 2c m= 2 2c am= = 4a m= 2 1= 4 2 c me a m = = 1 2 ,a c e ,a c e ,a c e { }na 3 8,a = 3 2a + 2 4,a a { }na 2 1log ,n n nb a S+= { }nb n 20S 2n na = 20 230S = （1）根据等差中项性质,结合等比数列通项公式,解方程组即可求得公比 .由等比数列 为 递增数列舍去不符合要求的 .将符合要求的 代入方程可得 ,进而得数列 的通项公式; （2）根据对数运算化简即可求得数列 的通项公式,结合等差数列的前 n 项和公式即可求 得 的值. 【详解】（1）等比数列 为递增数列,等差中项性质可得 结合等比数列通项公式可得 解方程组可得 或 当 数列 为递减数列,不符合题意 所以 ,代入可得 所以 即 （2）由（1）可得 则 为数列 的前 项和 所以由等差数列前 n 项和公式可得 即 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用,等差中项的应用,等差数列前 n 项和的简单应用,属于基础题. 16.解关于 不等式： 【答案】当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 q { }na q q 1a { }na { }nb 20S { }na ( )3 2 42 2a a a+ = + ( ) 2 1 1 8 2 8 2 8 a q a q q  = + = + 1 2q = 2q = 1 2q = { }na 2q = 1 2a = 12 2 2n n na −= × = 2n na = 1 1 2n na + + = 1 2 1 2log log 2 1n n nb a n+ += = = + nS { }nb n 20 20 19 120 2 2302S × ×= × + = 20 230S = x 2 ( 1) 1 0ax a x− + + < ( )a R∈ 0a < 1( , ) (1, )a −∞ ∪ +∞ 0a = (1, )+∞ 0 1a< < 1(1, )a 时， ；当 时， 【解析】 试题分析： 当 时， ；当 时， 当 时， ；当 时， ；当 时， 考点：解不等式 点评：本题中的不等式带有参数，在求解时需对参数做适当的分情况讨论，题目中主要讨论 的方向是：不等式为一次不等式或二次不等式，解二次不等式与二次方程的根有关，进而讨 论二次方程的根的大小 17.已知抛物线 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，它与双曲线 ： 交 于点 ，抛物线 的准线过双曲线 的左焦点. （1）求抛物线 与双曲线 的标准方程； （2）若斜率为 的直线 过点 且与抛物线只有一个公共点，求直线 的方程. 【答案】（1）抛物线方程为 ;双曲线的方程为 .（2）直线 的方程为 或 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线 的准线过双曲线 的左焦点,可知抛物线开口向右,则设抛物线方程为 ,代入 即可求得抛物线方程;由抛物线方程可得抛物线的准线方 程,进而得双曲线的 ,由双曲线中 的关系及代入 ,解方程可求得 ,即可得 双曲线的标准方程. （2）讨论直线 的斜率 和 两种情况:当 时一定成立,由所过定点坐标可得直线 方程;当 时,联立直线与抛物线方程,由判别式 即可求得斜率 ,再由点斜式可得直线 1a = φ 1a > 1( ,1)a ( 1)( 1) 0ax x− − < 0a < 1( , ) (1, )a −∞ ∪ +∞ 0a = (1, )+∞ 0 1a< < 1(1, )a 1a = φ 1a > 1( ,1)a C 'C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3( , 6)2A C 'C C 'C k l (0,1)P l 2 4y x= 2 2 44 13 yx − = l 1y = 1y x= + C 'C ( )2 2 , 0y px p= > 3 , 62A     c , ,a b c 3 , 62A     2 2,a b l 0k = 0k ≠ 0k = 0k ≠ 0∆ = k 方程. 【详解】（1）因为抛物线 的准线过双曲线 的左焦点, 设抛物线方程为 由抛物线过 ,代入可得 解得 ,所以抛物线方程为 抛物线的准线方程为 ,所以双曲线的 同时将 代入双曲线方程,即 解方程组可得 所以双曲线的标准方程为 （2）斜率为 的直线 过点 且与抛物线只有一个公共点 当 时,直线方程为 ,满足题意 当 时,直线 可设为 则 ,化简可得 由与直线 抛物线只有一个公共点 可得 解得 ,所以直线 的方程为 综上可得直线 的方程为 或 【点睛】本题考查了抛物线标准方程与双曲线标准方程的应用,直线与抛物线位置关系的应用, 属于基础题. 18.