福建省龙岩市上杭县第一中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题

福建省龙岩市上杭县第一中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题

上杭一中 2019-2020 学年第一学期 12 月考 高二数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，有且只有 一个是正确的，请将你认为正确答案序号填涂在答题卡相应位置上） 1.原命题“设 、 、 ，若 则 ”的逆命题、否命题中，真命题的个数 是( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】A 【解析】 【详解】逆命题为“若 ，则 ”，当 时， ，所以逆命题为假命 题． 其否命题为“若 ，则 ”，同理，当 是有 ，此时 大小无法判 断， 所以也是假命题．综上可得，真命题的个数为 0，故选 A 2.设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可 能的是（ ） a b c R∈ 2 2 ,ac bc> a b> a b> 2 2ac bc> 0c = 2 2ac bc= 2 2ac bc≤ a b≤ 0c = 2 2ac bc= ,a b ( )'f x ( )f x ( )'y f x= ( )y f x= A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值，然后判断选项 即可． 【详解】由题意可知： ， ， ，函数是增函数， ，函数是减函数； 是函数的极大值点， 是函数的极小值点； 所以函数的图象只能是 ． 故选 ． 【点睛】本题考查函数的导数与函数的图象的关系，判断函数的单调性以及函数的极值是解 题的关键． 3.已知 A,B,C 三点不共线,对于平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定点 M 与点 A,B,C 一 定共面的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据点 与点 共面，可得 ，验证选项，即可得到答案. 0x < 2x > ( ) 0f x′ > (0,2)x∈ 0x = 2x = C C OM OA OB OC= + +    2OM OA OB OC= − −    1 1 2 3OM OA OB OC= + +    1 1 1 2 3 6OM OA OB OC= + +    M , ,A B C 1x y z+ + = 【详解】设 ，若点 与点 共面,,则 ，只有选 项 D 满足，.故选 D. 【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点 与点 共面时，且 ,则 是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题 的能力. 4.在区间 上随机取一个数 ，则 使不等式 成立的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出符合已知不等式的 x 的范围，然后根据几何概型的求解公式求解可求 【详解】由 可得 ， 由几何概率的计算公式可得，所求的概率 故选：C 【点睛】本题主要考查了与长度有关的几何概型的求解，属于基础试题 5.某协会有 200 名会员，现要从中抽取 40 名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本， 将全体会员随机按 1~200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组（1－5 号，6－10 号，…，196－ 200 号）.若第 5 组抽出的号码为 22，则第 1 组至第 3 组抽出的号码依次是（ ） A. 3，8，13 B. 2，7，12 C. 3，9，15 D. 2，6，12 【答案】B 【解析】 【分析】 根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第 5 组抽出的号码求出第 1 组抽出的号码，即可得 出第 2 组、第 3 组抽取的号码． 【详解】根据系统抽样原理知，抽样间距为 200÷40=5， 当第 5 组抽出的号码为 22 时，即 22=4×5+2， OM xOA yOB zOC= + +    M , ,A B C 1x y z+ + = M , ,A B C OM xOA yOB zOC= + +    1x y z+ + = [ ]3,3− x x ( )( )1 2 0x x− + ≤ 1 4 1 3 1 2 3 4 ( )( )1 2 0x x− + ≤ 2 1x− ≤ ≤ 1 ( 2) 1 3 ( 3) 2P − −= =− − 所以第 1 组至第 3 组抽出的号码依次是 2，7，12． 故选：B． 【点睛】本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题． 6.“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式 ，进而根据充要条件的定义，可得答， 【详解】由 可得 ， 所以 “ ”是“ ”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌握充要条件的定义，是解答 的关键． 