2018-2019学年重庆市外国语学校高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年重庆市外国语学校高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年重庆市外国语学校高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由向量垂直的坐标运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解:因为,‎ 又,‎ 所以,‎ 即,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量数量积的运算，重点考查了向量垂直的坐标运算，属基础题.‎ ‎2．已知角的终边过点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】角的终边过点，由三角函数的定义有,代入运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意有，‎ 由三角函数的定义可得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的定义，属基础题.‎ ‎3．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由对数不等式的解法可得，再求出，然后结合集合交集的运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：解不等式，解得，即 ，‎ 即，又，则，‎ 所以。‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数不等式的解法，重点考查了集合交集的运算，属基础题.‎ ‎4．设函数，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由分段函数的解析式可得，，再求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由分段函数的解析式可得，‎ ‎，‎ 所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数求值问题，属基础题.‎ ‎5．已知向量的夹角为，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由向量数量积的运算可得 ‎，由向量模的运算可得，得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由向量的夹角为，且，‎ 所以，‎ 又，‎ 即，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量数量积的运算，重点考查了向量模的运算，属基础题.‎ ‎6．下列函数中，既是偶函数，又在区间单调递减的函数是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】逐一考查所给的函数：‎ A. ，函数是奇函数；‎ B. 函数是偶函数，在区间是增函数；‎ C. 函数是偶函数，在区间不具有单调性；‎ D. 函数是偶函数，在区间单调递减；‎ 本题选择D选项.‎ ‎7．设是方程的解，若.则的值为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】先将方程的解的问题转化为函数的零点问题，再结合零点定理求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：设，‎ 易得为增函数，‎ 又，‎ ‎，‎ 又是方程的解，则，‎ 又，‎ 则，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性及零点定理，重点考查了方程与函数的相互转化，属中档题.‎ ‎8．若tan+=4,则sin2=‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.‎ 因为，所以..‎ ‎【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等 ‎9．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）若该食品在的保鲜时间是384小时，在的保鲜时间是24小时，则该食品在的保险时间是（ ）小时 A．6 B．12 C．18 D．24‎ ‎【答案】A ‎【解析】先阅读题意，再结合指数的运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意有，，则，即，‎ 则，‎ 即该食品在的保险时间是6小时，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数幂的运算，重点考查了解决实际问题的能力，属基础题.‎ ‎10．已知函数的部分图像如图所示，考查下列说法：‎ ‎①的图像关于直线对称 ‎②的图像关于点对称 ‎③若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ‎④将函数的图像向右平移个单位可得到函数的图像 其中正确个数的是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由三角函数的图像可得函数解析式为再分别求函数的对称轴方程，对称中心，结合函数的单调性求值域，然后由函数图像的平移变换逐一判断各选项即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：不妨设，‎ 由图可知，,即，即，即，‎ 即 ‎ 又，‎ 则，即，‎ 即 令，则，‎ 即函数的对称轴方程为，显然选项A错误；‎ 令，则，‎ 即函数的对称中心为，显然选项B错误；‎ 由函数的图像可得：函数在为减函数，在为增函数，‎ 又，，，‎ 即关于x的方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为，即选项C正确；‎ 又，即将函数的图像向右平移个单位可得到函数的图像，故选项D正确，‎ 综上可得正确个数的是2个，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了由三角函数的图像求函数解析式，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.‎ ‎11．设均为小于1的正数，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先设=m,再求出，再作商比较它们的大小关系.‎ 详解：设=m,‎ 因为均为小于1的正数，所以m＜0，‎ 所以 所以 所以，同理，‎ 故答案为：B 点睛：（1）本题主要考查指数对数的换算，考查指数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键有二，其一是看到要想到设=m，再对指互化.其二是想到作商比较大小，并把他们化成指数相同的数比较大小.‎ ‎12．已知四边形的对角线相交于一点，，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由向量模的运算及数量积运算可得，，则可设交于点，，则，则，运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，‎ 则，又，‎ 所以，‎ 不妨设交于点，建立以所在直线为轴，轴的直角坐标系，‎ 设，则，‎ 则在所建的直角坐标系下，， ，，‎ 则有， ，‎ 则 又，‎ 则当时，取最小值，‎ 故选：C. ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的模的运算及向量数量积的运算，重点考查了运算能力，属中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知集合，则满足的集合的个数是_______‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由集合并集的运算即可得即.‎ ‎【详解】‎ 解：因为集合，又，‎ 所以,,，,‎ 即集合的个数是4个，‎ 故答案为：4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的并集的运算，属基础题.