在如图所示的几何体中，四边形 是菱形， 是矩形，平面 平面 . ， ， 且点 为 的中点． C 'C ( )2 2 , 0y px p= > 3 , 62A     36 2 2p= × × 2p = 2 4y x= 1x = − 1c = 3 , 62A     2 2 2 2 1 9 6 14 a b a b  + = − = 2 21 3,4 4a b= = 2 2 44 13 yx − = k l (0,1)P 0k = 1y = 0k ≠ l 1y kx= + 2 1 4 y kx y x = +  = ( )2 2 2 4 1 0k x k x+ − + = l ( ) 2 22 4 4 0k k∆ = − − =   1k = l 1y x= + l 1y = 1y x= + ABCD ADNM ADNM ⊥ ABCD 2AD = 1AM = DE AB⊥ E AB （1） 求证： 平面 ； （2） 求 与平面 所成角的正弦值； （3） 在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的 长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析;（2） （3）不存在,理由见解析 【解析】 【分析】 （1）根据菱形与矩形性质,可得 , ,因而 .所以可知四边形 为平行四边形.由中位线定理可证明 ,即可由线面平行判断定理证明 平面 ; （2）根据题意建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并求得 和平面 的法向量 , 即可求得 与 夹角的余弦值,即为 与平面 所成角的正弦值; （3）假设线段 上存在点 ,使二面角 的大小为 .设出点 的坐 标,并求得平面 和平面 的法向量,根据夹角为 及向量数量积运算,求得 的值,再判 断是否符合在线段 上,即可说明. 【详解】（1）证明:因为四边形 是菱形, 是矩形, 所以 , 所以 所以四边形 为平行四边形 AN / / MEC ME MBC AM P P EC D− − 3 π AP 6 8 / /AD BC / /AD NM / /BC NM BCNM / /OE AN AN / / MEC ME MBC m ME m ME MBC AM ( )3, 1,P a− P EC D− − 3 π P PEC ECD 3 π a AM ABCD ADNM / /AD BC / /AD NM / /BC NM BCNM 设对角线的交点为 ,连接 由点 为 的中点,点 为 的中点 根据中位线定理可得 , 又因 平面 , 平面 , 所以 平面 . （2）因为 是矩形,且平面 平面 . 所以 平面 . 又因 所以 则以 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 因为 且点 为 的中点 则 则 , 设平面 的法向量为 则 ,代入可得 令 ,解得 所以 设直线 与平面 所成角为 为 为 O OE E AB O BN / /OE AN OE ⊂ MEC AN ⊄ MEC AN / / MEC ADNM ADNM ⊥ ABCD ND ⊥ ABCD DE AB⊥ DE DC⊥ D DE AB⊥ E AB ( ) ( )0,0,0 , 3,0,0 ,D E ( ) ( )0,2,0 , 3, 1,1 ,C M − ( )3,1,0 ,B ( )0,1, 1ME = − ( ) ( )0,2, 1 , 3,1,0MB BC= − = −  MBC ( ), ,m x y z= 0 0 MB m BC m  ⋅ =  ⋅ =     2 0 3 0 y z x y − =− + = 1x = 3, 2 3y z= = ( )1, 3,2 3m = ME MBC α 则 即直线 与平面 所成角的正弦值为 （3）假设线段 上存在点 ,使二面角 的大小为 .设 则 设平面 的法向量为 则 ,代入可得 令 ,则 又因为平面 的法向量为 所以由二面角 大小为 可得 解得 因为 ,所以不合题意 所以线段 上不存在点 ,使二面角 的大小为 【点睛】本题考查了线面平行的判定,空间向量在求线面夹角中的应用,根据面面夹角判断是否 满足某种条件的点是否存在,属于中档题. 19.已知数列 的前 项和为 ， ， ，数列 中， ，满足 . 的 sin s ,co ME mME m ME m α ⋅= ⋅ =      3 2 3 6 82 4 −= = × ME MBC 6 8 AM P P EC D− − 3 π ( )3, 1,P a− ( ) ( )3, 2,0 , 0, 1, ,CE EP a= − = −  PEC ( )1 1 1 1, ,n x y z= 1 1 0 0 CE n EP n  ⋅ = ⋅ =     3 2 0 0 x y y az  − =− + = 3y a= ( )1 2 , 3 , 3n a a= ECD ( )2 0,0,1n = P EC D− − 3 π 1 21 2 21 2 3 1, 27 3 cos n nn n n n a ⋅= = = ⋅ +      3 7 7a = 3 7 17 > AM P P EC D− − 3 π { }na n nS 1 1a = 2 1n na S= + { }nb 1 1b = 1( 1, )1n n nb b n n Nn ∗ −= > ∈− （1） 求出 ， 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求使得 时，对所有的 恒成立的最大正整数 值. 