7.点 是抛物线 上一动点，则点 到点 的距离与到直线 的距离之和 的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得 d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即 可． 【详解】依题设 P 在抛物线准线的投影为 P'，抛物线的焦点为 F，A（0，-1）． 则 F（1，0）， 依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|， 则点 P 到点 A（0，-1）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和， 1 2x < 1 2x > 1 2x < 1 2x < 10 2x x< >或 1 2x < 1 2x > P 2 4y x= P ( )0, 1A − 1x = − 5 3 2 d=|PF|+|PA|≥|AF|= ． 故答案为： 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点 P 到点（0，-1）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和转化为点 P 到点（0，-1）的距离与 P 到焦点 F 的距离之和. 8.如图，长方体 中， ， ，点 分别是 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成的角是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意：E，F，G 分别是 DD1，AB，CC1 的中点，连接 B1G，FB1，那么∠FGB1 或其补角就是异面 直线 A1E 与 GF 所成的角． 【详解】由题意：ABCD﹣A1B1C1D1 是长方体，E，F，G 分别是 DD1，AB，CC1 的中点，连接 B1G， ∵A1E∥B1G， ∴∠FGB1 为异面直线 A1E 与 GF 所成的角或其补角． 连接 FB1， 在三角形 FB1G 中，AA1＝AB＝2，AD＝1， B1F B1G ， FG ， B1F2＝B1G2+FG2． 2 2(0 1) ( 1 0) 2− + − − = 2 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AA AB= = 1AD = , ,E F G 1DD AB 1CC 1A E GF 90 60 45 30 2 2 1 1( AB) AA 52 = + = 2 2 1 1( AA ) AD 22 = + = 2 2 1 1CF ( AA ) 32 = + = ∴∠FGB1＝90°， 即异面直线 A1E 与 GF 所成的角为 90°． 故选 A． 【点睛】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意 空间思维能力的培养． 9.设椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，方程 的两个实根分别为 和 ，则点 （　　） A. 必在圆 内 B. 必在圆 上 C. 必在圆 外 D. 以上三种情形都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】 判断点 和圆的关系，则判断 与 2 的关系即可．其中 的关系来自 的两根，故两根关系用韦达定理得出． 【详解】因为 的两个实根分别为 和 ，故 ， ，故 又 椭 圆 离 心 率 ， 故 ， 即 ， 故 点 必 在 圆 内．选 A. 【点睛】本题使用韦达定理以及离心率 化简，遇到 时，因为已知离心率的范围， 故转换成都是 的关系，凑出离心率 从而带入求范围． 10.过双曲线 的右顶点作 轴的垂线与 的一条渐近线相交于 .若以 的右 焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 ，则双曲线 的方程为（ ） 的 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1e 2 < ( )0F c， 2 0ax bx c+ − = 1x 2x 1 2( )P x x， 2 2 2x y+ = 2 2 2x y+ = 2 2 2x y+ = 1 2( )P x x， 2 2 1 2x x+ 1 2x x， 2 0ax bx c+ − = 2 0ax bx c+ − = 1x 2x 1 2 = bx x a + − 1 2 = cx x a − ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 22 1 2 ( 1) 2b c b ac a c acx x x x x x e e ea a a a + − ++ = + − = + = = = − + = − − + 10 e 2 < < 2( 1) 2 2e− − + < 2 2 1 2 2x x+ < 1 2( )P x x， 2 2 2x y+ = 2 2 2b ac a + ,a c e 2 2 2 2 1x yC a b − =： x C A C A O O、 两点（ 为坐标原点）， C A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】可得渐近线方程为 ，将 x=a 代入求得 ． 