‎ ‎14．任意幂函数都过定点，则函数（且）经过的定点是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由任意幂函数都过定点，则，可得函数经过的定点是，‎ 得解.‎ ‎【详解】‎ 解：因为任意幂函数都过定点，则，‎ 则函数，‎ 又，‎ 即函数经过的定点是，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的性质及对数函数图像的性质，属基础题.‎ ‎15．计算______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二倍角的正弦公式可得：原式，由两角和差的正弦公式可得，再化简求值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角恒等变换及两角和差的正弦公式，属基础题.‎ ‎16．定义在上的函数满足及，且在上有，则=__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数满足及，可得，即函数的周期为4，再求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为函数满足及，‎ 则，即，则，‎ 所以，即函数的周期为4，‎ 则，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性及周期性，重点考查了函数性质的应用，属中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知向量，且 ‎（1）求的值 ‎（2）若，求的值 ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）由向量共线的坐标运算可得，由两角和的正切公式运算可得解；‎ ‎（2）由三角函数的商数关系及平方关系可得，，再代入运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由向量，且，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故；‎ ‎（2）因为，，结合，‎ 解得，，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量共线的坐标运算，重点考查了两角和的正切公式及三角函数的商数关系，属基础题.‎ ‎18．(2016·雅安高一检测)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，‎ ‎(1)求g(x)的解析式及定义域；‎ ‎(2)求函数g(x)的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）g(x)＝22x－2x＋2，{x|0≤x≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.‎ ‎【解析】解：（1）∵f(x)=2x，∴g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x+2。 (3')‎ 因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1。‎ 于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}。(或写成[0,1]，否则扣1分) (6')‎ ‎（2）设g(x)=(2x)2-4×2x=(2x-2)2-4。 (8')‎ ‎∵x∈[0,1],即2x∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4； (10')‎ 当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3。 (12')‎ ‎19．已知函数 ‎（1）求的单调递增区间 ‎（2）若，已知，求的值 ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）由二倍角的正弦、余弦公式可得，再结合正弦函数单调区间的求法即可得解；‎ ‎（2）由已知可得，，再由辅助角公式运算即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，‎ 由，解得：，‎ 故的单调递增区间为：；‎ ‎（2）由，则，‎ 由，所以，则，‎ 所以，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二倍角的正弦、余弦公式，重点考查了辅助角公式，属中档题.‎ ‎20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。‎ ‎（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；‎ ‎（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？‎ ‎【答案】（1），；（2）债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元 ‎【解析】（1）由题意，得到，，代入求得的值，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）设债券类产品投资万元，可得股票类产品投资万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设投资债券类产品的收益与投资额的函数关系式为，‎ 投资股票类产品的收益与投资额的函数关系式为，‎ 可知，，‎ 所以，.‎ ‎（2）设债券类产品投资万元，则股票类产品投资万元，‎ 总的理财收益.‎ 令，则，，‎ 故，‎ 所以，当时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎21．已知函数的最小正周期为 ‎（1）求的值 ‎（2）将函数的图像向左平移个单位长度后，在将所得的图像向下平移1个单位长度得到函数的图像，若对任意恒成立，求的取值范围 ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）由二倍角的正余弦公式可得，再结合三角函数的周期即可得解；‎ ‎（2）由三角函数图像的平移变换可得，又，由已知有，运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，‎ 则，‎ 又函数的最小正周期为，‎ 则，‎ 故；‎ ‎（2）由（1）得：，将函数的图像向左平移个单位长度后，再将所得的图像向下平移1个单位长度得到函数的图像，则，‎ 由对任意恒成立，即对任意恒成立，又，则，由恒成立，且，则，解得，‎ 故的取值范围为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角恒等变换及函数图像的平移变换，重点考查了运算能力，属中档题.‎ ‎22．已知奇函数 ‎（1）求b的值，并求出函数的定义域 ‎（2）若存在区间，使得时，的取值范围为，求的取值范围 ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）由函数为奇函数且函数在处有意义，则，即可求得，再检验即可得解，然后再求函数的定义域；‎ ‎（2）分类讨论函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最值，再根据方程的解的个数求的取值范围即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由函数为奇函数，显然函数在处有意义， 则，则，即，‎ 检验当时，显然为奇函数，故；‎ 由且，解得，故函数的定义域为;‎ ‎（2）由，‎ ‎①当时，函数在为减函数，‎ 又存在区间，使得时，的取值范围为，‎ 则，，即，，又，则，即，不合题意，‎ ‎②当时，函数在为增函数，‎ 又存在区间，使得时，的取值范围为，‎ 则，， ‎ 即在有两个不等实数解，‎ 即在有两个不等实数解，‎ 设，，‎ 则，则，解得，‎ 又，即，‎ 综合①②可得：的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，主要考查了函数单调性的应用，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.‎