【答案】（1） , （2）6 【解析】 【分析】 （1）根据 ,结合递推公式作差,即可证明 为等比数列,结合 即可得 的通 项公式;将 变形,结合累乘法即可求得数列 的通项公式. （2）由（1）可得数列 的通项公式.由错位相减法可求得数列 的前 项和 .根据 的单调性可求得 的最小值,代入解不等式即可求得最大正整数 值. 【详解】（1）由题意 则 ,（ ） 两式相减可得 化简可得 由 所以数列 是以 为首项,以 为公比的等比数列 则 数列 中, ,满足 . 即 { }na { }nb n n nc a b= ⋅ { }nc n nT 21 ( 5 )6nT m m≥ − n ∗∈N m 12n na -= nb n= 2 1n na S= + { }na 1a { }na 11n n nb bn −= − { }nb { }nc { }nc n nT nT nT m 2 1n na S= + 1 12 1n na S− −= + 2n ≥ 12 2n n na a a−− = 1 2n n a a − = 1 1a = { }na 1 1a = 2q = 12n na -= { }nb 1 1b = 1( 1, )1n n nb b n n Nn ∗ −= > ∈− 1 1 n n b n b n− = − 1 2 1 2 n n b n b n − − −= − 等式左右两边分别相乘可得 而 所以 （2） ,由（1）可得 数列 的前 项和为 则 两式相减可得 所以 即 因为 为递增数列,所以 故 只需 2 3 2 3 n n b n b n − − −= − ⋅⋅⋅ 4 3 4 3 b b = 3 2 3 2 b b = 1 2 2 1 b b = 1 1 nb n b = 1 1b = nb n= n n nc a b= ⋅ 12n nc n −= ⋅ { }nc n nT 1 2 3 2 1n n n nT c c c c c c− −= + + + ⋅⋅⋅ + + ( ) ( )1 2 3 2 11 2 2 3 2 2 2 1 2 2n n n nT n n n− − −= + × + × + ⋅⋅⋅ − × + − × + × ( ) ( )1 2 3 2 12 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2n n n nT n n n− −= × + × + × + ⋅⋅⋅ − × + − × + × 1 2 3 2 11 2 2 2 2 2 2n n n nT n− −− = + + + + ⋅⋅⋅ + − × 2 1 2n n nT n− = − − × 2 2 1n n nT n= × − + ( )1 2 1n nT n= − × + ( )1 2 1n nT n= − × + ( ) 11 2 1 1n nT n T= − × + ≥ = 21 ( 5 )6nT m m≥ − 211 ( 5 )6 m m≥ − 变形可得 所以 即最大正整数 值为 【点睛】本题考查了根据递推公式求数列的通项公式,累乘法在求数列通项公式中的应用,错位 相减法求数列的前 n 项和,不等式中的恒成立问题,综合性强,属于中档题. 20.已知椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0)，且离心率为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0，y0)， 求 y0 的取值范围． 【答案】(1) ＋ ＝1. (2) 【解析】 【详解】试题分析：解：(Ⅰ)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意，得 c＝1. 因为椭圆 C 的离心率为 ， 所以 a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3. 故椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. (Ⅱ)当 MN⊥x 轴时，显然 y0＝0. 当 MN 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)． 由 消去 y 并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段 MN 的中点为 Q(x3，y3)， 则 x1＋x2＝ . ( )( )1 6 0m m+ − ≤ 1 6m− ≤ ≤ m 6 2 2 x a 2 2 y b 1 2 2 4 x 2 3 y 3 3,12 12  −    1 2 2 4 x 2 3 y 2 2 1? 14 3 y k x x y = −     + =   2 2 8 3 4 k k+ 所以 x3＝ ＝ ，y3＝k(x3－1)＝ . 线段 MN 的垂直平分线的方程为 y＋ ＝－ . 在上述方程中，令 x＝0，得 y0＝ ＝ . 当 k<0 时， ＋4k≤－4 ；当 k>0 时， ＋4k≥4 . 所以－ ≤y0<0 或 0

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