由条件知，半焦距 , 所以由 得， ． 又因 , 所以解得， ． 双曲线 的方程为 故选 A． 11.已知函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则 A. 或 2 B. 或 3 C. 或 1 D. 或 1 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数判断函数的单调性求出极值点为 ，利用 或 可得结果. 【详解】因为 ,所以 f(x)的增区间为 ,减区间为 ,所以 的极大值为 ，极小值为 ，因为函数 的图象与 轴恰有两个公共点,所以只须满足 或 ，即 或 ,故选 A. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档 题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值 2 2 14 12 x y− = 2 2 17 9 x y− = 2 2 18 8 x y− = 2 2 112 4 x y− = C 2 2 14 12 x y− = 3 3y x x c= − + x c = 2− 9− 1− 3− 1x = ± ( 1) 0f − = (1) 0f = 23 3 3( 1)( 1)y x x x′ = − = + − ( , 1),(1, )−∞ − +∞ ( 1,1)− ( )f x ( )1f − ( )1f 3 3y x x c= − + x ( 1) 0f − = (1) 0f = 2c = − 2c = 为 ，极小值为 ：一个零点 或 ；两个零点 或 ；三个零点 且 . 12.已知圆 和圆 ，动圆 M 与圆 ,圆 都相切， 动圆的圆心 M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为 ， （ ），则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】①动圆与两定圆都内切时： ，所以 ②动圆与两定圆分别内切，外切时： ，所以 ， 则 ， 最小值为 ，故选 A. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将最简答案填写在答题卡相应位置 ( )f M ( )f m ( ) 0f M < ( ) 0f m > ( ) 0f m = ( ) 0f M = ( ) 0f m < ( ) 0f M > 2 2 1 :( 2) 16O x y− + = 2 2 2 2 : (0 2)O x y r r+ = < < 1O 2O 1e 2e 1 2e e> 1 22e e+ 3 2 2 4 + 3 2 2 3 8 1 1 2 2 4{ 4MO R MO MO rMO R r = − ⇒ + = −= − 2 4e r = − 1 1 2 2 4{ 4MO R MO MO rMO R r = − ⇒ + = += + 2 4e r = + 1 2 2 20 2, 4 4r e er r < ∴ = =− + 1 2 1 1 4e e + = ( )1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 3 2 22 24 4 1 1 34 e e e e ee e e ee     ++ = + = ≥        + + + 3 2 2 4 + 上） 13.从集合 中任意取出两个不同的数记作 ，则方程 表示焦点在 轴 上的双曲线的概率是______． 【答案】 【解析】 从集合 中任意取出两个不同的数记作 ，共有 个基本事件，其中满足 方程 表示焦点在 轴上的双曲线，即 的基本事件有 3 个，由古典概型 的概率公式，得方程 表示焦点在 轴上的双曲线的概率是 ；故填 . 14.已知 为单位向量，且 =0，若 ，则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据 结合向量夹角公式求出 ，进一步求出结果. 【详解】因为 ， ， 所以 ， ，所以 ， 所以 ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使 用转化思想得出答案． 15.在 中， .如果一个椭圆通过 、 两点，它的一个焦点为点 ， 另一个焦点在边 上，则这个椭圆的焦距为 ． 【答案】 【解析】 . { 1,1,2,3}− ,m n 2 2 1x y m n + = x 1 4 { }1,1,2,3− ,m n 4 3 12× = 2 2 1x y m n + = x 0, 0m n> < 2 2 1x y m n + = x 3 1 12 4P = = 1 4 ,a b a b⋅  2 5c a b= −   cos ,a c< >=  2 3 2| |c | |c 2 5c a b= −   0a b⋅ = 22 5a c a a b   ⋅ = − ⋅ 2= 2 2 2| | 4| | 4 5 5| | 9c a a b b= − ⋅ + =    | | 3c = cos ,a c< >=  2 2 1 3 3 a c a c ⋅ = =×⋅     Rt ABC∆ 2AB AC= = A B C AB 6 试题分析：设另一个焦点为 ，在 中， ，所以 ，而 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，即椭圆的焦距为 . 考点：1.椭圆的定义. 16.在平面直角坐标系 中，P 是曲线 上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0 的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【解析】 分析】 将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】当直线 平移到与曲线 相切位置时，切点 Q 即为点 P 到直线 的距离最小. 由 ，得 ， ， 即切点 ， 则切点 Q 到直线 的距离为 ， 故答案为 ． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养. 采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知 ，设命题 ：关于 的不等式 ，对任意实数 都 成立；命题 ：直线 与抛物线 有两个不同的交点。若命题“ ”为 【 F Rt ABC∆ 2AB AC= = 2 2BC = 2AC AF BC BF a+ = + = 4 2 2 2 2 2AC AF BC BF a a+ + + = + = ⇒ = + 2AC = 2AF = 22 2 6CF = + = 6 xOy 4 ( 0)y x xx = + > 0x y+ = 4y x x = + 0x y+ = 2 41 1y x ′ = − = − 2( 2 )x = − 舍 3 2y = ( 2,3 2)Q 0x y+ = 2 2 2 3 2 4 1 1 + = + 4 m R∈ p x ( ) ( )2 1 1 0mx m x m+ − + − ≤ x q 2y x m= + 2 4y x= p q¬ ∧ 真命题，求 的取值范围. 【答案】 . 【解析】 【分析】 分别求出 p、q 命题为真时 m 的取值范围，根据 为真命题可推导 m 的范围 【详解】由命题 知，关于 的不等式 对任意实数 都成立， 则当 时，不等式变为 ，不合题意。 当 时，必须满足 ， 解得 ， 因此，当 时，命题“ ”是真命题，当 时，“ ”是真命题。 ∵直线 ①与抛物线 ②有两个不同的交点， 联立①②消去 得 。 令 ，解得 。因此，当 时， 是真命题。 ∵“ ”为真命题，∴“ ”和“ ”都为真命题， 可得 ，∴实数 的取值范围是 。 【点睛】本题考查了简易逻辑的有关判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18.如图：正三棱柱 中， 是 的中点， ． （1）求二面角 的余弦值； m 1 1,3 2  −   p q¬ ∧ p x ( ) ( )2 1 1 0mx m x m+ − + − ≤ x 0m = 1 0x − ≤ 0m ≠ ( ) ( )2 0 1 4 1 0 m m m m <∆ = − − − ≤ 1 3m ≤ − 1 3m ≤ − p 1 3m > − p¬ 2y x m= + 2 4y x= x 2 2 2 0y y m− + = 4 8 0m∆ = − > 1 2m < 1 2m < q p q¬ ∧ p¬ q 1 1 3 2m− < < m 1 1,3 2  −   1 1 1ABC A B C− D BC 1 1AA AB= = 1B AB D− − （2）求点 到平面 的距离． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系 D-xyz，（1）求出平面 AB1D 的法向量，平面 AB1B 的法向量，设二面角 B-AB1-D 的大小为 θ，利用空间向量的数量积求解即可 （2）由（1）得平面 的法向量为 ，取其单位法向量 ， 用向量法能求出点 C 到平面 AB1D 的距离. 【详解】建立空间直角坐标系 ，如图， （1）解：∵ ， ，∴ ， ， 设 是平面 的法向量，则 ，且 ， 故 ， .取 ，得 ； 同理，可求得平面 的法向量是 设二面角 的大小为 ，∵ . （2）解由（1）得平面 的法向量为 ，取其单位法向量 ， 又 ，∴点 到平面 的距离 . C 1AB D 15 5 5 5 1AB D ( )1 2,0,1n = 2 1,0, 5 5 n  =     D xyz− 30, ,02A       1 1 ,0,12B  −   30, ,02AD  = −     1 1 ,0, 12B D  = −    ( )1 , ,n p q r= 1AB D 1 0n AD⋅ =  1 1 0n B D⋅ =  3 02 q− = 1 02 p r− = 1r = ( )1 2,0,1n = 1AB B ( )2 3, 1,0n = − 1B AB D− − θ 1 2 1 2 15cos 5 n n n n θ ⋅= =     1AB D ( )1 2,0,1n = 2 1,0, 5 5 n  =     1 ,0,02DC  =     C 1AB D 5 5d DC n= ⋅ =  【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，考查点到面的距离的求法，考查空间想象能力以 及计算能力． 19.已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）当 时，求函数 的单调区间. 【答案】（1） ；（2）函数 的递增区间为 ，递减区间为 . 【解析】 【分析】 （1）把 代入，先对函数求导，然后求 f（1），根据导数的几何意义可知，该点切线的斜 率 k=f′（1），从而求出切线方程． （2）先对函数求导，分 两种情况讨论可得函数的单调区间. 【详解】（1）当 时， ， ， ， ，所以曲线 在点 处的切线方程 . （2） ， 1）当 时，解 ，得 ，解 ，得 ， 所以函数 的递增区间为 ，递减区间为在 . 2） 时，令 得 或 . 当 时， ，在 上 ，在 上 ， 函数 的递增区间为 ，递减区间为 . 【点睛】本小题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识， 考查运算能力及分类讨论的思想方法． 20.已知直线 ： 与抛物线 ： 交于 、 两点， 为坐标原 点， . （1）求直线 和抛物线 的方程； ( ) ( )21 1 ln2f x ax a x x= − + + 0a = ( )y f x= ( )( )1, 1f 0a ≤ ( )f x 1y = − ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ 0a = 0, 0a a= < 0a = ( ) lnf x x x= − + ( )1 1 ln1 1f = − + = − ( ) 1' 1f x x = − + ( )' 1 0f = ( )y f x= ( )( )1, 1f 1y = − ( ) ( ) 1' 1f x ax a x = − + + ( ) ( )( ) ( )2 1 1 1 1 0ax a x ax x xx x − + + − −= = > 0a = ( ) 1' 0xf x x −= − > 1x < ( ) 1' 0xf x x −= − < 1x > ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ 0a ≠ ( )' 0f x = 1x = 1x a = 0a < 1 0a < ( )0,1 ( )' 0f x > ( )1,+∞ ( )' 0f x < ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ l 2y kx= − C ( )2 2 0x py p= − > A B O ( )4, 12OA OB+ = − −  l C （2）抛物线上一动点 从 到 运动时，求点 到直线 的最大值，并求此时点 的坐标． 【答案】（1）直线 的方程为 ，抛物线 的方程为 ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由 得 ，可得根与系数的关系、再利用向量坐标运算即 可得出； （2）设 ,利用点到直线的距离公式即可得出点 P 到直 线 AB 的距离,进而求最值即可. 【详解】（1）由 得 ， 设 ， ， 则 ， ， ， 所以 ，解得 . 所以直线 的方程为 ，抛物线 的方程为 . （2）由 得， ， ， ， 设 ， 到直线 的距离为 ， ， 因为 ，所以当 时， ， 此时 . P A B P l P l 2 2y x= − C 2 2x y= − ( )2, 2P − − 2 2 2 y kx x py = −  = − 2 2 4 0x pkx p+ − = ( )21, 2 2 2 2 2 22P t t t − − − < < − +   2 2 2 y kx x py = −  = − 2 2 4 0x pkx p+ − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2x x pk+ = − ( ) 2 1 2 1 2 4 2 4y y k x x pk+ = + − = − − ( ) ( )2 1 2 1 2 2, 2 2 4OA OB x x y y pk pk+ = + + = − − −  ( )4, 12= − − 2 2 4 2 4 12 pk pk − = − − − = − 1 2 p k =  = l 2 2y x= − C 2 2x y= − 2 2 2 2 y x x y = −  = − 2 4 4 0x x+ − = 1 2 2x = − − 2 2 2x = − + ( )21, 2 2 2 2 2 22P t t t − − − < < − +   P l d ( ) ( )2 2 22 12 2 2 42 52 1 t t t d + − + − = = + − 2 2 2 2 2 2t− − < < − + 2t = − max 4 5 5d = ( )2, 2P − − 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、向量的坐标运算、点到直线的距离公式，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企 业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表. 的分组 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的 中点值为代表）.（精确到 0.01） 附： . 【答案】(1) 增长率超过 的企业比例为 ，产值负增长的企业比例为 ；（2）平 均数 ；标准差 . 【解析】 【分析】 (1)本题首先可以通过题意确定 个企业中增长率超过 的企业以及产值负增长的企 业的个数，然后通过增长率超过 的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的企 业总数即可得出结果； (2)可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果． 【详解】(1)由题意可知，随机调查的 个企业中增长率超过 的企业有 个， 产值负增长的企业有 个， 所以增长率超过 的企业比例为 ，产值负增长的企业比例为 ． (2)由题意可知，平均值 ， 标准差的平方： y [ 0.20,0)− [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80) 74 8.602≈ 0040 21 100 2 1 100 50= 0.3 0.17 100 040 0 040 0 100 040 0 14 7 21+ = 2 040 0 21 100 2 1 100 50= ( )2 0.1 24 0.1 53 0.3 14 0.5 7 0.7 100 0.3y ´ - + ´ + ´ + ´ + ´= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 1 100 2 0.1 0.3 24 0.1 0.3 53 0.3 0.3 14 0.5 0.3 7 0.7 0.3s é ù= ´ - - + ´ - + ´ - + ´ - + ´ -ê úë û ， 所以标准差 ． 【点睛】本题考查平均值以及标准差的计算，主要考查平均值以及标准差的计算公式，考查 学生从信息题中获取所需信息的能力，考查学生的计算能力，是简单题． 22.如图，已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 与 轴垂直的直线交椭圆于点 ，且 （1）求椭圆 标准方程； （2）已知点 ，问是否存在直线 与椭圆交于不同的两点 ， ，且 的垂直平分线 恰好过 点？若存在，求出直线 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）直接依据定义求得椭圆的长轴长 ，又右焦点为 ， 从而得到其标准方程；（2）本题需分 与 轴垂直和不垂直两种情况简单讨论，当不垂直时， 可设 的方程为 ，联立椭圆方程，转化为一元二次方程方程有两解问题求得斜率取 值范围． 试题解析：（1） 连接 ，在 中， ， ，∴ ∴ 由椭圆定义可知 即 ，又 ，从而 ， 的 [ ]1 100 0.32 0.96 0.56 1.12 0.0296= + + + = 0.0296 0.0004 74 0.02 8.602 0.17s = = ´ » ´ » 1F 2F ( )2 2,0F x M 2 3MF = ( )0,1P l A B AB P l 2 2 116 12 x y+ = 1 1,2 2  −   1 22 8a MF MF= + = ( )2 2,0F l x l y kx m= + 1MF 1 2Rt MF F∆ 1 2 4F F = 2 3MF = 1 5MF = 2 8a = 4a = 2 4c = 2 12b = ∴ 椭圆的标准方程为 ． （2） 由题意可知，若 的垂直平分线恰好过 点，则有 ， 当 与 轴垂直时，不满足 ；当 与 轴不垂直时， 设 的方程为 ，由 ，消 得 ， ∵ ， ∴ ，①式 令 ， ， 的中点为 ，则 ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ 即 ，化简得 ， 结合①式得 ，即 ，解之得： ， 综上所述，存在满足条件的直线，且其斜率 的取值范围为 . 考点：椭圆 标准方程，直线与椭圆的位置关系的 2 2 116 12 x y+ = AB P PA PB= l x PA PB= l x l y kx m= + 2 2{ 116 12 y kx m x y = + + = y ( )2 2 23 4 8 4 48 0k x kmx m+ + + − = ( )( )2 2 2 264 4 3 4 4 48 0k m k m∆ = − + − > 216 2 12k m+ > ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB ( )0 0,C x y 1 2 2 8 3 4 kmx x k −+ = + 1 2 0 2 4 2 3 4 x x kmx k + −= = + 0 0 2 3 3 4 my kx m k = + = + 2 2 4 3,3 4 3 4 km mC k k −   + +  PC AB⊥ 1PCk k⋅ = − 2 2 3 13 4 14 3 4 m k kkm k −+ × = −− + ( )23 4m k= − + ( )22 216 12 4 3k k+ > + 4 216 8 3 0k k+ − < 1 1 2 2k− < < k 1 1,2 2  −  